sin 31° » sin

π

+ cos

π

× D x =

1

+

3

×

π

» 0,5 + 0,866× 0,0175 » 0,5152 .

6

6

2

2

180

f ¢¢¢ = f (3)

= ( f ¢¢)′ ,

f

IV

=

f (4)

= ( f ¢¢¢)′ , . . .

Пример. y = sin x

f ¢(x) =

æ

π

ö

cos x = sinç

+ x÷

2

è

ø

f ¢¢(x) =

-

sin x =

sin(π

+

x)

f ¢¢¢(x) =

-

cos x =

æ

3π

+

x

ö

sinç

÷

2

è

ø

(4)

æ

4π

ö

f

(x)

=

sin x =

sinç

+

x÷

2

è

ø

sin

(n)

(x) =

æ

π

×

n

+

ö

.

sinç

2

x÷

è

ø

Аналогично получается формула

cos

(n)

(x) =

æ

π

×

n

+

ö

.

cosç

2

x÷

è

ø

Правила вычисления производных высших порядков

1)

(c × f )(n) = c × f (n)

2)

( f + g)(n) = f (n) + g (n)

3)

( f × g)(n) = ån Cnk × f (n− k ) × g (k ) - формула Лейбница

2). Пусть для n формула верна: ( f × g)(n) =

ån Cnk ×

f (n− k ) × g(k )

k= 0

. Покажем, что она верна

n+ 1

для следующего натурального числа n+1, то есть что

( f × g)(n+ 1) =

å Cnk+ 1 ×

f (n+ 1− k ) × g(k ) .

k= 0

Из определения производной порядка (n+1) и предположения индукции получаем

( f × g)(n+ 1) = (( f × g)(n) )

¢

æ

n

ö ′

n

¢

=

= ç

å

Cnk × f (n− k ) × g(k ) ÷

= å Cnk × ( f (n− k ) × g(k ) )

è

k= 0

ø

k= 0

= ån Cnk × ( f (n+ 1− k ) × g(k ) + f (n− k ) × g(k+ 1) ) = ån Cnk × f (n+ 1− k ) × g(k ) + ån Cnk × f (n− k ) × g(k+ 1)

k= 0

k= 0

k= 0

Во втором слагаемом заменим сначала k + 1 на m , а затем m на k :

n

n+ 1

n+ 1

å Cnk × f (n− k )

× g(k+ 1)

= å Cnm− 1 × f (n− m+ 1) × g(m) = å

Cnk− 1 × f (n− k+ 1) × g

(k ) .

k= 0

m= 1

k= 1

Отсюда получаем:

( f × g)(n+ 1) = ån Cnk × f (n+ 1− k ) × g (k ) + ån Cnk × f (n− k ) × g (k + 1) =

k = 0

k = 0

n

n+ 1

= å Cnk × f (n

+ 1− k ) × g (k )

+ å Cnk − 1 × f (n− k + 1) ×

g (k ) =

k = 0

k = 1

= Cn0 × f (n+ 1) ×

g (0) +

ån

Cnk ×

f (n+ 1− k )

× g (k ) +

ån Cnk − 1 ×

f (n+ 1− k ) ×

g (k )

+ Cnn ×

f (0) × g (n+ 1)

=

k = 1

k = 1

= f (n+ 1) + ån (Cnk + Cnk − 1 )× f (n+ 1− k ) ×g (k ) + g (n+ 1) .

k = 1

n!

n!

= n!(n − k + 1+ k) =

(n + 1)!

Так как Cnk +

Cnk − 1 =

+

=

Cnk+ 1

k!(n - k)!

(k - 1)!(n -

k + 1)!

k!(n - k +

1)!

k!(n - k + 1)!

,

n

n+ 1

■

то ( f × g)(n+ 1) = f (n+ 1) + g(n+ 1)

+ å Cnk+ 1 × f

(n+ 1− k ) ×g(k ) = å

Cnk+ 1 × f (n+ 1− k ) × g(k ) .

k= 1

k= 0

Пример. Вычислим (x2 × sin x)(20) .

Пусть f (x) =

sin x,

g(x) =

x2 . Тогда по формуле Лейбница

(x2 × sin x)(20)

= C200 × x2 × (sin x)(20) + C201 × 2× x × (sin x)(19) + C202 × 2× (sin x)(18) + 0 =

= x2 × sin x - 20× cos x × 2× x -

2×190× sin x =

(x2 - 380) × sin x -

40×

x × cos x.

6.9. Производная функции, заданной параметрически

Говорят, что функция y(x) задана параметрически, если и переменная x, и функция y

ì

x =

x(t)

,

t Î

T.

заданы как функции некоторого параметра t: í

y =

î

y(t)

Применяя тригонометрические формулы sin 2t =

2

× tgt

и cos2t =

1- tg2t

, находим явное

1+

tg2t

1+ tg2t

выражение для y(x):

2x

2 - 2x

2

2x2 + 2x - 2

y =

-

Þ y =

- функция задана явно.

1

+ x2

1+ x2

1+ x2

Из формулы вычисления дифференциала dy = y′(x) × dx , учитывая равенства

dx =

x′(t)dt и dy = y′(t)dt , получаем: y¢(x) = dy =

y′(t) × dt

=

y′(t)

.

dx

x¢(t)× dt

x¢(t)

Итак,

y′(x) =

y′(t)

- формула для производной функции, заданной параметрически.

x′(t)

Заметим, что здесь производная, как и сама функция, тоже задана параметрически:

ì

x =

x(t)

ï

y¢(t),

t Î T. От нее тоже можно брать производную. Вторая производная – это

í

y¢(x)

=

ï

x¢(t)

î

производная от первой производной: y′′(x) = ( y′(x)) x′ .

Отсюда

( y¢(x))

′

1

æ

y¢ ö

y¢¢(x) =

t

=

×

ç

t

÷ ¢

- формула для второй производной функции, заданной

x¢

x¢

ç

x¢ ÷

t

t

è

t ø t

параметрически.

Пример

1. Вычислите

первую

и вторую производную

функции заданной с помощью

системы

ì

x =

ln(1+ t

2 )

.

í

y =

t -

arctgt

î

¢

1-

1

2

ì

ln(1+ t

2

)

(t - arctgt)

1+

t

- 1

t

ï x =

y¢(x) =

t

=

1+ t

2

=

=

параметрически:

. Итак,

í

t

.

(ln(1+ t 2 ))t

¢

2t

2

y¢ =

2t

ï

2

1+

t 2

î

æ

t

ö

¢

1

ç

÷

2

1+

t 2

Так как y′′(x) = (

y′(x)) x′ , то

y¢¢(x) =

è

ø

t

=

2

=

.

(ln(1+ t 2 ))t ¢

4t

2t

1+

t 2

ì x =

a × cost

Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции

, 0 £ t £ π

í

y =

b × sin t

π

î

в точке t0 =

.

4

Решение. Уравнение касательной к графику

функции

y = y(x)

в

точке

x0

имеет вид:

y = y′(x0 ) × ( x -

x0 ) + y(x0 ) . Подставляя в уравнения для х и у значение

t0 =

π

, находим:

4

x0 =

2

a ,

y(x0 ) =

y(t0 ) =

2

b . Вычислим производную y'(x):

2

2

(b ×

sin t)

′

b×

cost

b ×

2

b

y¢(x) =

= -

y¢(x0 ) = -

2

= -

t

,

.

(a ×

cost)t¢

a ×

sin t

a

a ×

2

2

Подставим найденные значения в уравнение

b

æ

ö

2

2

касательной

y =

-

ç x

-

a÷

+

b , получим

a

ç

2

÷

2

b x +

è

ø

y = -

b - уравнение касательной к графику

2

a

æ

ö

2

2

функции y = y(x) в точке

ç

a;

b÷ .

ç

2

2

÷

è

ø

6.10. Производная функции, заданной неявно

Неявное задание – один из способов задания функции.

Функция задана явно, если y = y(x).

Уравнение F(x, y) = 0

задает функцию y(x) неявно.

Одну и ту же функцию можно задать разными способами.

Пример 1. x2 +

y2 - 1 =

0 - неявное задание окружности

радиуса 1 с центром в точке (0;0).

Эту же окружность можно задать параметрически:

ì x =