математический анализ _часть 1

УДК 517(075.8) ББК 22.19.я73

Г

Громова Л.Л., Захаров А.М., Осипцев М.А., Сахно Л.В.

Б82 Практические занятия по математическому анализу: В 3 ч. Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление: Учеб. пособие для студентов мех.-мат. фак. – Саратов: Изд-во Сарат.

ун-та, 2005. – 48 с.: ил. ISBN 5-292-

Пособие является руководством к решению задач по математическому анализу, состоит из трех частей. В первой части рассмотрены теория пределов последовательностей, числовые ряды, предел и непрерывность функций, дифференциальное исчисление функций одного переменного. Приводятся необходимые теоретические сведения, а также многочисленные примеры, в которых разъясняется решение типовых задач. В пособии даются две контрольные работы по изложенным темам.

Для студентов механико-математического факультетов.

Рекомендуют к печати:

Кафедра математического анализа механико-математического факультета Саратовского государственного университета Кандидат физико-математических наук А. Л. Лукашов

ПРОГРАММА КУРСА

1. Теория пределов последовательностей.

Конечные и бесконечные множества, операции над ними. Понятие счетного множества. Понятие действительного числа как бесконечной десятичной дроби. Верхняя и нижняя грани ограниченного множества, их существование.

Понятие последовательности и ее предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Арифметические действия над сходящимися последовательностями. Число и его роль в математическом анализе.

Теоремы о переходе к пределу в неравенствах и о сходимости последовательности, ограниченной двумя сходящимися последовательностями, имеющими одинаковые пределы.

Частичный предел, верхний и нижний пределы, их существование. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

2. Числовые ряды.

Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Свойства рядов как свойства последовательностей частных сумм. Абсолютная сходимость ряда, ее связь со сходимостью. Признак мажорации. Геометрический ряд. Признаки Коши и Даламбера абсолютной сходимости ряда. Условная сходимость. Признак Лейбница сходимости ряда.

3. Предел и непрерывность функций.

Понятие предела и непрерывности функции в точке. Эквивалентность определений Коши и Гейне. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность композиции непрерывных функций.

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции. Существование одностороннего предела монотонной ограниченной функции. Первый и второй замечательные пределы. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. Классификация точек разрыва функции.

Определение и непрерывность элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и их обратных. Графики элементарных функций.

3

4. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.

Понятие дифференцируемой функции в точке, производной и дифференциала. Физический и геометрический смысл понятия дифференцируемости и производной функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцируемость и производная сложной и обратной функций. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями. Производные элементарных функций.

Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функций: Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя для отыскания предела отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций.

Производные высших порядков. Многочлен и формула Тейлора. Достаточное условие экстремума функции. Критерий монотонности функции на интервале. Выпуклые функции, критерий выпуклости. Точки перегиба, необходимое условие точки перегиба.

Методы приближенного вычисления значений функции и решения уравнений.

4

1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Число х называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε найдётся номер

n0 такой, что для всех n , начиная с этого номера, выполняется неравенст-

во | xn − x |< ε.

Символически это определение записывается так:

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если предела не существует, то такая последовательность называется расходящейся.

ТЕОРЕМЫ об арифметических операциях над пределами последовательностей

Если существуют пределы lim xn = x и lim yn = y , то

n→∞ n→∞

1) предел суммы последовательностей равен сумме пределов последовательностей:

3) предел произведения последовательностей равен произведению пределов последовательностей:

4) предел частного последовательностей равен частному пределов последовательностей:

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности,

выполняется неравенство xn −5 < ε.

Решение. Согласно определению предела последовательности, тре-

Замечание. Если в числителе и знаменателе записаны многочлены, то предел такой дроби зависит от их степеней.

1.Если степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

2.Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности.

3.Если степень знаменателя больше степени числителя, то предел равен нулю.

6

lim ( n2 − 2n − 4 − n2 −6n +5) .

n→∞

Решение. Пределы такого вида широко распространены и решаются домножением на сопряженное выражение с применением формул сокращенного умножения:

lim ( n2 − 2n − 4 − n2 −6n +5) =

n→∞

Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Определение 3. Последовательность {xn } называется ограниченной, если найдется такое число M , что для всех номеров n выполняется неравенство xn ≤ M .

Известно, что произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Для решения задач по теме «Ряды» надо изучить признаки сходимости положительных и знакопеременных рядов, абсолютную и условную сходимость. Краткий перечень сведений из теории приводится ниже в виде теорем.

∞

∑an расходится.

n =1

ТЕОРЕМА 2 (признак сравнения I). Пусть даны два знакоположи-

дут себя одинаково (одновременно сходятся или расходятся).

ТЕОРЕМА 3 (признак сравнения II). Если члены знакоположитель-

При q =1 ряд может сходиться, а может расходиться.

ТЕОРЕМА 5 (признак Коши). Формулировка совпадает с теоремой 4

с той разницей, что q = lim n an .

n→∞

Кроме того полезно помнить поведение некоторых стандартных

рядов.

Отметим, что при α =1 получаем расходящийся ряд ∑∞ 1 , который

n=1 n

называется гармоническим. В школе изучается ряд

∞

1 + q + q2 +…+ qn +…= ∑qn

n =1

8

– геометрическая прогрессия, который сходится при q <1.

∞

Пусть теперь ряд ∑an (A) имеет члены произвольного знака. Соста-

n =1

∞

вим ряд ∑ an ( A ).

n =1

∞

ТЕОРЕМА 7. Если сходится ряд ∑ an ( A ), то сходится (абсолют-

n =1

∞

но) ряд ∑an (A).

n =1

ТЕОРЕМА 8 (признак Лейбница для знакочередующихся рядов). Ес-

ли модули членов знакочередующегося ряда ∑∞ (−1)n +1 an монотонно убы-

n =1

вают и стремятся к нулю, то этот ряд сходится.

Если ряд ( A ) расходится, а ряд (A) сходится, то он называется схо-

дящимся условно.

При решении примеров полезно знать некоторые пределы. Напомним их.

Пример 6. Установить сходимость или расходимость ряда

∑∞ n2 .

n=1n(n +1)

Пример 8. Установить сходимость или расходимость ряда

ряд может как сходиться, так и расходиться. Теоремы 4, 5 ответа не дают, q =1. Так как знаменатель линейно зависит от n, то берём для сравнения