- •Общие методические указания
- •Консультации
- •Литература
- •1. Элементы линейной алгебры
- •Задачи контрольной работы
- •2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •6. Исследование функций Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Определенный интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи контрольной работы
- •9. Функции нескольких переменных Частные производные Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
- •Решение типовых примеров.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задачи контрольной работы
- •Числовые и функциональныеряды Программные вопросы.
- •Постановка задачи.
- •План решения задачи.
- •Постановка задач.
- •План решения задач.
- •Постановка задачи 4.
- •План решения задачи 4.
- •Постановка задачи 5.
- •План решения задачи 5.
- •Постановка задачи 6.
- •План решения задачи 6.
- •Постановка задачи 7.
- •План решения задачи 7.
- •1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, ,используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
- •Постановка задачи 8.
- •План решения задачи 8.
- •Постановка задач 9-11.
- •План решения задач 9-11.
- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
Решение типового примера
Пример 9.1.Найти частные производные первого и второго порядка функции.
Решение. Найдем производные первого порядка.
При нахождении производной по переменной , переменнаясчитается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, следовательно, производная по переменнойот первого слагаемого заданной функции будет равна:. Так как переменнаясчитается константой, то иявляется константой и его производная будет равна нулю:. Таким образом, частная производная заданной функции по переменнойравна:
.
При нахождении производной по переменной , переменнаясчитается константой, тогда в первом слагаемом за знак производной вынесется:. Частная производная по переменнойвторого слагаемого. Тогда частная производная заданной функции по переменнойравна:
.
Находим частные производные второго порядка.Для наглядности перепишем уже найденные частные производные первого порядка:
,
.
Для нахождения второй частной производной по переменной нужно первую производнуюеще раз продифференцировать по переменной:
.
Аналогично, чтобы найти вторую частную производную по переменной , дифференцируемснова по переменной:
.
Найдем смешанные производные и. Для того, чтобы найтиберем частную производнуюи дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по переменной:
.
Для нахождения частную производнуюдифференцируем по переменной:
.
Так как =, то достаточно найти любую из смешанных производных.
Задачи контрольной работы
В заданиях 9.1.1-9.1.20 найти для заданных функций частные производные первого и второго порядков.
9.1.1. . 9.1.2. .
9.1.3. . 9.1.4. .
9.1.5. . 9.1.6. .
9.1.7. . 9.1.8. .
9.1.9. . 9.1.10. .
9.1.11. . 9.1.12. .
9.1.13. . 9.1.14. .
9.1.15. . 9.1.16. .
9.1.17. . 9.1.18. .
9.1.19. . 9.1.20. .
Производная по направлению
Программные вопросы
1. Определение производной по направлению вектора.
2. Связь производной по направлению с частными производными.
3. Формула для нахождения производной функции в заданной точке по направлению вектора.
Решение типового примера
Пример 9.2.Найти производную от функциив точкепо направлению вектора.
Решение. Производную от функции в заданной точкепо направлению вектораможно найти по формуле:
,
где ,,- направляющие косинусы вектора, которые вычисляем по формулам:
; ;.
Вычислим длину вектора :
.
Следовательно, направляющие косинусы будут равны:
; ;.
Далее находим все частные производные первого порядка от заданной функции :
; ;.
Вычислим значения этих частных производных в точке :
,
,
.
Затем подставим полученные значения в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:
.
Ответ. Производная от функции в точке по направлению вектора равна .
Задачи контрольной работы
В заданиях 9.2.1-9.2.20 найти производную от функции в точкепо направлению вектора:
9.2.1. , , .
9.2.2. , , .
9.2.3. , , .
9.2.4. , , .
9.2.5. , , .
9.2.6. , , .
9.2.7. , , .
9.2.8. , , .
9.2.9. , , .
9.2.10. , , .
9.2.11. , , .
9.2.12. , , .
9.2.13. , , .
9.2.14. , , .
9.2.15. , , .
9.2.16. , , .
9.2.17. , , .
9.2.18. , , .
9.2.19. , , .
9.2.20. , , .
Градиент
Программные вопросы
1. Определение градиента скалярного поля.
2. Формула для нахождения градиента функции в заданной точке.
3. Свойства градиента.
Решение типового примера
Пример 9.3.Найти градиент функциив точкеи его длину.
Решение. Градиент функции в точке вычисляется по формуле:
.
Сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:
; ;.
Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :
,
,
.
Подставляя найденные значения в формулу градиента, получаем:
.
Находим его длину:
.
Ответ. Градиент функции в точкеравен , длина .
Задачи контрольной работы
В заданиях 3.1-3.20 найти градиент функции в заданной точкеи его длину.
9.3.1. ,. 9. 3.2. ,.
9.3.3. ,. 9. 3.4. ,.
9.3.5. ,. 9.3.6. ,.
9.3.7. , 9.3.8. ,.
9.3.9. ,. 9.3.10. ,.
9.3.11. , . 9.3.12. ,.
9.3.13. , 9.3.14. ,.
9.3.15. , . 9.3.16. ,.
9.3.17. ,. 9.3.18. ,.
9.3.19. , . 9.3.20. ,.