Постановка задачи 4.

Исследовать сходимость ряда с положительными членами где содержит произведения многих сомножителей (например, степени и факториалы).

План решения задачи 4.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами Если существует предел то при ряд сходится, а прирасходится. Если, то признак Даламбера ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если, то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что для всех.

3. Вычисляем предел

4. Применяем признак Даламбера и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить признак Даламбера к упрощенному ряду.

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

11.4.1	11.4.11
11.4.2	11.4.12
11.4.3	11.4.13
11.4.4	11.4.14
11.4.5	11.4.15
11.4.6	11.4.16
11.4.7	11.4.17
11.4.8	11.4.18
11.4.9	11.4.19
11.4.10	11.4.20

Постановка задачи 5.

Исследовать сходимость ряда с положительными членами и существует и легко вычисляется.

План решения задачи 5.

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд с положительными членами Если существует предел,то при ряд сходится, а при– расходится. Если, то признак Коши ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если, то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что для всех. 3. Вычисляем предел .

4. Применяем радикальный признак Коши и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание 1. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить радикальный признак Коши к упрощенному ряду.

Замечание 2. Полезно иметь в виду, что ()

Задача 5. Исследовать ряд на сходимость.

11.5.1	11.5.11
11.5.2	11.5.12
11.5.3	11.5.13
11.5.4	11.5.14
11.5.5	11.5.15
11.5.6	11.5.16
11.5.7	11.5.17
11.5.8	11.5.18
11.5.9	11.5.19
11.5.10	11.5.20

Постановка задачи 6.

Исследовать сходимость ряда с положительными членами , где, причем первообразная функциилегко вычисляется.

План решения задачи 6.

Если , причем первообразная функциилегко вычисляется, то применяеминтегральный признак Коши:

Если функция , принимающая в точкахзначения, убывает в некотором промежутке,, то ряди несобственный интеграллибо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

1. Проверяем, что , т.к. если, то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Упрощаем, если требуется, выражение для, т.е. будем исследовать сходимость ряда, такого, чтоприивыбраны так, чтобы функцияимела очевидную первообразную. Затем используем вторую теорему сравнения.

3. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению

.

4. Применяем интегральный признак Коши к рядуи затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Замечание. Интегральный признак Коши применяется, в частности к рядам вида

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

11.6.1	11.6.11
11.6.2	11.6.12
11.6.3	11.6.13
11.6.4	11.6.14
11.6.5	11.6.15
11.6.6	11.6.16
11.6.7	11.6.17
11.6.8	11.6.18
11.6.9	11.6.19
11.6.10	11.6.20