- •Общие методические указания
- •Консультации
- •Литература
- •1. Элементы линейной алгебры
- •Задачи контрольной работы
- •2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •6. Исследование функций Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Определенный интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи контрольной работы
- •9. Функции нескольких переменных Частные производные Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
- •Решение типовых примеров.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задачи контрольной работы
- •Числовые и функциональныеряды Программные вопросы.
- •Постановка задачи.
- •План решения задачи.
- •Постановка задач.
- •План решения задач.
- •Постановка задачи 4.
- •План решения задачи 4.
- •Постановка задачи 5.
- •План решения задачи 5.
- •Постановка задачи 6.
- •План решения задачи 6.
- •Постановка задачи 7.
- •План решения задачи 7.
- •1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, ,используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
- •Постановка задачи 8.
- •План решения задачи 8.
- •Постановка задач 9-11.
- •План решения задач 9-11.
- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
Решение типового примера
Пример 7.1.
Пусть даны комплексные числа ,,.
Вычислить в алгебраической форме: ,,,.
Изобразить ив комплексной плоскости.
Записать в тригонометрической форме.
Найти и.
Решение.
а) Вычислить в алгебраической форме: ,,,.
Подставим вместо иих значения и раскроем скобки:
.
Приведем подобные члены и воспользуемся определением мнимой единицы: , тогда получим
.
Вычислим . Домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на:
.
Воспользуемся определением мнимой единицы: , тогда получим:
.
Найдем :
.
Вычислим :.
.
б) Изобразитьи в комплексной плоскости.
в) Записать ив тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:, где,.
В нашем случае: ,.
Т.о. тригонометрическая форма записи комплексного числа
.
г) найти и.
Для возведения комплексного числа в степень и извлечения корней используются формулы Муавра:
,
.
Таким образом
.
.
Следовательно:
,
,
,
.
Задачи контрольной работы
В заданиях 7.1.1 – 7.1.20 даны комплексные числа и.
Вычислить в алгебраической форме: ,,,.
Изобразить ив комплексной плоскости.
Записать в тригонометрической форме
Найти и.
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Неопределенный и определенный интегралы.
Программные вопросы.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Методы вычисления неопределенных интегралов.
Определенный интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Решение типовых примеров.
Неопределенный интеграл.
Интегрирование методом подстановки (замены переменной).
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
х (t), где t – новая переменная, а (t) – непрерывно дифференцируемая функция; тогда
t (x), где t – новая переменная; в этом случае:
Пример 8.1. Вычислить интеграл
Решение. Вычислим этот интеграл методом подстановки.
Возвращаясь к старой переменной , находими подставляем в найденное выражение:
Ответ:
Пример 8.2. Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную , эта подстановка приводит интеграл к такому виду:
Ответ: .
Метод интегрирования по частям.
Пусть U=U(x) и V=V(x) – функции аргумента х, имеющие непрерывные производные. Тогда возможно интегрирование по частям:
∫UdV = UV - ∫VdU
где V находится по формуле V dV.
Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла ∫UdV к вычислению интеграла ∫VdU .
Успех применения формулы интегрирования по частям зависит от правильности выбора множителей U и dV в подынтегральном выражении исходного интеграла. Существуют два полезных правила для такого выбора:
Интегралы вида ∫ P(x)ekxdx , ∫ P(x)sinkxdx, ∫ P(x)coskxdx ,
где Р(х) – многочлен, а k – некоторое число, вычисляются по приведенной выше формуле , если положить Р(х)=U.
Интегралы вида ∫ P(x)lnxdx, ∫ P(x)arcsinxdx, ∫ P(x)arccosxdx,
∫ P(x)arctgxdx , ∫ P(x)arcctgxdx , где Р(х) – многочлен. Во всех этих интегралах за и при интегрировании по частям принимают функцию, являющуюся множителем при Р(х), а произведение P(x)dx = dV.
Пример 8.3. Вычислить интеграл
Решение. Согласно формулы интегрирования по частям получаем:
Ответ:
Пример 8.4. Вычислить интеграл
Решение. Интегрируя по частям получаем:
= =
=
Ответ: .
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида где Р(х) и Q(x) – многочлены. Если степень многочлена Q(x) выше степени многочлена Р(х), то такая рациональная дробь называется правильной; в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими дробями I, II, III и IV типов называются рациональные дроби следующего вида:
I.
II. где m – целое число, большее единицы.
III. где квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет
действительных корней.
IV. где n – целое число, большее единицы, а
x2 + px + q не имеет действительных корней.
Любая правильная рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей по следующему правилу:
1. Необходимо знаменатель Q(x) разложить на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней.
2. Дробь надо разложить на сумму простейших дробей следующим образом:
каждому сомножителю (х – а)k разложения Q(x) отвечает в разложении дроби разложение вида
где а – корень многочлена Q(x), а k – кратность этого корня; A1, A2, …, Ak – числа (неопределенные коэффициенты);
каждому сомножителю разложенияQ(x) – выражение вида
где l – кратность многочлена в разложенииQ(x); Bi и Ci (i 1, 2, …, l) – неопределенные коэффициенты.
3. Полученное равенство необходимо привести к общему знаменателю и, получив равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями, приравнять числители.
4. Найти определенные коэффициенты можно двумя способами.
Первый способ. Раскрыть скобки, привести подобные члены и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.
Второй способ. Не раскрывая скобок, задать аргументу х столько различных значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов.
В обоих случаях получаются системы линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов, решая которые получают значения искомых неопределенных коэффициентов.
Замечание. Для нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби необходимо, прежде всего выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде:
где M(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь.
Пример 8.5. Вычислить интеграл
Решение. Знаменатель дроби имеет корни х их , и его можно разложить на множители следующим образом:
Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
Приравнивая числители, получим:
Коэффициенты А1 и А2 можно найти двумя способами.
Первый способ. Раскроем скобки в правой части последнего равенства и приведем подобные члены:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
х1 3 = А1 + А2
х0 8 = 5А1 - 2А2
Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
, решая которую найдем А1 = 2, А2 = 1.
Следовательно,
Второй способ. Будем задавать определенные значения х (желательно те значения, при которых знаменатели простейших дробей равны нулю):
-
х = 2
х = -5
Таким образом, искомый интеграл
Ответ:
Пример 8.6. Вычислить интеграл
Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Линейному множителю (х 3) знаменателя этой дроби отвечает дробь а множителю (х – 2)2 – сумма простейших дробей вида
Следовательно, разложение данной дроби на простейшие дроби имеет вид:
Складывая правую часть равенства и приравнивая числители, получаем
Для вычисления неопределенных коэффициентов будем комбинировать оба изложенных выше способа.
Во первых зададим определенные значения х:
Приравняем коэффициенты при х2, получим
Итак, находим искомый интеграл:
Ответ:
Пример 8.7. Вычислить интеграл
Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, поэтому необходимо выделить целую часть, для этого числитель разделим на знаменатель:
Тогда .
Разложим знаменатель дроби на множители .
Получили .
Вычислим неопределенный интеграл от правильной рациональной дроби, для этого подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби и вычислим неопределенные коэффициенты.
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и
приравняем числители:
Тогда .
Окончательно получаем:
.
Ответ: =