7.5. Разложение по формуле Тейлора (Маклорена) некоторых элементарных функций

¢¢

(n)

f (x) = f (0) + f ¢(0) × x +

f (0)

× x 2

+ ... +

f

(0)

× x n

+ o(x n )

.

2!

n!

Тогда

f ′(x) =

f ′′(x) =

... =

f (n) (x) =

f (n+ 1) (x) =

ex ,

f (0) =

f ¢(0) =

f ¢¢(0) =

... =

f (n) (0) = 1.

x

x 2

x n

n

x → 0

e = 1 +

x +

2!

+ .. + n! + o(x )

, при

.

Остаточный член в форме Лагранжа: rn (x) =

ec

× xn+ 1 .

(n +

1)!

2)

f (x) =

chx =

ex +

e− x

.

2

Подставив (-х) вместо х в разложение функции ex, получим:

e− x = 1 - x +

(- x)2

+ .. +

(- x)n

+ o(xn ) .

2!

n!

Беря полусумму этого разложения и разложения функции ex, находим:

chx = 1 +

x2

+

x4

+

.. +

x2n

+

o(x2n+ 1 )

, при x → 0 .

2!

4!

(2n)!

3)

f (x) =

shx =

e x -

e− x

.

2

Беря полуразность разложения функций ex и e-x, находим:

shx = x +

x3

+

x5

+ .. +

x 2n+ 1

+ o(x 2n+ 2 )

, при x → 0 .

3!

5!

(2n + 1)!

4)

f (x) =

sin x .

sin x = x -

x3

+

x5

- .. + (- 1)k ×

x2k + 1

+ o(x2k + 2 )

.

3!

5!

(2k + 1)!

π × (n + 1) ö

æ

c

+

Остаточный член в форме Лагранжа:

r (x) =

sinç

2

÷

è

ø xn .

n

(n + 1)!

Как было доказано ранее, f

(n)

(x)

=

æ

x +

π

×

n ö

cosç

2

÷ , n = 0,1,2,… ,

n ö

è

ø

поэтому

f

(n)

(0) =

æ

π ×

cosç

2

÷ .

è

ø

cos(π

× k ) =

Если n =

2k ,

то

f (2k ) (0) =

(- 1)k , k = 0,1,2,… ;

если n =

2k + 1, то

f (2k+ 1) (0) =

cosæ

π

+ π

× k ö

=

0

, k = 0,1,2,… .

ç

2

÷

è

ø

cos x =

1-

x2

+

x4

- ..+

(- 1)k ×

x2k

+

o(x2k+ 1 ) .

2!

4!

(2k)!

Тогда

1

f (0) = 0 ;

f

¢(x) =

,

f ′(0) = 1;

1 +

x

1

f ¢¢(x) =

-

f ′′(0) =

- 1

(1+ x)2 ,

;

f

¢¢¢(x) =

2!

,

f ′′′(0) =

2 ;

(1 + x)

3

f

(4)

(x)

=

-

3!

,

f (4) (0) =

- 3!;

(1 +

x)4

f (n) (x) =

(- 1)n− 1

(n − 1)!

,

f (n) (0) =

(- 1)(n− 1) (n - 1)!

n

(1 +

x)

Подставляя эти значения в формулу Маклорена, получаем:

ln(1 + x) =

x -

1

× x2

+

2! ×

x3

-

... +

(-

1)

n− 1

(n − 1)!

× xn +

o(xn ) ,

2!

или

3!

n!

ln(1 +

x) =

x −

x2

+

x3

− ... + (− 1)n− 1

x n

+ o(x n )

.

2

3

n

Тогда

× (1 +

x)α − 1 ,

f (0) = 1;

f ¢(x) = α

f ′(0) =

α

;

f ¢¢(x) = α

× (α

- 1) × (1+ x)α − 2 ,

f ′′(0) =

α

× (α - 1) ;

f (n) (x) = α × (α - 1) × × (α - n + 1) × (1 + x)α − n ,

f (n) (0) = α

× (α - 1) × × (α

- n + 1) .

Подставляя эти значения в формулу Маклорена, получаем:

(1 + x)α

= 1 + α × x + α × (α - 1)

× x2 + ... + α

× (α - 1)...(α + 1- n)

× xn + o(xn )

.

2!

n!

Решение. ln(1 + x) = x -

x2

+

x3

- ... +

(- 1)n− 1

xn

+ o(xn ).

2

3

n

Нарисуем график y = ln(1+

x) и графики

многочленов T (x) = x

и

T (x) =

x −

x2

.

1

2

2

Пример 2. Разложить функцию y =

по степеням x.

4 +

x

Решение. Запишем функцию в виде y =

1

x

1

(4 + x) 2

= 2 × (1+

) 2 . Поскольку

4

1

1

1

1 ö

3 ö

æ

-

ö

×

æ

-

×

æ

x

1

1

x

2

× ç

2

÷

æ x

ö

2

2

ç

÷

ç -

÷

æ

x

ö

3

2

è

ø

è

2 ø

è

2 ø

(1+

)

=

1 +

×

+

×

ç

÷

+

× ç

÷

+ ...

4

2

4

2!

3!

4

è 4

ø

è

ø

1

×

æ

-

1 ö

æ 1

- n +

ö

2

ç

2

÷...ç

2

1÷

æ

x ö

n

o(x

n

) =

... +

è

ø

è

ø

×

ç

÷

+

n!

4

è

ø

= 1 +

x

-

1

×

x2

+

3!! ×

x3

+

... +

(- 1)n− 1

(2n -

3)!!

×

xn

+

o(xn ),

23

29

2! 26

3!

n!

23n

то (4 +

1

x

1

x2

3!!

x3

(- 1)n− 1

(2n -

3)!!

xn

+ o(xn ).

x) 2

=

2 +

-

×

+

×

+ ... +

×

22

2!

25

3!

28

23n−

1

n!

7.6. Приложения формулы Тейлора

Приближенные вычисления

Пример 1. Вычислить e с точностью до 0,001.

Решение. Поскольку

ex

= 1+

x +

x2

+ .. +

xn

+

rn (x) , то при х = 1 получаем:

1

1

2!

n!

e1 = 1+ 1+

+ .. +

+ rn (1) .

2!

n!

Используем формулу остаточного члена в форме Лагранжа rn (x) =

f (n+ 1)

(c)

× xn+ 1 .

(n + 1)!

Тогда rn (1) =

ec

, где 0 <

c < 1. Отсюда rn (1) <

3

.

(n + 1)!

(n

+ 1)!

есть

3

<

1

, или (n + 1)!> 3000 .

(n + 1)!

1000

Так как 6!=

720 , 7!= 5040 , то можно взять п = 6. Итак, для вычисления e с заданной

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Пример 2.

Вычислить предел lim

x − sin x

.

x

3