- •Общие методические указания
- •Консультации
- •Литература
- •1. Элементы линейной алгебры
- •Задачи контрольной работы
- •2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •6. Исследование функций Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Определенный интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи контрольной работы
- •9. Функции нескольких переменных Частные производные Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
- •Решение типовых примеров.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задачи контрольной работы
- •Числовые и функциональныеряды Программные вопросы.
- •Постановка задачи.
- •План решения задачи.
- •Постановка задач.
- •План решения задач.
- •Постановка задачи 4.
- •План решения задачи 4.
- •Постановка задачи 5.
- •План решения задачи 5.
- •Постановка задачи 6.
- •План решения задачи 6.
- •Постановка задачи 7.
- •План решения задачи 7.
- •1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, ,используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
- •Постановка задачи 8.
- •План решения задачи 8.
- •Постановка задач 9-11.
- •План решения задач 9-11.
- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
Представленную в табл.13.1 совокупность можно считать выборкой из генеральной совокупности, то есть совокупности всех изучаемых объектов. По этим данным можно найти такое количественное значение признака, которое позволяет получить и надёжное представление об интересующем нас параметре, то есть получить статистическую оценку. Различают оценки точечные и интервальные.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Для генеральной средней точечной оценкой является выборочная средняя, т.е. ; для генерального среднего квадратического отклонения такой оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение, т.е.. При этом следует помнить, что при небольших объёмах выборки (n < 60) следует умножить SХ на корректирующий множитель .
Таким образом, для нашей задачи точечная оценка генеральной средней – это выборочная средняя, то есть, .Точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения будет величина:SГ ≈SХ ≈ 11,9.
Интервальной называют оценку, которая определяется парой чисел ─ концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Интервальную оценку генеральной средней a нормальной совокупности можно найти по формуле: , гдеt = t(p,n) – аргумент функции Лапласа, при котором Ф(t) = p. Значение t находят по таблице приложения 5.
Интервальной оценкой генерального среднего квадратического отклонения SГ нормально распределённого признака Х служит доверительный интервал:
при q < 1,
0 < SГ < SХ (1+q) при q>1,
где q=q(p;n) находят по таблице приложения 6.
Для определения интервальной оценки генеральной средней а по заданным p = 0,95 и n = 60 из таблицы приложения 5 найдём t = t(0,95;60) = 2. Теперь рассчитаем предельную оценку выборки и доверительный интервал для генеральной средней из неравенства:
Тогда 45,5 – 3,2 < а <45,5 + 3,2 или 42,3 < a < 48,7.
Интервальные оценки генерального среднего квадратического отклонения SГ вычисляются следующим образом. По таблице приложения 6 найдём q = q(p;n) = q(0,95;60) = 0,188.
Тогда из неравенства имеем:
11,9(1-0,188) < SГ < 11,9(1+0,188) или 9,7 < SГ < 14,1.
6) Найдём теперь ошибки выборочных оценок. Ошибка выборочной средней (стандартное отклонение выборочной средней) при нормальном законе распределения определяется по формуле:.
Относительная ошибка выборочного среднего находится следующим образом:
Сопоставление ошибки выборочного среднего с его величиной даёт представление о точности вычисления выборочного среднего (точности опыта). Для рассматриваемой задачи ошибка выборочной средней равна . Относительная ошибка выборочного среднего (точность опыта):.
Ошибка выборочного среднего квадратического отклонения (стандарта) Sст при нормальном законе распределения вычисляют по формуле: . Тогда относительная ошибка вычисления стандарта равна:. Ошибка выборочного среднего квадратического отклонения. Относительная ошибка вычисления стандарта:.
7) Проведем анализ вычисленных статистических параметров.
Полученные статистические характеристики дают возможность сделать следующие выводы:
Затраты на животноводство по выбранным хозяйствам в среднем составляют = 455 тыс. руб. на 100 голов. В большинстве хозяйств они несколько больше: М0 = 464 тыс. руб. При этом передовые хозяйства затрачивают на животноводство тыс. руб., а отстающие ─ в среднем только потыс. руб. Наиболее отстающими являются 10 хозяйств, у которых затраты не превышают 369 тыс. руб.
Проведённая проверка согласия опытного и теоретического распределения по критериям χ2 ─ Пирсона и ─ Смирнова подтвердила, что данный признак Х можно считать подчиняющимся закону нормального распределения. Это даёт основание при вычислении интервальных оценок параметров использовать формулы нормального распределения.
Рассеяние данных относительно выборочного среднего характеризуется стандартным отклонением Sx =119 тыс. руб. коэффициент вариации V% = 26,2% превосходит 20 %, что свидетельствует о значительном разбросе данных выборки Х - денежных затрат на животноводство в различных хозяйствах.
Вычисленная ошибка выборочного среднего тыс. руб. даёт возможность определить относительную ошибку найденного выборочного среднего, которая достаточно мала (менее 5%), а также найти приточность оценки генеральной средней (тыс. руб.) и установить с надёжностьюр = 0,95 доверительный интервал генеральной средней 423 < a < 487 тыс. руб., следовательно, можно с надёжностью р = 95% ожидать, что средние затраты на животноводство в целом по области (генеральная совокупность) будут находиться в пределах от 423 тыс. руб. до 487 тыс. руб. на 100 голов, а среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности ─ в доверительном интервале: 97 < SГ < 141 тыс. руб.