- •Общие методические указания
- •Консультации
- •Литература
- •1. Элементы линейной алгебры
- •Задачи контрольной работы
- •2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •6. Исследование функций Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Определенный интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи контрольной работы
- •9. Функции нескольких переменных Частные производные Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
- •Решение типовых примеров.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задачи контрольной работы
- •Числовые и функциональныеряды Программные вопросы.
- •Постановка задачи.
- •План решения задачи.
- •Постановка задач.
- •План решения задач.
- •Постановка задачи 4.
- •План решения задачи 4.
- •Постановка задачи 5.
- •План решения задачи 5.
- •Постановка задачи 6.
- •План решения задачи 6.
- •Постановка задачи 7.
- •План решения задачи 7.
- •1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, ,используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
- •Постановка задачи 8.
- •План решения задачи 8.
- •Постановка задач 9-11.
- •План решения задач 9-11.
- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
1. Дискретная случайная величина и закон её распределения. Многоугольник распределения.
2. Функция распределения случайной величины.
3. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства и вероятностный смысл.
Решение типового примера
Задача 12.5. Для случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета в беспроигрышной лотерее, в которой разыгрывается 100 выигрышей (10 по 50 руб., 30 по 10руб., 60 по 1 руб.), 1) построить ряд распределения; 2) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3)найти функцию распределения вероятностей.
Решение. 1) Случайная величина в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, которое предугадать заранее невозможно. Дискретная случайная величина Х, принимающая значения х1, х2,…, хn с вероятностями р1, р2,…, рn, может быть задана рядом распределения, который записывается в виде таблицы:
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
Р |
р1 |
р2 |
… |
рn |
В нашем случае возможные значения случайной величины Х: 1, 10 и 50. Вероятности этих значений ,,.
Получаем ряд распределения:
Х |
1 |
10 |
50 |
Р |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
2) Так как математическое ожидание М(Х) для дискретной случайной величины Х находится по формуле
,
то получаем: М(Х) = 1∙0,6 +10∙0,3 + 50∙0,1 = 8,6
Дисперсия D(Х) случайной величины Х может быть найдена по формуле:
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2
Вычислим М(Х2) = 12∙0,6 + 102∙0,3 + 502∙0,1 = 280,6. Тогда D(Х) = 280,6 – (8,6)2 = 206,64.
Среднее квадратическое отклонение . Получаем:.
3) Для случайной величины Х функция распределения вероятностей F(x) определяется формулой: F (х) = Р (Х<х)
Для дискретной случайной величины F(x) вычисляется по формуле:
.
Найдём функцию распределения вероятностей.
Если x < 1, то F(x)=Р(Х<х)=Р(- <X< x)=0, так как интервал (-; х) не содержит возможных значений Х; если 1< x ≤10, то F(x)=Р(Х<х)= =Р(- <X< x)=P(X=1)=0,6; если 10< x≤50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+ Р(Х=10)=0,6+0,3=0,9; если х>50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+ Р(Х=10)+Р(Х=50)=0,6+0,3+0,1=1. Итак,
Ответ: 2) М(Х) = 8,6; D(Х) = 206,64. .
Задачи контрольной работы
12.5.1. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует патроны. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,25. Составить закон распределения случайной величины Х – числа израсходованных патронов.
12.5.2. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число появления герба. Написать закон распределения и построить многоугольник распределения случайной величины Х.
12.5.3. Составить закон распределения попадания в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле 0,25.
12.5.4. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон числа попаданий в мишень.
12.5.5. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.
12.5.6. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:
-
Х
0
2
5
Y
1
2
4
5
р
0,15
0,25
0,6
p
0,1
0,35
0,15
0,4
Составить законы случайных величин Х + У, ХУ, 0,5У.
12.5.7. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:
-
Х
0
2
4
6
Y
-1
1
3
5
р
0,1
0,2
0,3
0,4
р
0,2
0,3
0,3
0,2
Составить законы распределения случайных величин Х + У, ХУ.
12.5.8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
-
Х
3
5
7
10
р
0,2
0,1
0,4
0,3
Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.
12.5.9. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Найти функцию распределения этой случайной величины.
12.5.10. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число появления герба. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее интегральную функцию распределения.
12.5.11. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 15 рублей, и одна стоимостью 55 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрел один билет за 2 рубля; всего продано 50 билетов.
12.5.12. Стрелок сделал 3 выстрела по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,6. Найти интегральную функцию распределения числа попаданий по мишени и построить ее график.
12.5.13. Среди 10 лотерейных билетов имеются 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных.
12.5.14. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
2 |
3 |
5 |
р |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины Х.
12.5.15. В партии из 20 курток 5 имеют скрытый дефект. Найти закон распределения числа дефектных курток среди 3 купленных.
12.5.16. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
-2 |
5 |
7 |
р |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины Х.
12.5.17. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
1 |
3 |
4 |
5 |
р |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины Х.
12.5.18. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,4. Приобретено 30 билетов. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа билетов, на которые выпадет выигрыш.
12.5.19. Вероятность появления бракованной детали равна 0,3. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа годных деталей в партии из 1000 штук.
12.5.20. Проведено 100 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события равна 0,6. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа появления события в этих испытаниях.