6.11. Дифференциалы высших порядков
Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала первого
порядка: |
|
d 2 y = d(dy) . |
|
|
|
Дифференциал первого порядка – это функция от двух переменных: x |
и приращения |
||||
dx . Зафиксируем |
dx , будем считать, что меняется только переменная х. Подставляя |
||||
dy = y`(x)dx и пользуясь правилами вычисления дифференциала, получаем: |
|
||||
d 2 y = d(y¢(x) × dx) = |
dx × d(y¢(x)) = dx × y¢¢(x)× dx = y¢¢(x)× (dx)2 . |
Итак, получили |
формулу для |
||
вычисления дифференциала второго порядка: |
|
|
|||
|
|
d 2 y = y¢¢(x) × dx2 |
|
(1) |
|
Аналогично выводится формула для вычисления дифференциала n-го порядка:
d n y = y(n) dxn .
|
|
Свойства дифференциала п-го порядка |
1) |
d n (c × f ) = c × |
d n f |
2) |
d n ( f + g) = d n f + d n g |
|
3) |
d n ( f × g) = ån Cnk × d n− k f ×d k g |
|
|
k = |
0 |
Свойство инвариантности, справедливое для дифференциала первого порядка, для дифференциала n -го порядка неверно. Действительно, пусть x = x(t) . Тогда, пользуясь правилом для вычисления дифференциала от произведения, получим:
d 2 y = d( y¢(x)× dx) = d( y¢(x)) × dx + |
y¢(x)× d 2 x , откуда |
|
d 2 y = |
y¢¢(x)× dx2 + y¢(x)× xt² × dt2 . |
(2) |
Формулы (1) и (2) отличаются вторым слагаемым. Если оно не равно нулю, то свойство инвариантности дифференциала 2-го порядка не выполняется. Второе слагаемое обращается в нуль в том случае, если функция x(t) линейна. Поэтому при линейной замене x(t) = at + b свойство инвариантности дифференциала 2-го (и n -го) порядка верно.
64