Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Аграрный Университет им. Н.И. Вавилова

Предмет:

Математический анализ

Файл:

математический анализ _часть 1

.pdf

Скачиваний:

710

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

442 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>


Так как	lim	a	n	= lim	n		32	=1, то и данный ряд сходится. Разумеет-
					n3	− n +1
	n→∞ bn			n→∞

ся, выбирая признаки сравнения, можно применять теорему 3. Тогда надо устанавливать неравенство между an и bn . Однако если в примере 9 нера-

венство an = 2n1+ 3 ≥ 31n =bn при n > 2 очевидно, устанавливается легко и

∞

расходимость ряда ∑bn , то в примере 10 решение с помощью теоремы 3

n =1

становится неочевидным.

∞

Пример 11. Исследуем сходимость ряда ∑n!(

при

x > 0 .

n =1

Решение. Имеем знакоположительный ряд.

Наличие n!=1 2 ... n

подсказывает, что удобнее брать признак Даламбера:

(n +1)!(

)n+1

= (n +1)

an+1

(n +1)n+1

n +1

= x(

)n ,

n +

n!(

)

lim

an +1

= x lim

= x

1 n

n→∞

n→∞ n +1 n

lim

1 +

n→∞

При 0 < x < e имеем q = x / e <1, ряд сходится, при x > e ряд расходится, так как q >1. При x = e имеем q =1, признак Даламбера не дает от-

		1 n
вета, но так как последовательность 1	+		стремится к e, монотонно воз-

		n

растая, то an +1 >1, поэтому an +1 > an , по теореме 1' ряд расходится. an

Пусть теперь числовой ряд имеет члены произвольного знака. По-

∞

строим ряд со знакоположительными членами ∑ an ( A ). К нему при-

n =1

менимы теоремы 1 – 6. Если установим, что ряд ( A ) сходится, то реше-

ние примера заканчивается. Тогда по теореме 7 заключаем, что ряд (A) сходится абсолютно.

Если же ряд ( A ) расходится, то ряд (A) тем не менее может сходиться (условно), то есть решение задачи продолжается.

				∞		(A).
Пример 12. Исследовать сходимость ряда ∑(−1)n 1						(A).
				n =1	n
Решение. Составим ряд (	A	∞	1	. Он расходится (гармонический).
Решение. Составим ряд (	A	): ∑	n	. Он расходится (гармонический).
			n
		n =1

Таким образом, абсолютной сходимости нет. Ряд (А) знакочередующийся,

1 >1/ 2 >1/ 3 >..., lim 1 = 0 , значит, по теореме 7 ряд (А) сходится, и мы

n→∞ n

имеем условную сходимость.

Пример 13. Исследовать сходимость ряда ∑∞ sin n (А).

n=1 n2

∞

sinn

sin n

Решение. Составим ряд (

): ∑

. Так как

≤

=bn , то

n =1

∞

по теореме 3 из сходимости ряда ∑bn ( α = 2 >1, теорема 6) следует схо-

n =1

димость ряда (

) и абсолютная сходимость ряда (А).

∞

(n!)

Пример 14. Исследовать сходимость ряда ∑(−1)n−1

(А).

(2n)!

n =1

Решение. Находим

an +1

4n +1((n +1)!)2

4n (n!)2

4(n +1)2

2n + 2

>1.

(2n +

2)!

(2n)!

2(2n +1)(n +

2n +1

Это означает, что

an +1

следовательно,

не стремится к

нулю, но тогда и an не стремится к нулю. По теореме 1' ряд (А) расходится.

Контрольная работа 1

Задание 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенства. При заданном ε установить, начиная с какого номера, выполняется неравенство xn − a < ε:

lim

2n +1

= −1, ε = 0,01;

lim

3 − n

= −

, ε = 0,03 ;

2n +1

n→∞1 − 2n

n→∞

3n +1

lim 2

−

= 2 ; ε = 0,1;

lim

=3, ε = 0,01;

n→∞

n→∞ n −1

n −3

lim 3 +

=3, ε = 0,05 ;

lim

, ε = 0,7 ;

3n +1

n→∞

lim

2 − n

= −1, ε = 0,3 ;

8) lim

2n −1

= −

, ε = 0,001;

2 −3n

n→∞ n +1

→∞

lim

3 − 2n

= −2 , ε = 0,004 ;

10)

lim

4n +1

= −2 , ε = 0,09 .

n +1

n→∞

1 − 2n

В заданиях 2 – 10 вычислить предел последовательности.

Задание 2.

lim

n +1

;

lim

2 +

;

lim

3n3 + 5

;

lim

3 − 2n

;

2 +

2n + 7n4

n→∞ n

n→∞ n3 − 7

n→∞

n→∞12n + 7

lim

2n7 −3n2

;

lim

;

lim

3n − 2

;

lim

24n − 2

;

5n −5n2

2 + 25n

n→∞ 2n2 +3n7

→∞

n→∞ 8n + 6

n→∞

lim

n3 + 25

;

10)

lim

(n − 4)2 + (n + 4)2

n→∞ n2 −3n3

n→∞ (n + 3)2 + (2n −1)2

Задание 3.

5n2 −1

lim

;

lim

;

n→∞ 2n 3n +1

n→∞ 2n +1

3n2

12n2

− 2n

2n −1

lim

−

;

4) lim

;

3n − n

−5

3n +1

n→∞ 5 +

n→∞

9n +1

8n3 + 2n

17n

2n2

−8

lim

;

6) lim

−

;

5 −3n

3n + 5

+ 6

n→∞

2n2 −

1 − 2n2

lim

;

lim

−

;

6n + 3

−

n→∞

+ 3n

n −

2n + 5

− n6

5n +1

lim

;

10)

lim

−

n→∞ 7

n − n

50n

n→∞ 3n + 2n

Задание 4.

lim

sin n2 ;

lim

cos

;

n→∞ 3n

−1

n→∞

4n −3

n + 3n2

lim

cos (n + 4n4 −

2) ;

lim

sin

;

n→∞ 6 +

5n −1

n→∞

5 + n

−

sin 3n

lim

cos 2n !

;

lim

;

− 2

n→∞ 3

n→∞

	1				1
7) lim		sin (n4	+1) ;	8) lim		cos n4	;

n→∞ n				n→∞ n3

+ n)2

;

10) lim

9) lim

cos n11

cos(2n)! .

−3n

n→∞ n

Задание 5.

3n2

n(−1)n

lim

cos n3 −

;

lim

−

;

n→∞ n

6n +1

− 2

1 − 2n

n→∞

3n5

4n + 9n2

lim

;

lim

cos n −

;

+ 7n

−1

n→∞ 3n −1 2n −1

n→∞

(n +1)

cos n6

cos n9

lim

;

lim

;

2n +1 3n 2n

n→∞ n

n→∞

cos n2

8n4

+ 5

sin n3

+ 5n

lim

−

;

lim

−

;

−3

n→∞ 2

2n −3

n→∞

n2 +1

3n − n3

lim

cos

;

10) lim

cos n +

5 + n

n→∞

n→∞ n

Задание 6.

2n +1

+ 3n +1

5n +1

+ 6n +1

27n +1 −8n +2

lim

;

lim

;

lim

;

+ 3n

+ 6n

+ 23n +2

n→∞

n→∞ 33n

lim

2n −5n +3

lim

25n

+ 72n+2

lim

23n +1 + 43n−2

;

2n +2

+ 5n

52n+2 + 49n+1

23n

+ 43n−

n→∞

→∞

lim

3n +2

− 4n+2

lim

7n +1

−8n+1

lim

22n +2 + 9n +1

;

+ 4n

7n +8n

+ 32n +1

n→∞

10)

lim

13n + 7n

7n −1

n→∞13n −1 +

Задание 7.

3n2 − 2

ncos

nsin n!

sin n!

n +1

sin n!

1) lim

;

lim

;

3) lim

;

lim

;

n2 + 5n

n→∞ n2 +1

→∞ 3n3 + 2

n→∞

→∞ n − 7n7

lim

27nsin (5 + n)!

;

lim

3n6 cos n!

;

lim

ncos n!

;

lim

n5 sin 3n!

;

n2 + 3n + 2

n7 + 3

+ 5

n6 + 5n

n→∞

n→∞ n

n→∞

lim

n5 cos(n + 2)!

;

10)

lim

n5 sin n!

n6 +100

−17

n→∞

n→∞ n

Задание 8.

lim

4n2 −3

;

n2 + n

;

lim

2n +

;

lim

3 n9 −

;

2n +1

lim

+ 2

5n3 +

n→∞

→∞

n→∞ 4n2 + 7

→∞

lim

4n2 + 9n −3

;

lim

n2 + 2

;

lim

3n4 +

;

lim

n3 −8

;

9n − 2

n −3

n→∞

−9

n→∞ 3 n9 + 3

lim

+ 3

;

10)

4 n8 +12

lim

n2 +

→∞

3 n3 −3n9

n→∞

Задание 9.

lim

n2 +1 + n

;

lim

n2 + 2n +

3 n2 +1

;

lim

4n2 + 3n − 2

;

n3 + n − n

(n −1)2 + 2(n −1)

9n2

n→∞

→∞

− n + 3

lim

n5 + 3 + 4 2n3 −1

;

lim

5n5 −3n2

+ 4n4 +10n + 2

;

6 n2 +1 − n

−5n2 + 2n − 2

n→∞

→∞ 4n6 − 4n4

3 2 n + 3 n

+ 55 n

n + 3 n

lim

;

lim

;

3n − 2

2n −3

n +1 +

n −

n→∞

lim

3n2 + 2n + 3 3n2 +

;

lim

n + 2

;

10)

lim

n5 + n4 + n3

(n −1)2 + 2(n − 4)

n10 + n9 + n8

n→∞

→∞ n2 + n

→∞

Задание 10.

lim (

n2 − n + 4 −

n2 −8n) ;

lim (

n2 −8n −3 −

n2 − 6n +1) ;

n→∞

lim (

2n2 − 2n + 4 −

2n2 − 6n + 5) ;

n→∞

lim (

n2 − 6n − 42 −

n2 − 6n − 25) ;

n→∞

lim (

n2 + 2n + 3 −

n2 + 6n −5) ;

lim (

n2 −12n − 4 −

n2 −16n) ;

n→∞

lim (

n − 4 −

n + 5) ;

lim (

+ n − 4 −

n2 − n + 9) ;

n→∞

lim (

n2 + 22n −

n2 − n + 5) 10)

lim (

n2 − 7n −8 −

n2 −5n + 6) .

n→∞

В заданиях 11 – 20 исследовать числовые ряды на сходимость.

Задание 11.

∞

∑

;

∑(3n +1);

3) ∑(−1)n +1 n3

;

4) ∑2 n ;

5) ∑(−1)n n ;

n −

n =1

∞

n +1

∞

∑(−1)n

;

∑

; 8)

∑

; 9) ∑

; 10) ∑(2n +1).

n + 3

n =1

n =11000n

n =1

Задание 12.

∞ (n +1)!

∞

1000n

∞ (n!)2

∞ 2 5 8 ... (6n − 7)(6n − 4)

∑

;

∑

;

∑

;

∑

;

5 9 ... (8n −11) (8n −

n =1 5n

n =1

n =1(2n)!

n=11

∞	1 3	5	... (2n −1)		; 6)	∞	(n +1)!	;
5) ∑			2n n!		; 6)	∑		;
n =1			2n n!			n =1 3n −5
			∞		n!
		9) ∑			n!				,
		9) ∑		(a +1)(a + 2)		... (a + n)			,
				(a +1)(a + 2)		... (a + n)
			n =1

∞	(n + 2)		∞		π
7) ∑		;	8) ∑n tg			;
					2n +1
n =1(n −1)!			n =1
a > 0 ;	10)		∞ 3n	.
			∑
			n =1 n!

Задание 13.

∞ n2

∞

∞ 2n −1

∞

1) ∑

− 4

;

∑

;

3) ∑

n ;

4) ∑

;

n =1 n

n =1ln

(2n + 2)

n =1

n =3 ln

(n −1)

∞

1 n

∞

5) ∑3 tg

;

∑arctgn

;

7) ∑

;

∑

;

n =1

n =1 2n

n =1

∞

n + 2

∞

∑

;

10)

∑sin

n =1 n2

+ 3

n =1

Задание 14.

∞

1) ∑

;

∑

;

3) ∑

; 4)

∑sin

;

n +

n − 0.5

n =1 (n +1)2

−1

n =1

∞

− n

∞ arctg

∞

+ n

5) ∑ln 1

; 6)

∑

;

7) ∑

;

8) ∑

+ n

;

n =1

∞

∑

;

10) ∑ln n

+ 4 .

2 + 7n +1

n =1n

n =1

Задание 15.

∞

n+1

∞

1) ∑

(−1)

;

2) ∑(−1)n−1

;

n=1

∞

n 2n +1

n 2

∞

n−1

4) ∑(−1)

;

5) ∑(−1)

n n

;

n=1

3n +1

n=1

∞	e n +1			n
	e n +1
3) ∑(−1)n			;
3) ∑(−1)n		π n +1	;
n =1		π n +1

∞	1
6) ∑(−1)n−1		;
	(n + 2)(n +3)
n=1

∞

7) ∑cos n ;

∑(−1)n sin

;

9) ∑

; 10)

∑(−1)n

n=1 n3

n=1

n =1 3n2 + n + 2

n =1

n2 +

Задание 16.

∞

(n +

∞

2n +1

1) ∑ (−1)n

;

2) ∑(−1)n −1

;

3) ∑(−1)n −1

;

2n −1

n(n +1)

n =1

∞

4) ∑(−1)n

;

5) ∑(−1)n −1

;

6) ∑(−1)n −1

;

3n +

5n − 2

3n − 2

n =1

∞

7) ∑(−1)n

−1

;

∑ (−1)n sin

;

9) ∑(−1)n

;

n +

n =1

2n +1

10)

∞

n + 2 .

∑(−1)n

n =1

n +

Задание 17.

n +

∞

∑

;

∑sin n2 ;

n =1

n +

∞ arctg

∞

∑

;

∑

, x >

n =1

n =1 n!

∞	4 7 1 ... (3n +1)		∞	1
3) ∑		;	4) ∑(−1)n		;
	2 6 10 ... (4n − 2)			n n
			n =1
n =1

∞	3	n	∞	n
0 ; 7) ∑			; 8) ∑(−1)n			;
				5n2
n =12n (2n +1)			n =1		−1

∞

;

10)

∞

∑(−1)n

∑

n =1

n +1

n=1

3n2 + n + 2

Задание 18.

∞

(n!)2

∞

1) ∑

;

∑(

n +

− 4 n2

+ n

+1) ;

∑

; 4)

∑ln sec

;

n=1

n =1

3n +1

n =1

∞

sin

∞

5) ∑(−1)n −1

;

∑sin n

;

∑ 1 − cos

;

8) ∑

;

n =1

n =13n

∞

9) ∑

∑(−1)n

;

10)

n + 2

n =1

2n +1

n =1

Задание 19

(n − n

2 −1);

∞

1) ∑

;

2) ∑(−1)n −1

;

3) ∑

3n + 4

2 +

n =1

n=1

∞

(−1)

n−1

∞

(

n +1 − n −1);

∑

; 5)

∑(−1)n −1 1

n =1

2n2

n =1

∞

∞ sin

∞

n ;

∑n2 sin3

;

8) ∑

9) ∑

;

1 n

n =1

4 n5

n =1

∞		1		1
6) ∑	a n		− a n−1		, a > 0 ;

n =1
	∞				1
10) ∑(−1)n					1	.
10) ∑(−1)n				n	n + 2	.
n =1				n	n + 2

Задание 20

∞

;

∞

(−1)

;

∞

(−1)

∞

n + 2

;

∑cos nα

∑

;

4) ∑(−1)n −1

n =1 n!

n =2

n + (−1)n

n =1

n + 5

n =1

n + 3

∞

1 4 7 ... (3n − 2)

∞

∑(−1)n 2

;

∑(−1)n

;

7) ∑

;

5 ...

(2n −1)

n =1

7 9 11 ... (2n + 5)

n =1

∞

1 .

8) ∑

;

9) ∑(−1)n

;

10)

∑(−1)n

ln (n +1)

n =1

3n + 2

n =1

n3 + 3

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение 4.

Число А называется пределом функции f (x) в

точке

x0 , если для

любого положительного числа ε найдется положи-

тельное

такое,

что

как только x

удовлетворяет неравенству

0 <

x − x0

< δ следует, что

f (x) − A

< ε.

Символически это определение записывается так:

lim

f (x)= A ε > 0 δ: 0 <

x − x0

< δ

f (x)− A

< ε.

x→ x0

Определение 5. Число А называется пределом функции f (x) в точке x0 слева, если для любого положительного числа ε найдется положительное δ такое, что как только x удовлетворяет неравенству 0 < x0 − x < δ следует, что f (x) − A < ε.

Символически это определение записывается так:

→lim− f (x)= A ε > 0 δ: 0 < x0 − x < δ f (x)− A < ε.

x x0 0

Определение 6. Число А называется пределом функции f (x) в точке x0 справа, если для любого положительного числа ε найдется

положительное	δ такое,	что как только x удовлетворяет неравенству
0 < x − x0 < δ следует, что		f (x) − A	< ε.

Символически это определение записывается так:
lim	f (x)= A ε > 0 δ: 0 < x − x0 < δ			f (x)− A	< ε.

x→ x0 +0

ТЕОРЕМА 9 (критерий существования передела). Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой.

ТЕОРЕМЫ об арифметических операциях над пределами функций

Если существуют пределы lim f (x) = A и	lim g(x) = B , то
x→ x0	x→ x0

1) предел суммы и разности функций равен сумме и разности пределов функций:

lim ( f (x) + g(x)) = lim		f (x) +	lim	g(x) = A + B ,
x→ x0	x→ x0		x→ x0
lim ( f (x) − g(x)) = lim		f (x) −	lim	g(x) = A − B ;
x→ x0	x→ x0		x→ x0

2) предел произведения функций равен произведению пределов функций:

lim ( f (x) g(x)) =	lim	f (x) lim g(x) = A B ;
x→ x0	x→ x0	x→ x0

3) предел частного функций равен частному пределов функций:

lim

f (x)

xlim→0

f (x)

(B ≠ 0) .

g(x)

lim g(x)

x→

Пример 15. Пользуясь определением предела функции, доказать, что

lim

6x2

+ x −1

= −5. Для

ε = 0.01 вычислить наибольшее δ, для кото-

x +1/ 2

x→ −1 / 2

f (x)− A

рого выполняется 0 <

x +1/ 2

< δ

< ε.

Решение. Согласно определению предела функции требуется дока-

зать, что ε > 0 δ такое, что для всех

x ,

удовлетворяющих неравенству

0 <

x +1/ 2

< δ, выполняется неравенство

6x2 + x −1

+ 5

< ε. Решим это

x +1/ 2

неравенство относительно

x +1/ 2

6(x +1/ 2)(x −1/ 3) + 5

< ε,

6x − 2 + 5

< ε, 6

x +1/ 2

< ε,

x +1/ 2

0.01

x +1/ 2

< ε

, следовательно, δ ≤

. При ε = 0.01 δ =

600

Пример 16. Вычислить предел функции:

lim

4x2 −5x +

x→∞ 2x2 − 6x +

Решение. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень пе-

ременной:

4 − 5

−5x

lim

= lim

= 2 .

x→∞

− 6x

+ 3

x→∞

−

Подобно тому, как это делалось при вычислении пределов последо-

вательности, заметим,

что с

→ 0,

→ 0

при

x →∞ для любой кон-

станты с.

Замечание. Пределы функции в бесконечности вычисляются так же,

как и пределы последовательности.

3x + 5

Пример 17. Вычислить предел функции: lim

x→4 x2 − 2x + 4

Решение. Воспользуемся теоремой об арифметических свойствах

предела функции.

lim 3x + lim 5

3x + 5

3 4 + 5

lim

x→

x→4

lim x2 − lim 2x + lim 4

16 − 2 4 + 4

x→4 x2 − 2x + 4

x→4

→

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>