Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Аграрный Университет им. Н.И. Вавилова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математический анализ _часть 1

.pdf

Скачиваний:

582

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

441.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Пример 18. Вычислить предел функции:	lim	x3	−3x − 2	.
			+ 2x +1
	x→−1 x2

Решение. Непосредственное применение теоремы об арифметических свойствах предела функции в данном случае невозможна, так как знаменатель дроби обращается в ноль в предельной точке. Разложим числитель и знаменатель на множители и произведём возможные сокращения:

lim	x3 −3x − 2	= lim	(x +1)2 (x − 2)	= lim (x − 2) = −3.
			(x +1)2
x→−1 x2 + 2x +1		x→−1		x→−1

Можно заметить, что если числитель и знаменатель функции – многочлены, то пределы удобно вычислять по следующей схеме:

1.Если предельная точка – бесконечность, то пределы вычисляются подобно пределам последовательности.

2.Если предельная точка не является нулем знаменателя, то предел вычисляется простой подстановкой предельной точки в функцию.

3.Если предельная точка является нулем знаменателя, то числитель

изнаменатель дроби раскладываются на множители, и производится сокращение, если это возможно. Затем предел вычисляется, следуя пункту 2. Если после сокращения знаменатель обращается в ноль, то предел равен бесконечности.

Пример 19. Вычислить предел функции: lim	1 − x −3 .
x→−8	2 + 3 x

Решение. Непосредственное применение арифметических свойств предела функции в данном примере невозможно, так как и числитель, и знаменатель в предельной точке обращаются в ноль. Подобно тому, как это делалось для предела последовательности, домножим числитель и знаменатель на соответствующее сопряженное выражение:

lim	1 − x −3 = lim (		1 − x −3)( 1 − x + 3)(4 − 23 x + 3 x2 )=
x→−8	2 + 3 x	x→−8	(2 + 3 x )(4 − 23 x + 3 x2 )( 1 − x + 3)
lim − (x +8)(4 − 23 x + 3 x2 )= − lim				(4 − 23 x + 3 x2 )= −12 = −2 .
x→−8	(x +8)(	1 − x + 3)	x→−8	(	1 − x + 3)	6
Определение 7. Функции f (x) и g(x)					называются эквивалент-
ными при x → x0 и записывают f ~ g при x → x0 , если lim						f (x)	=1.

					x→0	g(x)
ТЕОРЕМА 10 (главное свойство эквивалентных функций). Если
функции f ,	f1, g, g1 определены в некоторой окрестности точки x0 и удов-
летворяют условиям		f ~ f1 и g ~ g1 при x → x0 , то из существования пре-
			21

дела lim	f1	(x)
дела lim	g	(x)
x→ x0	g	(x)
	1

вость равенства

следует существование предела

lim	f (x)	= lim	f1	(x)	.
	g(x)		g
x→ x0		x→ x0		(x)
			1

f (x)

lim ( ) и справедли-

x→ x0 g x

Таким образом, при вычислении пределов множители можно заменять на эквивалентные им функции. Этот прием позволяет значительно

упрощать	вычисление пределов с помощью приведённых ниже эквива-
лентностей.
ТЕОРЕМА 11 (основные эквивалентности). При x →0 верны сле-
дующие	эквивалентности: sin x ~ x (первый замечательный предел),

tg x ~ x , arcsin x ~ x , arctg x ~ x , ex −1 ~ x , ln(1 + x)~ x , ((1 + x)α −1)~ α x .

Пример 20. Вычислить предел функции: lim

3x2 −5x

sin 3x

x→0

Решение. Для вычисления предела воспользуемся теоремой об экви-

валентных функциях. Так как sin3x ~ 3x при x →0 , получаем

lim

3x2 −5x

= lim

x(3x −5)

= lim

−

= −

sin 3x

x→0

Пример 21. Вычислить предел функции: lim

1 − cos 2x

x→0 cos7x − cos3x

Решение. Прежде чем применить теоремы об эквивалентных функциях, разложим числитель и знаменатель на множители, а затем заменим

множители эквивалентными им функциями:
lim	1 − cos 2x	= lim	2sin 2 x	= lim	2x2	= −		1	.
			− 2sin 5x sin 2x		− 2 5x 2x		10
x→0 cos7x − cos3x		x→0		x→0

ТЕОРЕМА 12 (второй замечательный предел).

lim (1 + x)1 / x = e .

x→0

Второй замечательный предел используется при вычислении преде-

лов вида lim	f (x)g(x) в случае, если f (x) →1 , g(x) →∞ при x → x0 . Для
x→ x0
этого в функции f (x) g( x) следует выделить выражение
	lim (1 + α)1 / α , где α →0 при x → x0 .
	x→0
С этой целью основание f (x) представляется в виде f =1 + α, далее
в выражении	f (x) g( x) искусственно выделяется требуемое выражение

(1+α)1 / α путем деления и умножения показателя степени на α:

g( x)

α g ( x)

α g( x)

f (x)

= (1+α)

+α)

Тогда при x → x0 выражение в квадратных скобках стремится к e , и остается найти предел степени α g(x) .

Пример 22. Вычислить предел функции: lim	2x −1 1 /(3 x −1)	.

x→1	x

Решение. При x →1 основание стремится к 1, степень – к бесконечности, поэтому вычисляем данный предел с помощью второго замечательного предела:

1 /(3

x −1)

x −1

3 x −1

lim

x −1 x −1

2x −1

→

lim

= lim

= ex

x −1

= e3 .

x→1

4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение 8. Функция f (x) , определенная в некоторой окрестности точки x0 , называется непрерывной в точке x0 , если предел значения функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.

lim f (x) = f (x0 ) .

x→ x0

Аналогично определяются непрерывность функции справа и слева. Определение 9. Точка x0 называется точкой разрыва функ-

ции f (x) , если в ней нарушается условие непрерывности. Выделяют три типа точек разрыва:

1)точки разрыва первого рода, в которых существуют конечные односторонние пределы, не равные между собой;

2)точки разрыва второго рода, в которых не существует хотя бы один конечный односторонний предел;

3)точки устранимого разрыва, в которых предел функции в точке не равен значению функции в этой точке.

Исследование функции на непрерывность проводится по следующей схеме:

1. Выделяются точки, подозрительные на разрыв – точки в которых

производится деление на ноль, точки разрыва элементарных функций и т.п.

2.Вычисляются односторонние пределы в этих точках.

3.По результатам вычислений делаются выводы о характере точек

разрыва.

Определение 10. Функция, не имеющая точек разрыва, называется непрерывной.

Пример 23. Исследовать на непрерывность функцию

x −1			при	x	≠1,


	2	−1

x
f (x) =	0 при x = −1,
	1/ 2		при x =1.

Решение. Точки, подозрительные на разрыв,

x = −1 и

x =1.

Вычис-

лим односторонние пределы в этих точках.

lim

x −1

lim

= −∞,

lim

x −1

lim

= ∞,

x→−1−0 x2 −1

x→−1−0 x +1

x→−1+0 x2 −1

x→−1+0 x +1

lim

x −1

= lim

lim

x −1

lim

x→1−0 x2 −1

x→1−0 x +1

x→1+0 x2 −1

x→1

+0 x

При x = −1 не существует конечных односторонних пределов, следовательно, x = −1 – точка разрыва второго рода.

При x =1 односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в точке x =1, следовательно, в точке x =1 функция непрерывна.

5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

	Определение 11. Производной функции f в предельной
точке	x0 области определения функции называют предел
	lim		f (x) − f (x0 )		,

	x→ x0		x − x0
если он существует, и обозначают f '(x0 ) или df (x0 ) .
					dx
Аналогично определяются левая и правая производные:
	fл'(x0 ) =		lim	f (x) − f (x0 )			,

	x	→ x0 −0		x − x0
	fп'(x0 ) =		lim	f (x) − f (x0 )		,

	x→ x0 +0			x − x0
	Если x0 – внутренняя точка области определения функции							f , то
f '(x0 )	существует тогда и только тогда, когда fл'(x0 ) = fп'(x0 ) , причем
f '(x0 ) равна односторонним производным.
	Определение 12. Функцию f называют дифференцируемой в
точке x0 , если имеет место представление
	f (x) − f (x0 ) = A (x − x0 ) + ε(x)(x − x0 )							(1)
при любом x D f , где A – некоторое число, а lim ε(x) = 0 .
					x→ x0
		24

Заметим, что функция f

дифференцируема в точке x0 тогда и толь-

ко тогда, когда существует производная

f '(x0 ) , причем число A = f '(x0 ) .

Из равенства (1) для дифференцируемой в точке x0 функции f вы-

текает непрерывность функции в точке

x0 . Из непрерывности, однако,

дифференцируемость не следует.

f (x) = x ,

x R . Пусть x0 – про-

Пример 24. Рассмотрим функцию

извольная точка. Тогда

f (x) − f (x0 )

x − x0

и, следовательно, существует

f (x) − f (x0 )

lim

=1.

x→ x0

x − x0

Таким образом, при любом x R (x)'=1.

Пример 25. Рассмотрим функцию f (x) =| x | ,

x R , и точку x0 = 0 .

Тогда

f (x) − f (x

)

если x > 0;

| x

если x

x − x0

< 0.

−1,

Следовательно,

fл'(0) = −1, fп'(0) =1, и эта функция недифференцируема

в точке x0 = 0 .

Заметим, однако,

что эта функция непрерывна в точке

x0 = 0 (как и во всякой другой точке).

Пример 26. Рассмотрим функцию f (x) =sin x , x R , и точку x0 = 0 .

Тогда	sin x −sin 0		sin x
lim		= lim		=1,
	x − 0		x
x→0		x→0

т.е. первый замечательный предел можно истолковать как производную функции f (x) =sin x в точке ноль. Тогда при любом x0 ≠ 0

sin x −sin x0

2sin

x − x0

cos

x + x0

lim

= lim

x→ x0

x − x0

x→ x0

x − x0

sin

x − x0

x + x0

lim

lim cos

= cos x0 .

− x0

x→x0

Таким образом, при любом x R

(sin x)'= cos x .

Пример 27. Рассмотрим функцию

f (x) = ex , x R , и точку x0 = 0 .

Тогда

− e0

ex −1

=1,

lim

= lim

−

x→0

т.е. второй замечательный предел можно истолковать как производную функции f (x) = ex в точке ноль. Тогда при любом x0 ≠ 0

lim	ex − ex	0	= lim	ex0 (ex −x0 −1) = ex0 .
x→ x0	x − x0		x→ x0	x − x0

Итак, при любом x R

(ex )'= ex .

6. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Если функции

и g дифференцируемы в точке x0 , то функции

f + g , f g и

при дополнительном условии g(x) ≠ 0 дифференцируе-

мы в точке x0

и справедливы формулы

( f + g)'(x0 ) = f '(x0 ) + g'(x0 ) ,

( f g)'(x0 ) = f '(x0 )g(x0 ) + f (x0 )g'(x0 ) ,

f '(x

)g(x

) − f (x

)g'(x

)

) =

g 2 (x0 )

Частным

случаем

второго

равенства

является

формула

(cf )'(x0 ) = cf '(x0 ) , где c = const .

2. Если функция g дифференцируема в точке x0 , а функция

f – в

точке t0 = g(x0 ) , то сложная функция f

g дифференцируема в точке x0 и

( f

g)'(x0 ) = f '(t0 ) g'(x0 ) .

Пример 28. Пусть f (x) = x2 ,

x R . Тогда

(x2 )'= (xx)'= (x)' x + x(x)'= 2x .

Методом индукции нетрудно доказать формулу (xn )'= nxn −1 , n N .

Пример 29.

− x

= −sin x .

(cos x)'= sin

− x

= cos

− x

= cos

− x (−1)

Пример 30.

sin x

(sin x)'cos x −sin x(cos x)'

cos2 x + sin 2 x

(tg x)'=

cos2 x

cos2

cos x

3. Если функция

дифференцируема в точке x0 , f '(x0 ) ≠ 0 ,

суще-

ствует обратная функция

f −1 , которая непрерывна в точке y

= f (x

) , то

функция f −1 дифференцируема в точке y0 и справедлива формула

( f −1)'( y0 ) =		1	.
	f '(x0 )				π		π

Пример 31. Рассмотрим функцию				−		,
		y =sin x на интервале			2		.
							2

Обратной функцией является непрерывная функция x = arcsin y , y (−1,1) .

(arcsin y)'=

1 .

(sin x)'

cos x

1 −sin 2 x

1 − y2

Если продолжить рассмотрение основных элементарных функций,

правил дифференцирования, то получим таблицу производных.

′

= α x

α−1

′

)

(arcsin x)

1 − x2

′

= cos x

(sin x)

′

= −sin x

′

1 − x2

(cos x)

(arccos x)

= −

(arctg x)′=

(tgx)′=

cos2 x

1 + x2

(ctgx)

′

(arcctg x)

′

= −sin 2 x

= −1

+ x2

(ex )'= ex

(sh x)′= ch x

′

(ch x)

′

=sh x

(ln x)

= x

x +1

Пример 32. Пусть

f (x) = arctg

. Тогда

x −1

f '(x) =

(x −1)2

(x +1)'(x −1) − (x +1)(x −1)'

x +1

−1

−1)2 + (x +

1)2

(x −1)2

2 x

1 +

x −1

(x −1) − (x +1)

= −

x2 − 2x +1 + x2 − 2x +1

2(x2 +1)

2 +

Пример 33. Пусть

1 − ln x

f (x) =sin 2

. Тогда

f '(x) =

− ln x

1 − ln x

1 − ln x 1

− ln x

2sin

sin

= 2sin

cos

=sin

2(1 − ln x)

(1 − ln x)' x − (1 − ln x)(x)'

ln x − 2

sin

2(1 − ln x)

Пример 34. f (x) = (sin x) x .

Запишем функцию в виде f (x) = ex ренцирования сложной функции имеем

f '(x) = ex ln(sin x) (xln(sin x))'= (sin x)x

ln(sin x) . Тогда по правилу диффе-

	1
ln(sin x) + x		(sin x)'	=
ln(sin x) + x	sin x	(sin x)'	=
	sin x

=(sin x)x (ln(sin x) + xctg x) .

7.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ПРОИЗВОДНОЙ

Определение 13. Пусть функция f дифференцируема в точке x0 . Тогда дифференциалом функции f в точке x0 называют главную, линейную относительно приращения аргумента ∆x = x − x0 часть приращения функции, т.е. первое слагаемое из правой части равенства (1):

df (x0 ) = A (x − x0 ) = f '(x0 )(x − x0 ) .

Поскольку функция f (x) = x дифференцируема в любой точке и f '(x) ≡1, то df (x) = ∆x или dx = ∆x . Поэтому формула для дифференциала

принимает вид

df (x) = f '(x) dx .

Формула (1) является источником приближенного равенства

			f (x) ≈ f (x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) .						(2)
Пример 35. Заменяя приращение функции дифференциалом, при-
ближенно вычислить			3 1,02 . Это означает,		что надо воспользоваться ра-
венством (2).				f (x) = 3 x ,
Рассмотрим функцию				f (x) = 3 x ,		x0 =1.	Тогда		f (1) =1,
f '(x) =	1	, f '(1) =	1 . Тогда при	x =1,02 ,	x − x0 = 0,02 и
33 x2			3		1		1	= 151 .
3 1,02 = f (1,02) ≈ f (1) + f '(1) 0,02 =1+					1	0,02 =1 +	1	= 151 .
					3		150	150
Пусть функция			f дифференцируема в точке x0 . Прямая
			y = f (x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) ,
проходящая через точку (x0 , f (x0 )) , называется касательной									к гра-
фику функции в точке (x0 , f (x0 )) .

Обратим внимание на то, что f '(x0 ) является угловым коэффициентом этой касательной, т.е. f '(x0 ) = tgα, где α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Таким образом, уравнение нормали к графику функции f в точке (x0 , f (x0 )) имеет вид

x − x0 + f '(x0 )( y − f (x0 )) = 0 .

Пример 36. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y = x3 + 2x2 −4x −3 в точке (−2,5) .

Рассмотрим функцию f (x) = x3 + 2x2 − 4x −3 . Тогда

f '(x) =3x2 + 4x − 4 , f '(−2) =3 4 −8 − 4 = 0 , f (−2) = −8 +8 +8 −3 = 5.

Таким образом, y =5 – уравнение касательной, x = −2 – уравнение нормали.

8. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ

Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a , причем g'(x) не

обращается в ноль, функции f

и g обе бесконечно малые в точке a (т.е.

lim

f (x) = lim g(x) = 0 )

или

обе

бесконечно

большие

(т.е.

x→a

lim

f (x) = lim g(x) = ∞).

Если

существует конечный

или бесконечный

x→a

предел lim

f '(x)

, то

x→a g'(x)

lim

f (x)

= lim

f '(x)

g(x)

x→a

→a g'(x)

Аналогичное правило справедливо для односторонних пределов. Для раскрытия неопределенностей типа 0 ∞ произведение f (x)g(x)

( lim f (x) = 0 ,

lim g(x) = ∞)

следует привести к виду

f (x)

(тип

0 ) или

x→a

g(x)

(тип ∞ ).

∞

f (x)

В случае неопределенности ∞ −∞ разность f (x) − g(x)

следует при-

вести к виду

f (x) 1

−

g(x)

и раскрыть сначала неопределенность

g(x)

;

f (x)


		1	−		g(x)
	g(x)	1	−		f (x)		0 ). Неоп-
если lim	g(x)	=1, то перепишем разность в виде			f (x)	(тип
если lim	f (x)	=1, то перепишем разность в виде	1			(тип
x→a	f (x)		1				0
				f (x)

ределенности типов 1∞, 00 , ∞0 раскрывают с помощью равенства

[ f (x)]g( x) = eg( x) ln f ( x)

и нахождения предела произведения g(x) ln f (x) (что потребует раскрытия

неопределенности типа 0 ∞).

Во многих случаях правило Лопиталя полезно комбинировать с на-

хождением пределов элементарными средствами.

Пример 37. lim

x −sin x

= lim

(x −sin x)'

= lim

1 − cos x

x −tg x

(x −tg x)'

x→0

1 −

cos2 x

(1 − cos x)cos2 x

cos2 x

lim cos2 x

lim

cos2 x −1

= − lim

= −

x→0

= −

lim (1 + cos x)

x→0

→0 1 + cos x

x→0

cos x

xcos x −sin x

Пример 38. lim ctg x

−

= lim

−

= lim

xsin x

x→0

x→0 sin x

→0

= lim

(x cos x −sin x)' = lim cos x − x sin x −cos x = − lim

x sin x

x→0

(x sin x)'

x→0

sin x + x cos x

x→0 sin x + x cos x

(x sin x)'

sin x + x cos x

lim (sin x + x cos x)

= − lim

= −

x→0

lim (2 cos x − x sin x)

x→0 (sin x + x cos x)'

x→0 cos x +cos x − x sin x

0 = 0 .

x→0

= −

Пример

39. Найдем

предел

lim(1 − x)

cos

πx

Перепишем

данную

2 .

→1

функцию в виде (1 − x)

cos

πx

cos

πx ln(1−x)

2 = e

и найдем предел

πx ln(1 − x) = lim ln(1 − x) = lim

(ln(1 − x))'

−

lim cos

= lim

1 − x

x→1

sin πx

cos πx

πx

cos

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.03.2015212.48 Кб13макет стандарта.doc
#
17.09.2019747.52 Кб35марина амёнова финансы 3.doc
#
25.03.20153.19 Mб90математика контр.для заоч. Чумакова.doc
#
30.04.20152.92 Mб590математика контр.для заоч. Чумакова.doc
#
20.09.2019639.49 Кб30математика ответы.doc
#
25.03.2015441.56 Кб582математический анализ _часть 1.pdf
#
08.09.2019232.96 Кб8Материал к семинарам по всему курсу.doc
#
18.09.2019795.65 Кб17материалы к экзамену ПБ.doc
#
25.03.20152.39 Mб29МЕЖЕВОЙ ПЛАН на образование.doc
#
11.11.2019342.53 Кб22мет. ук. по ТОТ.doc
#
09.03.2016457.83 Кб689МЕТ.УК.ФТ.docx