Оглавление

Аннотация...........................................................................................................................................

4

Задачи курса...................................................................................................................................

4

§1. Множества, действия над множествами....................................................................................

5

1.1. Общие свойства множеств.....................................................................................................

5

1.2. Натуральные числа.................................................................................................................

6

1.2. Целые числа.............................................................................................................................

8

1.3. Рациональные числа...............................................................................................................

8

1.4. Иррациональные числа..........................................................................................................

8

1.5. Действительные числа............................................................................................................

8

1.6. Модуль действительного числа...........................................................................................

10

1.7. Подмножества множества R................................................................................................

11

1.8. Свойства множества R.........................................................................................................

12

§2. Функции действительного переменного..................................................................................

14

2.1. Способы задания функции...................................................................................................

14

2.2. Элементарные свойства функций.......................................................................................

16

Свойства возрастающих и убывающих функций.....................................................................

16

2.3. Элементарные функции.......................................................................................................

19

§3. Числовая последовательность.

Предел числовой последовательности...........................................................................................

20

3.1. Расширенная числовая прямая.

Окрестности точек расширенной числовой прямой................................................................

20

3.2. Определение числовой последовательности и ее предела...............................................

20

3.3. Основные свойства предела последовательности.............................................................

22

3.4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.....................................................

25

3.5. Арифметические действия над пределами последовательностей...................................

26

3.6. Вычисление пределов последовательностей.....................................................................

27

§4. Предел функции..........................................................................................................................

29

4.1. Определения предела функции...........................................................................................

29

4.2. Свойства пределов функций................................................................................................

33

4.3. Замечательные пределы.......................................................................................................

35

4.4. Сравнение функций. Применение эквивалентностей

и метода выделения главной части при вычислении пределов..............................................

38

4.5. Односторонние пределы......................................................................................................

40

§5. Непрерывность функции ..........................................................................................................

42

5.1. Определение непрерывности функции в точке.................................................................

42

5.2. Точки разрыва функции и их классификация....................................................................

43

5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке....................................................................

45

§6. Производная функции одной переменной...............................................................................

50

6.1. Определение производной функции в точке.....................................................................

50

6.2. Односторонние производные. Связь непрерывности функции в точке с

существованием конечной производной...................................................................................

51

6.3. Правила вычисления производной. Таблица производных..............................................

52

6.4. Таблица производных..........................................................................................................

55

6.5. Физический и геометрический смысл производной.........................................................

55

6.6. Логарифмическое дифференцирование.

Степенно-показательная функция..............................................................................................

56

6.7. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.................................................

57

6.8. Производные высших порядков..........................................................................................

60

6.9. Производная функции, заданной параметрически............................................................

61

6.10. Производная функции, заданной неявно..........................................................................

63

6.11. Дифференциалы высших порядков...................................................................................

64

§7. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Формула Тейлора..............................................................................................................................

65

7.1. Основные теоремы дифференциального исчисления.......................................................

65

7.2. Правила Лопиталя.................................................................................................................

67

7.3. Формулы Тейлора и Маклорена для многочлена..............................................................

70

7.4. Формулы Тейлора и Маклорена для произвольной функции.........................................

71

7.5. Разложение по формуле Тейлора (Маклорена)

некоторых элементарных функций............................................................................................

74

7.6. Приложения формулы Тейлора.........................................................................................

76

§8. Исследование функций с помощью производной...................................................................

78

8.1. Условия постоянства функции на промежутке.................................................................

78

8.2. Условия монотонности функции на промежутке..............................................................

78

8.3. Экстремум функции.............................................................................................................

79

8.4. Выпуклость функции............................................................................................................

83

8.5. Точки перегиба......................................................................................................................

84

8.6. Асимптоты функции.............................................................................................................

85

8.7. Полное исследование функции и построение её графика................................................

86

Наибольшее и наименьшее значения функции.............................................................................

88

§9. Кривые на плоскости и в пространстве....................................................................................

90

9.1. Понятие кривой.....................................................................................................................

90

9.2. Понятие длины кривой и достаточное условие ................................................................

90

9.3. Натуральный параметр.........................................................................................................

91

9.4. Кривизна кривой и радиус кривизны..................................................................................

92

9.5. Вычисление кривизны плоской кривой..............................................................................

92

9.6. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента.................................................................

93

9.7. Формулы для координат центра кривизны........................................................................

93

9.8. Эволюта и эвольвента кривой.............................................................................................

94

Список литературы...........................................................................................................................

96