2)Если для некоторого множества выполняются аксиомы I – IV, то такое множество называется полем. Аксиомы I – VI говорят о том, что R является упорядоченным непрерывным полем.

Множество Q также удовлетворяет аксиомам I – V и является упорядоченным полем, но для Q аксиома VI не выполняется.

Пример. Для подмножеств рациональных чисел A = {r Î Q| r 2 < 2} и B = {r Î Q| r 2 > 2} нет разделяющего числа, т.к. 2 Q.

Из аксиом множества действительных чисел следуют

1.6. Модуль действительного числа

Модуль или абсолютная величина числа а обозначается |a| и определяется одним из двух следующих способов:

2) Действительные числа можно изображать на числовой прямой, где задано начало отсчета и направление отсчета. Тогда можно дать другое определение модуля.

Геометрическое определение модуля: модуль числа – это расстояние на числовой прямой от нуля до этого числа.

2.| a | ³ 0 ;

3.| a × b |= | a | × | b | ;

4.| a | = | - a | ;

6.Модуль суммы не превосходит сумму модулей: | a + b |£ | a | + | b |

Доказательство.

10

8.a - b ³ | | a | - | b | |

1.7. Подмножества множества R

Определение. Множество P R называется промежутком, если для любых двух чисел, лежащих в P, число, лежащее между ними, также лежит в P

" x Î P, " y Î P, " z : x < z < y Þ z Î P .

Промежутки на прямой бывают следующих видов: [a,b] - отрезок : {x Î R | a £ x £ b}

(a,b) - интервал : {x Î R | a < x < b}

[a,b) - полуинтервал : {x Î R | a £ x < b} (a,b] - полуинтервал : {x Î R | a < x £ b}

[a,+ ¥ ) - правый замкнутый луч : {x Î R | x ³ a} (a,+ ¥ ) - правый открытый луч : {x Î R | x > a} (- ¥ , a] - левый замкнутый луч : {x Î R | x £ a} (- ¥ , a) - левый открытый луч : {x Î R | x < a}.

Ограниченные и неограниченные множества

Понятие ограниченности можно ввести в любом упорядоченном поле.

Определение. Множество A ограничено сверху в R, если существует такое MÎR, что a£M для всех aÎA (т.е. $ MÎR : " aÎA a£M). (При этом число M называется верхней границей множества A.)

Если множество ограничено сверху, то верхних границ существует сколь угодно

много.

Определение Множество A не ограничено сверху, если " MÎR $ aÎA: a>M.

Пример. Множество A = (0,+ ¥ ) не ограничено сверху.

Определение. Точной верхней гранью множества A называется число ξ = sup A такое, что выполняются следующие условия:

Другими словами, точная верхняя грань – это наименьшая из всех верхних границ.

Аналогично вводятся следующие определения.

Определение. Множество A ограничено снизу, если $ mÎR : " aÎA a³m. (При этом M – нижняя граница).

Определение. Множество A не ограничено снизу, если " mÎR $ aÎA: a<m.

Определение. Точная нижняя грань η = inf A – это наибольшая из всех нижних границ, то есть выполняются условия:.

1. " a Î A a ³ η (т.е. h - нижняя граница);

11

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет конечную точную верхнюю грань.

Доказательство. Так как множество А ограничено сверху, то у него существуют верхние границы b. Пусть B – множество всех верхних границ, тогда " b Î B, " a Î A : a £ b . Значит, по аксиоме непрерывности, существует действительное число c, разделяющее эти

Теорема 2 (свойство Архимеда). Множество N всех натуральных чисел не ограничено сверху в R.

Доказательство (методом от противного). Предположим, что натуральный ряд N ограничен сверху в R. Тогда, по теореме 1, $ ξ = sup N . Так как ξ - наименьшая верхняя граница, то

число x-1 уже не является верхней границей. Поэтому n0 N , такое что n0 > ξ - 1. Отсюда n0 + 1 > ξ . Получили противоречие с тем, что любое натуральное число должно быть не больше ξ. Значит, натуральный ряд не ограничен сверху во множестве R. ■

Заметим, что существуют упорядоченные поля, в которых натуральный ряд ограничен сверху.

Теорема 3. (Теорема Кантора о вложенных отрезках.)

Пусть дана система вложенных друг в друга отрезков

[a1,b1 ] É [a2 ,b2 ] É ... É [an ,bn ] É ..., длина которых стремится к нулю. Тогда существует

единственная общая точка всех этих отрезков (то есть

$! c: "nÎN cÎ[an , bn] ).

Доказательство. Рассмотрим множество A, состоящее из всех левых концов отрезков и множество B, состоящее из всех правых концов отрезков.

Покажем, что каждый элемент a = am множества А не превосходит любого элемента b

=bn множества В. Если эти элементы являются концами одного и того же отрезка, то есть m

=n, то am < bn . Если же m < n , то, так как отрезок [an , bn] вложен в [am , bm], будет am ≤ an . А

так как an < bn , то am < bn .

"nÎN cÎ[an , bn]. Существование общей точки всех отрезков доказано.

Покажем, что она одна (методом от противного). Пусть $ d ¹ c : " n Î N cÎ[an , bn], dÎ[an , bn]. Тогда " n Î N 0 < | d - c |£ bn - an . Получили

противоречие с условием, что длина отрезков стремится к нулю. Значит, общая точка единственная. ■

Теорема 4. Множество Q всюду плотно в множестве R (это означает, что между любыми двумя различными действительными числами всегда найдется рациональное число, т.е. "aÎR, "bÎR [ a < b Þ $ rÎQ: a < r < b ] ).

12

13