§3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

3.1. Расширенная числовая прямая. Окрестности точек расширенной числовой прямой

Понятие ε-окрестности точки а расширенной числовой прямой

I.a R

Uε (a) = {x Î R | a - ε < x < a + ε } = {x Î R | x - a |< ε }

U˚ a ={x R 0 x−a } - выколотая окрестность (ε – маленькое).

II.a = + ∞

Uε (+ ∞ ) = {x R | x > ε }

(ε – большое).

III.a = − ∞

Uε (− ∞ ) = {x R | x < − ε }

(ε – большое).

IV. a = ∞

Uε (∞ ) = {x R | x |> ε }

(ε – большое).

3.2. Определение числовой последовательности и ее предела

Определение. Числовая последовательность – это функция натурального аргумента, принимающая действительные (или комплексные) значения. При этом каждому натуральному числу по некоторому правилу сопоставляется действительное (или

комплексное) число: f : N → R , n ǀ® f(n) = f n.

20

Последовательностью называют также множество значений этой функции. Обычно ее записывают в виде { fn}n N или { f1, f2 ,..., fn ,...} , где f1 – первый член последовательности, f2 –

второй член последовательности, fn – общий (n-й) член последовательности.

Определение. Предел числовой последовательности {xn}n N - это точка a расширенной

числовой прямой, такая что для любой её окрестности все члены последовательности, начиная с некоторого, попадают в эту окрестность.

Поскольку а – это либо число, либо одна из бесконечностей, определение предела можно уточнить, рассмотрев следующие 4 случая.

1 случай. a – число ( a R ).

lim xn = a ε > 0 n0 = n0 (ε ) N : n > n0 | xn − a |< ε .

n→ + ∞

Когда предел последовательности конечен, для любого ε > 0 внутрь интервала (a - ε, a + ε) попадут все члены последовательности, начиная с некоторого номера n0+1. Вне этого интервала может находиться только конечное число членов последовательности (не более n0). С уменьшением ε номер n0 может увеличиваться.

Пример. xn = 2n + 5.

Пример. xn = -n2.

Пример. xn = (-1)n×n.

Не каждая последовательность имеет предел:

Пример последовательности, не имеющей ни конечного, ни бесконечного предела: xn = (- 1)n .

21

Определения.

1). Последовательность сходится, если у нее существует конечный предел (число).

2). Последовательность называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности (с любым знаком: + ∞ , − ∞ или ∞ ).

3). Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

4). Последовательность возрастает, если "nÎN an+1>an (или an+1/an > 1 для положительной последовательности).

5). Последовательность убывает, если "nÎN an+1<an (или an+1/an < 1 для положительной последовательности).

6). Последовательность ограничена сверху, если существует MÎR, такое что "nÎN an £

M.

7). Последовательность ограничена снизу, если существует mÎR, такое что "nÎN an ³ m. 8). Последовательность ограниченна, если она ограничена и сверху и снизу (то есть

существуют m, M Î R, такие что "nÎN m £ an £ M.

3.3. Основные свойства предела последовательности

Теорема 1. Если последовательность сходится, то ее предел единственный. Доказательство (методом от противного).

Получили противоречие: |b-a| < |b-a|. Значит предположение a¹b не верно, и двух разных пределов у последовательности быть не может. ¨

выполнены неравенства xn £ M и xn ³ m. Таким образом, последовательность ограничена и сверху и снизу. ■

Обратное утверждение (если последовательность ограничена, то она сходится) не верно: Пример ограниченной последовательности, не имеющей предела: xn = (- 1)n .

Хотя при всех nÎN -1£xn£1, но lim xn не существует.

n→ + ∞

22

Определение. Подпоследовательностью последовательности {xn} называется последовательность xn1 , xn2 ,...xnk ,... , где n1<n2<…<nk<… .

Несмотря на то, что ограниченная последовательность не всегда сходится, верна следующая теорема:

Теорема 3 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Без доказательства.

Определение.

1)Частичный предел последовательности – предел любой из ее подпоследовательностей.

2)Верхний предел последовательности {xn} – это наибольший из всех ее частичных

пределов. Он обозначается lim xn . n→ + ∞

3) Нижний предел последовательности {xn} – это наименьший из всех ее частичных

Теорема 4. (Критерий Коши сходимости последовательности.)

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши

ε > 0 n0 = n0 (ε ) N : n > n0 , m > n0 | xn − xm |< ε

(т.е. далекие члены последовательности близки между собой).

Без доказательства.

Теорема 5. (О существовании предела монотонной ограниченной последовательности.)

Любая неубывающая и ограниченная сверху последовательность сходится к своей точной

Доказательство. Так как по свойству 1 множества действительных чисел любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань, то существует

Ниже мы применим эту теорему для доказательства существования числа е.

Теорема 6. (О предельных переходах в неравенствах.)

23

Доказательство (методом от противного).

Каждая скобка положительна и ограничена сверху единицей, поэтому произведение скобок также ограничено сверху единицей. Отсюда

24