математический анализ _часть 1
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при |
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x |
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<1, |
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1 − x |
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7) |
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0 при x ≥1, |
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f (x) = |
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3/ 2 − x при x ≤ −1; |
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x |
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при |
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x |
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< 2, |
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4 − x |
2 |
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9) |
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−x |
3 |
при x |
≤ −2, |
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f (x) = |
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x2 +1 при x ≥ 2; |
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1 |
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при |
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x |
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<1, |
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1 |
− x |
2 |
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8) |
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0 при x ≥1, |
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f (x) = |
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3/ 2 − x при x ≤ −1; |
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cos x при x (−π/ 2;π], |
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10) |
f (x) = |
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0 |
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при x ≤ −π/ 2, |
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1/ 2 при x > π. |
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В заданиях 10 – 13 найти производную указанных функций.
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Задание 10. |
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f (x) =1+ x − x2 |
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1) |
f (x) = x + x +3 x , |
, |
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f (x) = (x2 +1)4 ; |
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1− x + x2 |
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2) |
f (x) = |
1 |
+ 1 |
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+ |
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1 |
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, |
|
f (x) = |
x2 + x −1 |
, |
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f (x) = (1+ 2x)30 ; |
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x |
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x |
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3 x |
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x3 +1 |
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f (x) = |
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1 |
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1 |
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f (x) = |
2x4 |
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|
f (x) = (5x3 + x1 −4)3 ; |
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3) |
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− x3 x |
, |
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, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x2 |
1 − x2 |
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6 |
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|
f (x) = |
x2 |
|
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|
x x |
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|
x |
|
f (x) = |
|
|
|
x3 −2x |
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2 |
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||
4) |
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+ |
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|
− |
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|
, |
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, |
f (x) = 7x |
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− |
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|
+6 ; |
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|
x |
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|
3 |
|
x |
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|
x |
x2 + x + |
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|
|
x |
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1 |
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f (x) = x(x |
3 |
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− x |
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f (x) = |
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|
2x +3 |
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|
3 |
|
|
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|
1 |
|
|
|
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|
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|
4 |
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||||||||||||||||||||||||||
5) |
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|
+1) , |
|
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|
, |
|
f (x) = x |
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− |
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|
|
+3 ; |
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x |
2 −5x +5 |
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|
x3 |
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6) |
f (x) = |
4 |
x |
3 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
x |
, |
f (x) = |
|
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
|
, |
|
f (x) = (3x |
3 |
− x |
+ |
1 |
) |
3 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 x |
x2 + x −1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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7) |
f (x) = |
|
1 |
|
+ |
|
3 x2 − |
|
|
1 |
, |
f (x) = |
x2 + 2x −1 |
, |
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|
f (x) = (4x3 + |
|
|
2 |
− x)4 ; |
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|
x |
|
|
|
x |
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
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|
x3 −1 |
|
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8) |
f (x) = |
|
|
1 |
|
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+ 3 x − |
|
|
|
x |
, |
f (x) = |
|
|
|
2x +3 |
|
, |
|
f (x) = (7x2 − x + |
|
|
3 |
|
)3 ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x2 |
|
|
|
x |
|
|
− x + x2 |
|
|
x2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||
9) |
f (x) = |
|
1 |
|
+ |
|
|
3 |
|
+ 2 x |
, |
f (x) = |
|
|
|
|
|
x3 − x |
|
|
|
, |
|
f (x) = (5x |
2 |
|
− x |
2 |
+ |
|
4 |
) |
5 |
; |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x +1 |
|
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|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
10) |
f (x) = |
3 |
x |
2 |
+ |
1 |
|
|
− |
|
x , |
f (x) = |
|
|
|
x +1 |
|
|
, f (x) = |
(4x |
3 |
|
+ |
3x |
2 |
|
|
− |
1 |
) |
4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 x3 |
|
|
|
|
|
x3 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
−1 |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
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41 |
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Задание 11. |
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1) |
f (x) = |
|
|
x |
|
|
|
, |
f (x) = cos x − |
1 cos3 x , |
|
f (x)= xsin xarctg x ; |
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1 −cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
|
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|
|
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|
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|
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||||||||
2) f (x) = |
sin x |
+ |
|
|
|
x |
|
|
, |
|
|
|
f (x) = 3sin2 x −sin3 x , |
|
f (x) = x arcsin x + 1− x2 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
3) |
f (x) = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
f (x) = |
1 tg3x − tg x + x , |
|
|
f (x) = arccos x |
; |
|||||||||||||||||||
|
sin x +cos x |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
4) |
f (x) = |
|
|
sin x |
|
, |
|
|
f (x) = cos2 4x , |
|
|
f (x) = arctg x2 ; |
|
|
|
|
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1 +cos x |
|
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|
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|
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|
|||||||
5) |
f (x) = sin x +cos x |
|
|
, |
|
|
f (x) = |
tg |
x |
, |
f (x) = arcsin |
2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin x −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6) |
f (x) = |
|
|
cos x |
|
|
|
, |
|
|
f (x) =3cos2 2x −sin(x2 ) , |
|
f (x) = arccos3 (2x) ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
sin x −cos x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
f (x) = |
|
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
f (x) = tg3x −sin(x2 ) , |
f (x) = arctg2 3x ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin x −cos x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8) |
f (x) = |
|
sin x +cos x |
, |
|
|
f (x) = |
sin x |
+cos |
2 |
1 |
, |
f (x) = arcsin x |
2 |
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9) |
f (x) = |
|
|
|
tgx |
|
|
|
, |
|
|
f (x) =sin3 (x2 ) , |
|
f (x) = arctg 1 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sin x +cos x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
10) |
f (x) = |
xsin x |
|
, |
|
|
f (x) = |
, |
|
|
f (x) = arccos |
2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x + tgx |
|
|
2x |
|
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x |
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||||||||||||||||||||||||||
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Задание 12. |
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||||||||
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|
f (x) = |
1 −ln x |
|
f (x) = ln sin x , |
|
f (x) = |
|
x3 |
+ 2x |
|
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|
1) |
|
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, |
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; |
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|||||||||||||||
|
1 +ln x |
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ex |
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||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
|
2) |
f (x) = |
|
ln x |
|
|
, |
|
f (x) = ln tg x , |
f (x) = xex ; |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
1+ x2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
f (x) = cos x |
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3) |
f (x) = ln x |
, |
|
|
|
|
|
f (x) = |
ln x , |
|
|
; |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
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|
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|
|
x5 |
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|
|
ex |
|
|
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|
|||
|
4) |
f (x) = |
|
x2 |
, |
|
|
|
|
|
f (x) = ln(x4 −4x) , |
|
f (x) = ex sin x ; |
|
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||||||||||||||||||||||
|
ln x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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||||
|
5) |
f (x) = |
|
x −1 |
|
|
, |
|
f (x) = ln arccos 2x , f (x) = |
|
x2 +ex ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
log2 x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
||||||||
|
6) |
f (x) = |
1 +ln x |
|
, |
f (x) = ln(tg2 x) , |
|
f (x) = |
sin x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 −ln x |
|
ex |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||
|
7) |
f (x) = |
1 + x3 |
, |
|
|
f (x) = 3 ln x , |
f (x) = ex cos x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
ln x |
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||||
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|
42 |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
ln x |
|
|
|
f (x) = tg(ln x) , |
|
|
f (x) = |
|
x2 |
+ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8) |
|
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, |
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|
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|
|
|
; |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x3 |
|
|
|
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|
|
2x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
|
9) |
f (x) = |
ln x −1 |
, |
|
|
f (x) =sin(ln x) , |
|
f (x) = |
|
|
|
2x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x2 |
|
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|
ex + x3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
|
10) |
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
, |
f (x) = 3 ex |
− x2 . |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
ln x + |
1 |
|
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|||||||||
|
Задание 13. |
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|
1− x |
|
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||||||||||||||||
1) |
f (x) = arctg(x2 −3x + 2) , |
f (x) = log3 (x2 −sin x) , |
|
|
|
|
|
f (x) = x |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = xx ; |
|
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|
1+ x2 |
|
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||||||||
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
2x+3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) |
f (x) = e |
|
|
|
|
|
x |
|
|
− x + |
|
, |
= ln arctg |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 + x |
|
|
|
1+sin2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) = x x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
f (x) = arctg |
x +1 |
, |
|
|
f (x) = |
ln sin x |
, |
|
|
f (x) = x2 |
|
1+ |
|
|
|
|
x , |
|
|
f (x) = x |
x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
x |
+ctg |
|
x |
|
|
|
f (x) = sin2 x sin x2 , |
|
|
f (x) = eln x |
, |
|
|
f (x) = xsin x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = tg 2 |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
f (x) = x5 3 x5 −8 , |
|
f (x) = x3arctg x3 , |
f (x) = |
2 cos x |
, |
|
|
f (x) = (cos x)sin x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
f (x) =sin |
x +1 |
, |
|
|
|
f (x) = ln tg |
|
|
1 |
|
|
, |
|
f (x) |
|
= x 1 |
+ |
|
1 |
|
, |
|
|
f (x) = x3 x ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7) |
f (x) = ex2 (x2 −1) , |
|
f (x) = log2 ( |
x2 |
) , |
|
f (x) = |
1 |
|
|
|
|
|
1 + |
1 |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x) = (cos x)ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8) |
f (x) = esin x |
|
|
|
1 |
|
|
, f (x) = ln(sin2 x + tg2 x) , |
|
|
f (x) = 3 x |
|
1 + |
|
1 |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
||||||||
f (x) = (sin x)ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9) |
f (x) = |
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
f (x) = x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
f (x) = log( |
|
|
|
) , |
|
f (x) = |
x |
sin x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x +cos x |
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
x |
cos x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f (x) = cos2 x ln x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f (x) = x cos x . |
||||||||||||||||||||||||||
10) |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
f (x) = e |
cos x |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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Задание 14. Заменяя приращение функций дифференциалом, приближенно вычислить следующие значения:
1) |
3 0,98 , 3 9 ; |
6) 4 1,01 , |
3 7 ; |
|||
2) |
1,02 |
, 4 80 ; |
7) |
5 0,98 |
, 4 82 ; |
|
3) |
4 1,03 |
, |
17 ; |
8) |
4 0,98 , |
15 ; |
4) |
3 1,03 |
, |
70 ; |
9) |
5 1,02 , 3 28 ; |
|
5) |
0,99 , 3 70 ; |
10) 3 1,01 , 4 17 . |
Задание 15. Написать уравнение касательной и нормали к кривой:
1)y = x3 + 2x2 −4x −3 в точке с абсциссой x = −2 ;
2)y = 2x3 −3x2 + x −2 в точке с абсциссой x =1;
3)y = x3 + x2 +3x −5 в точке с абсциссой x = 2 ;
4)y = 2x3 +5x2 − x +3 в точке с абсциссой x = −1;
5)y = x3 −2x2 +3x +1 в точке с абсциссой x = 3 ;
6)y = x3 −3x2 + 2x −1 в точке с абсциссой x =1;
7) y = 2x3 + x2 − x +3 в точке с абсциссой x = −1;
8)y = x3 + 2x2 −3x +1 в точке с абсциссой x = −2 ;
9)y = 3x3 − x2 +5x +1 в точке с абсциссой x = 2 ;
10)y = 2x3 +3x2 −5x −1 в точке с абсциссой x = −3 .
Задание 16. Найти пределы:
1) lim |
cos x −cos 3x |
, lim |
|
1 |
|
1 |
|
x2 |
|
|
− |
|
, |
||
|
|
||||||
x→0 |
x→0 x |
|
ex −1 |
1
arcsin x x2 lim . x→0 x
2) |
lim cos x −cos 5x , |
|
|||||
|
x→0 |
x2 |
|
||||
3) |
lim cos 3x −cos 2x |
, |
|||||
|
x→0 |
x2 |
|
||||
4) |
lim cos 2x −cos 3x |
, |
|||||
|
x→0 |
x2 |
|
||||
5) |
lim |
cos 4x −cos 3x |
|
, |
|||
x2 |
|||||||
|
x→0 |
|
|||||
6) |
lim |
cos 2x −cos5x |
, |
|
|||
|
|
||||||
|
x→0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
sin x |
|
|
||
|
|
|
|
x2 |
|
||||||
lim |
|
− |
|
|
, |
lim |
|
|
. |
||
|
|
||||||||||
x→1 |
ln x |
|
x −1 |
|
x→0 |
x |
|
lim |
|
1 |
ctg x − |
, |
|
x→0 |
x |
lim ln x ln(1 − x) ,
x→0
lim x2 e−1000x , x→0
1
lim tg x x 2 . x→0 x
1
arctgx x 2 lim . x→0 x
lim (ctg x)sin x .
x→0
lim(1 −cos 2x)ctgx, |
lim xsin x , |
x→0 |
x→0 |
44
7) lim cos 4x −cosαx |
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|||||
, |
lim(1 − x)tg |
, |
lim(1 − x)cos 2 , |
||||||||||||||
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
x→1 |
2 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
πx |
8) |
lim |
cos5x −cos3x |
, |
limarcsin xctgx, |
lim(tg |
πx |
) |
tg |
|||||||||
|
x2 |
|
4 |
|
|
|
2 , |
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
||
9) lim |
cos x −cos 4x |
, |
|
|
lim x3 ln x, |
|
|
lim( |
1 )tgx , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
x |
|
|
1 |
|
|
|
10) lim cos x −cos 2x |
|
, |
lim x100 e−x , |
|
lim(ctgx) |
|
, |
||||||||||
|
|
ln x |
|||||||||||||||
|
x→0 |
x2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 17. Разложить данный многочлен по степеням указанного бинома:
1)f (x) = x4 −2x3 +3x2 − x +1, x −2 ;
2)f (x) = x4 +3x3 − x2 + 4x −2 , x +1;
3)f (x) = x4 + 2x3 −3x2 + 4x −2 , x + 2 ;
4)f (x) = x4 −3x3 +5x2 − x −1, x −1;
5)f (x) = x4 + 4x3 − x2 + x +5 , x +3 ;
6)f (x) = x4 −3x3 +3x2 − x −1, x −2 ;
7)f (x) = x4 + 2x3 − x2 +3x +1, x +1;
8) |
f (x) = x4 −2x3 + x2 −2x +1, x + 2 ; |
9) |
f (x) = x4 −4x3 + x 2 −x + 2, x −3 ; |
10) |
f (x) = x4 +3x3 −2x2 +3x −1, x −1 . |
Задание 18.
Найти многочлен Тейлора 4-го порядка для функций:
1) |
f (x) = |
x |
при x0 =1; |
|
2) |
f (x) = |
x |
при x0 = 9 ; |
|
3) |
f (x) = |
x |
при x0 |
= 2 ; |
4) |
f (x) = 3 x |
при x0 =8 ; |
||
5) |
f (x) = 3 x |
при x0 |
=1. |
Найти разложение функций по степеням указанного бинома:
1) |
f (x) = ln x , x −3 ; |
2) |
f (x) = ex , x −1; |
3) |
f (x) = ln x , x −4 ; |
5) |
f (x) = ex , x − 2 . |
45
Задание 19. Пользуясь приближенными формулами, найти указанные функции и оценить погрешность.
1) |
sin x ≈ x − |
|
x3 |
|
, |
|
sin |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
cos x ≈1− |
|
x2 |
, |
|
|
cos |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
1 + x ≈ |
1 + |
|
|
x |
|
− |
, |
|
|
|
|
1,2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
4) ex ≈1 + x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
+ |
|
|
+ |
, e |
2 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
tg x ≈ x + |
|
x3 |
|
, |
|
|
|
tg 0,05; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6) |
sin x ≈ x |
− |
|
x |
|
, |
|
sin |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
cos x ≈1 |
− |
|
x2 |
, |
|
cos |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8) |
1 + x ≈1 + |
x |
|
− |
|
, 0,9 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
9) ex ≈1 + x + |
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
+ |
|
+ |
, e3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10) tgx ≈ x + |
|
x |
3 |
|
, |
|
tg0,03 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 20. Исследовать функцию и построить ее график:
1)f (x) = x2 −2x + 2 ,
x−1
2)f (x) = x2x−1 ,
3) |
f (x) = |
x3 |
, |
|
|
|
3 − x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
4) |
f (x) = |
2x −1 |
, |
|
||
(x −1)2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
5) |
f (x) = |
x3 |
|
|
, |
|
2(x +1)2 |
||||||
|
|
|
6) f (x) = (x −1)2 , (x +1)2
7) f (x) = x3 + 2x2 + 7x −3 , 2x2
8)f (x) = 3x4 +1 ,
x3
9)f (x) = (4xx−−2)122 ,
10) f (x) = 16 . x2 (x −4)
46
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Программа курса .................................................................................................... |
3 |
|
1. |
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ...................................................................... |
5 |
2. |
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ .................................................................................................... |
8 |
|
Контрольная работа 1 .................................................................................... |
12 |
3. |
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .................................................................................................. |
19 |
4. |
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ............................................................................... |
23 |
5. |
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ .............................. |
24 |
6. |
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ............................................ |
26 |
7. |
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ |
|
|
ПРОИЗВОДНОЙ ........................................................................................................ |
28 |
8. |
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ................................................................ |
29 |
9. |
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА .................... |
31 |
10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО |
|
|
|
ИСЧИСЛЕНИЯ ........................................................................................................... |
33 |
|
Контрольная работа 2 ................................................................................... |
37 |
47
Учебное издание
Громова Лариса Леонидовна, Захаров Андрей Михайлович, Осипцев Михаил Анатольевич, Сахно Людмила Владимировна
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление
Учебное пособие для студентов механико-математического факультета
Ответственный за выпуск О. Л. Багаева Технический редактор Л. В. Агальцова Корректор Г. А. Рогова
Подписано в печать 27.01.2005.
Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 100 экз. Заказ
Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.
Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.
48