Аннотация

Настоящее пособие имеет своей целью дать студентам физического факультета в систематическом изложении те сведения из математического анализа, которые необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин.

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения. Абстрактность математики означает, что объектами ее изучения являются математические модели.

Математические методы исследования всегда играли и продолжают играть огромную роль в естествознании. В качестве примера можно привести такие теоретические открытия, как обнаружение планеты Нептун, доказательство существования электромагнитных волн или открытие позитрона, осуществленные сначала математически и лишь потом нашедшие экспериментальное подтверждение.

Математический анализ изучает функциональные зависимости и является той частью классической математики, которая служит основой для почти любой математической дисциплины.

Задачи курса

Дать достаточно глубокое, систематическое изложение основных фактов. На их базе студент или молодой специалист, когда это ему понадобится, сможет достаточно легко освоить другие вопросы, то есть будет иметь возможность «доучиваться».

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, развиваются и накапливаются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. Часто мнение о трудности изучении математики связано с туманным и нечистым ее изложением на интуитивном уровне. Наилучший и кратчайший способ разъяснить какое-либо математическое понятие – это дать его точную формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения объяснить теорему, выявить ее смысл, установить ее связь с ранее изученными фактами – это доказать теорему.

Однако при изложении курса математического анализа на физическом факультете следует соблюдать известную умеренность в отношении полноты и математической строгости доказательств. Особое внимание необходимо сосредоточить на выявлении конкретного содержания понятий и на методике применения математического аппарата в физике и других смежных науках.

При изучении математики особенно важна последовательность освоения материала. Например, тема «Дифференцирование» основывается на теории пределов. Интегрирование функций нельзя понять, не усвоив теорию дифференцирования и, естественно, теорию пределов.

На практике возможны незначительные перестановки в последовательности изложения. Но, безусловно, обязательно содержание материала в целом, знать его необходимо в полном объеме программы. При самостоятельном изучении из множеств учебников лучше выбрать какой-либо один, наиболее соответствующий курсу, которым и пользоваться систематически, в случае необходимости обращаясь и к другим пособиям.

Успешно освоить курс можно только при условии, если изучать его активно, с карандашом в руках, выполняя рисунки, воспроизводя выводы, не глядя в пособие или учебник, решая достаточное число упражнений к каждой теме.

Некоторые темы, например «Методы приближенных вычислений определенных интегралов», «Общий критерий Коши сходимости и равномерной сходимости последовательностей, рядов, интегралов», «Равномерная непрерывность функций» и другие можно рекомендовать для самостоятельного изучения.

4