§7. Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора
7.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Пусть выполняются следующие условия:
1)функция определена на промежутке X;
2)x0 - внутренняя точка промежутка X;
3)функция в точке x0 принимает наибольшее значение, т.е. f (x) £ x из промежутка X;
4)существует конечная производная в точке x0 .
Тогда f ′(x0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. По условию $ |
f ′(x0 ) = A Î |
R Û |
$ f−′ (x0 ) = |
f+′ (x0 ) = |
|
A . |
|||||
Производная слева вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|||||
f−¢ (x0 ) = lim |
f (x0 + |
D x) - |
f (x0 ) |
|
. Так как |
по |
условию |
в |
точке |
x |
|
|
D x |
|
|
0 |
|||||||
x→ 0 |
|
|
|
||||||||
x< 0 |
|
f (x0 + |
D x) - f (x0 ) £ |
0 и |
f−′ (x0 ) ³ |
0 . |
|
|
|
||
наибольшее значение, то |
|
|
|
||||||||
f (x0 ) для всех точек
функция принимает
Из формулы для производной справа видно, что она неположительна
f+¢ (x0 ) = lim |
f (x0 + |
D x) - |
f (x0 ) |
£ 0 |
. Итак, |
f−′ (x0 ) ³ |
0 |
Þ |
f ¢ (x |
|
) = |
f ¢ (x |
|
) = 0 |
, |
|
D x |
|
0 |
0 |
|||||||||||
x→ 0 |
|
|
f+¢ (x0 ) £ |
0 |
|
− |
|
+ |
|
||||||
x> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то есть f '(x0) = 0. ■
Замечание. Теорема также верна, если функция в точке x0 принимает наименьшее значение.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если в точке, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, существует касательная, то она параллельна оси Ox .
Теорема Ролля. Пусть
1.функция f определена и непрерывна на отрезке [a,b] ;
2. " x Î (a,b) $ f ′(x) Î R ;
3.f (a) = f (b) .
Тогда внутри отрезка найдется точка, в которой производная функции обращается в нуль (то есть $ c Î (a,b) : f ′(c) = 0 ).
Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по второй теореме Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке своих верхней и нижней граней. Обозначим
M = sup f (x) |
и |
m = |
inf |
f (x) |
. Рассмотрим два возможных случая. |
x [a,b] |
|
x [a,b] |
|
||
|
|
|
|
|
|
Первый случай: m = M. Тогда " x Î [a,b] m £ f (x) £ M Þ f (x) = const Þ f ′(x) = 0 " x Î (a,b)
Второй случай: m < M. Поскольку функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то одно из значений (либо m, либо M) достигается во внутренней точке c. Тогда
для точки c выполняются все условия теоремы Ферма, поэтому f ′(c) = 0 . ■
Геометрический смысл теоремы Ролля: если функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, тогда найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ox . Такая точка может быть не одна (см. рис.).
65
|
Теорема Лагранжа. Пусть |
|
|
|
|||||||
1) |
функция f |
определена и непрерывна на отрезке [a, b]; |
|
|
|
||||||
2) |
функция f |
дифференцируема на интервале (a,b) . |
|
|
|
||||||
Тогда $ c Î (a,b) : f ¢(c) = |
f (b) − |
f (a) |
. |
|
|
|
|
||||
|
b - |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
f (b) − |
f (a) |
|
||||
Доказательство. Введем вспомогательную функцию F(x) = f (x) - |
× (x - a) . |
||||||||||
b - |
a |
||||||||||
Вычислим значения функции F(x) на концах отрезка: |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
F(a) = f (a) ; |
F(b) = f (b) - |
f (b) − f (a) |
× (b - a) = f (a) . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
b - a |
|
|
|
|||
Видим, что функция F(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a, b] (как разность двух непрерывных функций), дифференцируема на интервале, и
F(a) = F(b) . Значит, по теореме Ролля |
c |
(a,b) : F ′(c) = |
0 . |
|||||||||||||||
Поскольку |
F¢(x) = |
f ¢(x) - |
f (b) − |
f (a) |
, то |
f |
¢(c) - |
f (b) − |
f (a) |
= 0 . |
||||||||
|
|
a |
|
b - |
|
|||||||||||||
|
|
|
f (b) − |
|
f (a) |
|
b - |
|
|
|
|
a |
|
|
||||
Отсюда f ¢(c) = |
|
. |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
b - |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Геометрический смысл теоремы Лагранжа |
|
|
|
|||||||||||||||
Поскольку |
|
f (b) − |
f (a) |
= tgβ |
, где |
β |
- угол наклона секущей, |
|||||||||||
|
b - |
|
||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
проходящей через точки (a, f (a)) |
и (b, f (b)) , и |
|
|
|
||||||||||||||
f ′(c) = tgα |
, где a - угол наклона касательной в точке x = |
c , то |
||||||||||||||||
геометрически теорема Лагранжа означает, что внутри отрезка найдется точка, в которой касательная параллельна хорде,
проходящей через точки (a, f (a)) и (b, f (b)) . Таких точек также может быть несколько (см. рисунок).
Формула конечных приращений Лагранжа
Из теоремы Лагранжа вытекает формула
f (b) - f (a) = f ′(c) × (b - a) .
Взяв a = x, b = x+ x, придем к другому варианту формулы конечных приращений:
f (x + D x) - f (x) = f ′(c) × D x
или
D f = f ′(c) × D x .
Представив с в виде c = x + θ × D x , где 0 < θ < 1, получаем
f (x + D x) - f (x) = f ′(x + θ × D x) × D x, 0 < θ < 1.
Эта формула часто используется в математическом анализе и других математических дисциплинах.
|
Теорема Коши. Пусть |
|
1. |
функции f |
и g определены и непрерывны на отрезке [a,b] ; |
2. |
" xÎ (a,b) |
$ f ′(x)Î R, g′(x)Î R, g′(x) ¹ 0 ; |
Тогда существует точка cÎ (a,b) , такая что
66
|
|
|
|
|
f ′(c) |
|
f (b) − f (a) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g′(c) |
g(b) − g(a) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
|
|||||||||
Доказательство. Введем вспомогательную функцию F(x) = f (x) - |
× (g(x) - g(a)) |
|||||||||||||||||
|
g(b) - g(a) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда F(x) непрерывна на отрезке [a,b] , дифференцируема на (a,b) , и |
|
|||||||||||||||||
F(a) = f (a), |
F(b) = f (a) . То есть F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. |
|||||||||||||||||
Значит c (a,b) : F′(c) = |
0 . Поскольку F |
¢(x) = |
f ¢(x) - |
|
f (b) − f (a) |
× g¢(x) , то |
|
|||||||||||
|
g(b) - g(a) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F¢(c) = f ¢(c) - |
f (b) − f (a) |
|
× g¢(c) = 0 . Отсюда |
f ′(c) |
= |
|
f (b) − f (a) |
|
. ■ |
|
||||||||
g(b) - g(a) |
|
|
g(b) - g(a) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g¢(c) |
|
|
|
||||||||
Замечание. Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа. При g(x) = x из теоремы Коши следует теорема Лагранжа, из которой, в свою очередь, можно получить теорему Ролля, если f(a) = f(b).
7.2. Правила Лопиталя
Правила Лопиталя – это правила для вычисления пределов функций (раскрытия неопределенностей типа 00 или ∞¥ ).
Теорема 1. (Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа
случае конечного промежутка.) |
|||
Пусть |
f |
и g определены на полуинтервале (a,b] ; |
|
1) |
функции |
||
2) |
функции |
f |
и g дифференцируемы на интервале (a,b) и " x Î (a,b) g′(x) ¹ 0 ; |
3) |
lim f (x) = |
lim g(x) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ a+ 0 |
|
|
x→ a+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
$ lim |
f ′(x) |
|
|
(конечный или бесконечный). |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ a+ 0 g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда $ lim |
f (x) |
|
, и |
|
|
lim |
f (x) |
|
= lim |
f ′(x) |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
g(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→ a+ 0 g(x) |
|
|
|
|
x→ a+ 0 |
|
|
x→ a+ 0 g′(x) |
|
|
|||||||||||||
Доказательство. Доопределим |
f и g в точке a по непрерывности, положив |
|||||||||||||||||||||||
f (a) = lim f (x) = |
0, g(a) = limg(x) = |
|
0 . Согласно теореме Коши: |
|||||||||||||||||||||
|
x→ a+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ a+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
f (x) |
= |
lim |
f (x) − f (a) |
= lim |
f ′(c(x)) |
, где a < |
c(x) < x . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→ a+ 0 |
g(x) |
x→ a+ 0 |
g(x) - g(a) |
x→ a+ 0 |
|
g¢(c(x)) |
|
||||||||||||||||
Поскольку x → |
a + 0 , то |
c(x) → a + 0 . Сделаем замену c(x) = y , Тогда |
||||||||||||||||||||||
|
lim |
f (x) |
= |
lim |
f ′( y) |
. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ a+ 0 |
g(x) |
y→ a+ 0 |
g¢(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Теорема 2 (Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа |
|||||||||||||||||||||||
случае бесконечного промежутка.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
|
f |
и g определены на луче [a,+ ¥ ) ; |
|
||||||||||||||||||||
1) |
функции |
|
|
|||||||||||||||||||||
2) |
функции |
|
f |
и g дифференцируемы на (a,+ ¥ ) , g′(x) ¹ 0 |
" x Î (a,+ ¥ ) ; |
|||||||||||||||||||
00 в
00 в
67
3) |
lim f (x) = limg(x) = |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→ + ∞ |
|
|
f ′(x) |
x |
→ + ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
$ |
|
lim |
|
|
(конечный или бесконечный). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→ + ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда $ lim |
f (x) |
, и |
|
|
lim |
f (x) |
= |
|
lim |
f ′(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→ + ∞ g(x) |
|
|
|
x→ + ∞ |
|
g(x) |
x→ + ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
1 . Тогда x = |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. Пусть для определенности a > |
0 . Сделаем замену |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
æ |
0, |
1 |
ù |
|
при x Î [a,+ ¥ ) , и y → |
0 + |
0 при x → |
+ ∞ |
. Значит можно применить предыдущую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y Î ç |
a |
ú |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теорему 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
æ |
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
æ |
|
1 |
ö æ |
|
1 |
|
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ç |
|
÷ |
|
|
|
ç |
f ç |
|
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
f ¢ç |
|
÷ × ç |
|
|
÷ |
|
f ¢ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
f ( x) |
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
ç |
|
|
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
f ¢( x) |
|
|
|
|
|||||||
lim |
= lim |
|
è |
|
y ø |
= lim |
è |
è |
|
y ø |
ø |
|
= lim |
|
è |
|
y ø è |
y ø |
= lim |
è |
|
y ø |
= lim |
. |
■ |
|
||||||||||||||||||||||||
g( x) |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
¢ |
æ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→ + ∞ |
|
|
y→ 0+ 0 |
|
1 |
ö |
y→ |
0+ 0 |
æ |
æ |
|
1 |
ö ö |
|
y→ 0+ 0 |
æ |
|
1 |
ö æ |
|
1 |
ö |
y→ 0+ 0 |
|
1 |
ö |
x→ + ∞ g¢( x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g¢ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
y |
÷ |
|
|
|
ç |
gç |
|
|
÷ ÷ |
|
|
|
|
|
g¢ç |
|
|
÷ × ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
y |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
ç |
ç |
|
y |
÷ ÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
y |
÷ ç |
|
y |
÷ |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
è |
|
ø ø |
|
|
|
|
|
è |
|
ø è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Правила Лопиталя для неопределенностей типа 00 из теорем 1 и 2 можно сокращенно записать в виде одной формулы:
lim |
f (x) |
æ |
0 ö |
= lim |
f ′(x) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
= ç |
|
÷ |
|
|
, где |
a Î R . |
|||||
g(x) |
0 |
g¢(x) |
||||||||||
x→ a |
è |
ø |
x→ a |
|
|
|
|
|
||||
Теорема 3. (Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа
случае конечного промежутка.) |
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть |
f |
и g определены на полуинтервале (a,b] ; |
||||||||||||
1) функции |
||||||||||||||
2) функции |
f |
и g дифференцируемы на интервале (a,b) , и " xÎ (a,b) g′(x) ¹ 0; |
||||||||||||
3) |
lim f (x) = |
limg(x) = ¥ ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→ a+ 0 |
|
|
x→ a+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
$ lim |
f ′(x) |
(конечный или бесконечный). |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
x→ a+ 0 g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда $ lim |
f (x) |
|
, и |
lim |
f (x) |
= |
lim |
f ′(x) |
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ a+ 0 g(x) |
|
x→ a+ 0 g(x) |
|
x→ a+ 0 g′(x) |
|
||||||||
Без доказательства. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞¥ в
Теорема 4. (Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа ∞¥ в
случае бесконечного промежутка.)
Пусть
1) |
функции |
f |
и g определены на луче [a,+ ¥ ) ; |
2) |
функции |
f |
и g дифференцируемы на (a,+ ¥ ) ; g′(x) ¹ 0 " x Î (a,+ ¥ ) ; |
3) |
lim f (x) = |
limg(x) = ¥ ; |
|
|
x→ + ∞ |
|
x→ + ∞ |
68
4) |
$ lim |
f ′(x) |
(конечный или бесконечный). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ + ∞ g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда $ lim |
f (x) |
, и |
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
g′(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ + ∞ g(x) |
x→ + ∞ g(x) |
x→ + ∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Без доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Правила Лопиталя для неопределенностей типа |
из теорем 3 и 4 можно сокращенно |
||||||||||||||||||
записать в виде одной формулы: |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
æ ¥ |
ö |
lim |
f ′(x) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç |
÷ = |
|
|
, где a R . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
g(x) |
g¢(x) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ a |
è ¥ |
ø |
x→ a |
|
|
|
|
||||||
Замечание 1. Случай, когда точка а является левым концом промежутка, взят для определенности. Можно было бы считать, что а является правым концом промежутка, и x ® a - 0 . Наконец, допустим двусторонний предельный переход.
Замечание 2. При выполнении условий теорем правила Лопиталя можно применять повторно.
Пример 1. Вычислить предел lim |
xα |
, α > 0 |
, b > 0, b ¹ 1. |
|
logb x |
||||
x→ + ∞ |
|
|
Решение. Убедимся, что присутствует соответствующая неопределенность, и применим правило Лопиталя:
lim |
xα |
æ ¥ |
ö |
lim |
(xα )′ |
|
|
lim |
α × xα − 1 |
|
limα lnb × xα = ¥ . |
|||||
|
= ç |
÷ = |
|
|
= |
|
|
|
= |
|||||||
logb x |
(logb x)¢ |
|
1 |
|
||||||||||||
x→ + ∞ |
è ¥ |
ø |
x→ + ∞ |
|
|
x→ + ∞ |
|
|
|
x→ + ∞ |
||||||
|
|
x lnb |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вывод. Степенная функция y = |
|
xα |
|
(α |
|
> |
0 ) растет быстрее логарифмической y = logb x |
|||||||||
(b > 0, b ¹ 1) при x → + ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично можно убедиться, что y = |
xα |
(α > 0) растет быстрее, чем y = (ln x)к при k > 0, |
||||||||||||||
причем α может быть очень малым, k – большим. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить предел lim |
x |
|
, где a > 1, n Î N. |
|||||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
→ + ∞ |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Убедимся, что присутствует соответствующая неопределенность, и применим правило Лопиталя n раз:
lim |
xn |
= |
æ |
¥ |
ö |
= |
lim |
n × xn− 1 |
= |
æ ¥ |
ö |
= lim |
n × (n - 1) × xn− 2 |
= ... = lim |
|
|
n! |
|
|
= 0 |
||||||||
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
x |
¥ |
a |
x |
× ln a |
a |
× ln |
a |
a |
x |
× ln |
n |
a |
|||||||||||||||
x→ + ∞ |
|
|
|
è |
ø |
|
x→ + ∞ |
|
|
è ¥ |
ø |
x→ + ∞ |
|
|
x→ + ∞ |
|
|
|
||||||||||
Вывод. Показательная функция y = |
ax ( a > 1 ) растет быстрее любой степенной функции |
|||||||||||||||||||||||||||
y = |
xα |
|
(α |
|
> |
0 ) при x → + ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для раскрытия других видов неопределенностей, а именно ( 0 × ¥ ) и (∞ − ∞), необходимо, используя элементарные преобразования, привести их к неопределенностям 00
или ∞¥ и применить правило Лопиталя. А именно
1) Пусть lim f (x) = 0 |
|
limg(x) = ∞ |
. Тогда имеем f (x) × g(x) = |
|
f (x) |
|
= |
|
g(x) |
||
, |
|
1 |
|
|
1 |
. При x → а |
|||||
x→ а |
|
x→ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
f (x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
69