Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

15-10-2013_17-20-24 / Мои лекции по матем анализу 1 часть.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2518 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

f (x)

g(x)

выражение

представляет собой неопределенность вида 0 , а

- неопределенность

g(x)

f (x)

вида

∞ .

2) При условии, что lim f (x) =

limg(x) =

+ ∞

(или −∞):

x→ а

1 ÷

g(x)

f (x)

lim( f (x) - g(x)) = limçç

÷÷

= lim

, то есть пришли к

x→ а

x→

f (x)

g(x)

f (x)

неопределенности вида

0 .

и ∞

На практике перехода к неопределенностям

зачастую удается достигнуть проще.

Пример 3. Вычислить предел

limç

÷ .

x -

x→ 1

ln x ø

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю, а затем к неопределенностям

применим правило Лопиталя дважды:

1 ö

= (¥

- ¥ )

ln x - x + 1

0 ö

limç

lim

= ç

÷ =

x -

ln x × (x - 1)

x→ 1 è

ln x ø

x→ 1

0 ø

1 - 1

0 ö

= lim

lim

x→ 1 1

- 1) +

ln x

0 ø

x→

Пример 4. Вычислить предел limæç 1 ö÷ tgx .

x→ 0+ 0 è x ø

Решение. Сначала применим основное логарифмическое тождество, вынесем показатель за знак логарифма, потом воспользуемся непрерывностью показательной функции, а затем правилом Лопиталя:

1 ö

tgx ö

1 ö

- ln x

tgx

lnç

ç tgx×ln

lim ctgx

= (¥

) =

lime

x ø

limç

x ø

limç

ex→ 0+ 0è

ex→ 0+ 0

x® 0+ 0 è

x® 0+ 0

−

= [применяем правило Лопиталя к показателю]

lim

−

x→ 0+ 0

sin2x

æç ¥ ö÷

= eè ¥ ø =

= e0 = 1

7.3. Формулы Тейлора и Маклорена для многочлена

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:
Pn (x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + ... + an × xn , где an ¹ 0.	(1)

Здесь он разложен по степеням x. Но его всегда можно разложить по степеням (x-x0), где x0 – любое фиксированное число. Одним из способов для этого, как показано в следующем примере, является замена.

Пример. Разложить по степеням (x-1) многочлен P3(x) = 4x3 + 5x2- x. Решение. Сделаем замену t = x-1, x = t+1. Тогда

P3(x) = 4(t+1)3 + 5(t+1)2- (t+1) = 4t3 + 12t2 + 12t+ 4 + 5t2 + 10t+ 5 – t - 1 = = 4t3 + 17t2 + 21t+ 8.

Теперь вернемся к переменной х, подставив t = x-1:

P3(x) = 4(x-1)3 + 17(x-1)2 + 21(x-1)+ 8. Это — искомое разложение.

Таким же образом многочлен Pn(x) с помощью замены t = x- x0, x = t+ x0 можно представить в виде

Pn (x) = c0 + c1 × (x - x0 ) + c2 × (x - x0 )2 + ... + cn × (x - x0 )n . (2)

Найдем выражения для коэффициентов c0, c1, …, cn через значения многочлена и его производных:

1)подставив в равенство (2) x = x0, получим: Pn(x0) = c0;

2)продифференцируем равенство (2) и снова подставим x = x0. Получим:

Pn '(x) = c1 +

2c2 × (x -

x0 ) +

3c3 × (x -

x0 )2 +

... + ncn × (x -

x0 )n− 1 ,

Pn ' (x0) = c1.

3) Аналогично далее находим:

x0 )2

x0 )n− 2 ,

Pn ''(x) = 2c2

+ 3× 2c3 × (x -

x0 ) +

4 × 3c4 × (x -

+ ... +

n(n -

1)cn × (x -

Pn '' (x0) = 2c2, т.е. с2 =

Pn ''(x0 )

;

)n− 3

P '''(x) = 3!c

+ 4 × 3× 2c

× (x -

) +

5 × 4 × 3c

× (x - x

... +

n(n - 1)(n - 2)c

× (x -

Pn ''' (x0) = 3!c3, т.е. с3

Pn '''(x0 )

;

. . .

n+1) Pn(n) (x) = n!cn , Pn(n)(x0) = n!cn, то есть

сn

(n) (x

)

−

коэффициенты Тейлора для многочлена.

Подставив выражения для с0, с1, …, сп

в (2), получим:

P (x) = P (x

) + P '(x

) × (x -

) + Pn

''(x0 ) × (x - x

)2 + ... +

(k ) (x

)

x0 )k ... +

P (n) (x

)

x0 )n

× (x -

или

P (k )

)

Pn (x) = å

× (x -

x0 )k

- формула Тейлора для многочлена.

k = 0

В частном случае, когда x0 = 0, формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

P (x) = P (0) + P '(0) × x +

P ''(0)

× x2 + ... +

P (k ) (0)

× xk ... +

( n) (0)

× xn

или

P (k ) (0)

Pn (x) = å

× x k

- формула Маклорена для многочлена.

k = 0

7.4. Формулы Тейлора и Маклорена для произвольной функции

Пусть функция

f (x)

имеет

производные

f ′(x0 ), f ′′(x0 ), ..., f (n) (x0 ) (т.е. все

производные с 1-й до (n − 1) -й существуют в некоторой окрестности точки x0 ). Многочлен

T (x) =

f (x

) +

f ¢(x

) × (x - x

) +

f ¢¢(x

)

× (x -

)2 + ... +

(n) (x

)

× (x -

(3)

называется многочленом Тейлора для функции

f (x) в точке x0 .

Основное свойство многочлена Тейлора

(n) (x

Tn (x0 ) =

f (x0 ) , Tn '(x0 ) =

f '(x0 ) , Tn ''(x0 ) = f ''(x0 ) , …,

) = f (n) (x

) .

Доказательство. Из формулы Тейлора для многочленов получаем:

T (k ) (x

)

)k ... +

(n) (x

)

T (x) = T (x

) + T '(x

) × (x - x

) +

... +

× (x - x

Сравнивая коэффициенты в этой формуле и формуле (3), получаем нужные равенства.

■

Разность rn (x) =

f (x) − Tn (x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

f (x) = Tn (x) + rn (x)

- формула Тейлора.

В предыдущем разделе было доказано, что если f(x) является многочленом степени n, то для нее многочлен Тейлора совпадает самой функцией. В общем случае это не так, то есть не всегда остаточный член равен нулю. Для него существуют различные формы записи.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

f (x) = f (x0 ) +

f ¢(x0 ) × (x - x0 ) +

f ¢¢(x0 )

× (x - x0 )2 + ... +

f (n) (x0 )

× (x - x0 )n + o((x -

x0 )n )

Доказательство. Докажем, что rn (x) =

o((x -

x0 )n ) при x ®

x0 , то есть lim

rn (x)

= 0 .

(x - x0 )

x→ x0

Так как rn (x) =

f (x) −

Tn (x) , то r (k )

(x) =

f (k ) (x) - T (k ) (x) , k = 0,1,…n.

Из основного свойства многочлена Тейлора следует, что

rn(k ) (x0 ) = f (k ) (x0 ) -

Tn(k ) (x0 ) = 0 , k = 0,1,…n.

Теперь для вычисления предела применим п раз правило Лопиталя:

lim

rn (x)

lim

rn¢ (x)

= ... =

lim

rn (n) (x)

0 . ■

n− 1

x→ x0

(x - x0 )

x→ x0 n × (x - x0 )

x→ x0

Для приложений формулы Тейлора нужны более конкретные формы остаточного члена. Чтобы их получить, приходится накладывать на функцию более сильные ограничения.

Пусть в некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 существуют производные f ¢(x), f ¢¢(x),... , f (n) (x), f (n+ 1) (x) . Зафиксируем произвольную точку x Î U (x0 ) , и возьмем z

между x0 и x . Составим вспомогательную функцию:

¢¢

(n)

ϕ (z) =

f (x) - f (z) - f ¢(z) × (x -

z) -

f (z)

× (x -

z)2 - ... -

(z)

× (x -

z)n .

Вычислим ϕ ′(z) :

′′′

(z)

′′

(z)

ϕ ¢(z) =

- f ¢(z) - f

¢¢(z) × (x -

z) +

f ¢(z) -

(x - z)2 +

× 2(x -

z) - ...

... -

f (n+ 1) (z)

× (x -

z)n +

f (n) (z)

× n(x - z)n− 1

f (n+ 1) (z)

× (x - z)n

g(z) ,

Теперь

выберем

другую

(произвольную)

функцию

так

чтобы она удовлетворяла

условиям теоремы Коши в U (x0 ) , и запишем теорему Коши для функций ϕ и g :

ϕ (x) - ϕ (x0 )

ϕ ′(c)

, где точка c лежит между x0 и x .

g(x) - g(x0 )

g¢(c)

Найдем значения ϕ (x)

и ϕ (x0 ) :

ϕ (x) =

;

ϕ (x0 ) =

f (x) - Tn (x) = rn (x) .

- rn (x)

ϕ ′(c)

Подставляя их в формулу Коши, находим:

g(x) - g(x0 )

g¢(c)

Отсюда

rn (x) = ( g(x) -

g(x0 )) ×

− ϕ ′(c)

, или, учитывая формулу для

′(z) :

g¢(c)

r (x) =

g(x) - g(x

)

f (n+ 1) (c)

× (x - c)n

g¢(c)

Точку с можно записывать в виде

c = x0 + (x -

x0 ) × θ

, где 0 < θ < 1.

Используя здесь различные функции g(z) , получаем разные виды остаточного члена:

1). Остаточный член в форме Лагранжа.

Возьмем g(z) = (x -

z)n+ 1 . Подставляя в формулу остаточного члена значения g(x) = 0 и

g(x

) = ( x - x

)n+ 1 ,

g¢(c) = - (n + 1)× (x - c)n , находим:

r (x) =

f (n+ 1) (c)

× (x -

)n+ 1 .

(n + 1)!

f (x) =

f (x ) +

f ¢(x

)× (x - x

) +

f ¢¢(x )

× (x -

x )

2 + ...+

f (n)

(x )

× (x -

x )n +

f (n) (c)

× (x - x )n+ 1

(n + 1)!

( c лежит между x0

и x ) – формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

2). Остаточный член в форме Коши.

Возьмем g(z) = x − z . Тогда g(x) = 0

, g(x0 ) = x -

x0 , g′(c) = − 1. Подставив эти значения в

формулу остаточного члена, получим: r (x) =

f (n+ 1) (c)

× (x -

c)n × (x -

) . Запишем точку с в

виде c =

x0 +

(x -

x0 ) × θ

, где 0 < θ

< 1. Тогда x - c =

(x -

x0 ) × (1- θ ) , откуда

r (x) =

f (n+ 1) (c)

× (x - x

)n+ 1 × (1- θ )n .

¢¢(x

)

f (n)

)

f (x) =

f (x0 ) +

f ¢(x0 ) ×

(x - x0 ) +

× (x -

x0 )2

+ ...

× (x -

x0 )n +

f (n+ 1) (c)

× (x -

x0 )n+ 1 × (1-

θ )n

( c

лежит между x0

и x , 0 < θ < 1) –

формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши.

3). Остаточный член в форме Шлемильха - Роша.

Возьмем g(z) = ( x - z) p . Тогда

g(x) = 0 , g(x0 ) = ( x - x0 ) p , g¢(c) = - p × ( x -

c) p− 1 . Подставив эти

значения в формулу остаточного члена, получим:

r (x) =

f (n+ 1) (c)

(x - x0 ) p

f (n+ 1) (c)

× (x - x

) p × ( x - c)n− p+ 1

p × ( x - c) p− 1− n

p × n!

f (x) =

f (x0 ) +

f ¢(x0 ) ×

(x - x0 ) +

¢¢(x

)

× (x -

x0 )2

+ ...

f (n)

)

× (x -

x0 )n +

f (n+ 1) (c)

× (x -

x0 ) p × ( x - c)n− p+ 1

(где c лежит между x0

и x ) –

p × n!

формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха - Роша.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2518 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 15-10-2013_17-20-24

#
27.03.201529.7 Кб32Коллоквиум1.doc
#
27.03.20152.72 Mб151Мои лекции по матем анализу 1 часть.pdf