4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы

1. Что называется функцией, числовой последовательностью?

2. Что называется пределом числовой последовательности, функции?

3. Сколько пределов может иметь числовая последовательность?

4. Какие величины называются бесконечно большими, бесконечно малыми?

5. Какая связь существует между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами?

6. Какие пределы называют первым и вторым специальными пределами?

7. Какими свойствами обладают пределы?

Решение типового примера

Пример 4.1. Найти указанные пределы.

1. ; 2) ; 3).

Решение.

1) _.

Воспользуемся непосредственной подстановкой предельного значения переменной: .

2) _.

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на множители, используя формулу: , где- корни соответствующего квадратного уравнения.

, ,

, или ,.

Тогда или.

, ,

, или ,.

Тогда .

Подставим найденные разложения в исходный предел:

.

3) _.

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби старшую степень переменной:

,

Так как , то. Таким образом, после непосредственной подстановки окончательно получаем:

Задачи контрольной работы

В заданиях 4.1.1 – 4.1.20 найти указанные пределы.

	;	a) , b) , c) .
	;	a) ,b) ,c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .
	;	a) , b) , c) .

Пример 4.2. Вычислить пределы:

а) ;б) ; в).

Решение.

а) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, домножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на величины, сопряженные числителю и знаменателю (т.е. на и):

.

б) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, введем новую переменную , где(т.еесть наименьшее общее кратное показателей радикалов, стоящих в числителе и в знаменателе). В нашем случае. Кроме того,следовательно, или. Таким образом, мы получаем

.

Однако, непосредственная подстановка опять приводит к неопределенности , которую мы устраним, разложив числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулы сокращенного умножения:

.

в) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

.

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на величину, ему сопряженную (т.е. на ):

.

Однако, непосредственная подстановка опять приводит к неопределенности , которую мы устраним, разделив числитель и знаменатель дроби на:

.