математический анализ _часть 1
.pdfТак как |
lim |
a |
n |
= lim |
n |
32 |
=1, то и данный ряд сходится. Разумеет- |
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n3 |
− n +1 |
|||||
|
n→∞ bn |
n→∞ |
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ся, выбирая признаки сравнения, можно применять теорему 3. Тогда надо устанавливать неравенство между an и bn . Однако если в примере 9 нера-
венство an = 2n1+ 3 ≥ 31n =bn при n > 2 очевидно, устанавливается легко и
∞
расходимость ряда ∑bn , то в примере 10 решение с помощью теоремы 3
n =1
становится неочевидным.
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∞ |
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x |
)n |
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Пример 11. Исследуем сходимость ряда ∑n!( |
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при |
x > 0 . |
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n =1 |
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n |
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Решение. Имеем знакоположительный ряд. |
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Наличие n!=1 2 ... n |
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подсказывает, что удобнее брать признак Даламбера: |
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x |
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x |
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xn |
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|||||||
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(n +1)!( |
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)n+1 |
= (n +1) |
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an+1 |
= |
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(n +1)n+1 |
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n |
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n +1 |
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= x( |
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)n , |
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xn |
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n + |
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an |
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n!( |
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x |
n |
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1 |
|||||||||||||||
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) |
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n |
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||||
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n |
n |
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||||||
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lim |
an +1 |
= x lim |
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1 |
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= x |
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1 |
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= |
x |
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. |
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|
an |
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1 n |
e |
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n→∞ |
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n→∞ n +1 n |
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lim |
1 + |
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||||||||
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n |
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n→∞ |
n |
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При 0 < x < e имеем q = x / e <1, ряд сходится, при x > e ряд расходится, так как q >1. При x = e имеем q =1, признак Даламбера не дает от-
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1 n |
||
вета, но так как последовательность 1 |
+ |
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стремится к e, монотонно воз- |
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||||
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n |
|
растая, то an +1 >1, поэтому an +1 > an , по теореме 1' ряд расходится. an
Пусть теперь числовой ряд имеет члены произвольного знака. По-
∞
строим ряд со знакоположительными членами ∑ an ( A ). К нему при-
n =1
менимы теоремы 1 – 6. Если установим, что ряд ( A ) сходится, то реше-
ние примера заканчивается. Тогда по теореме 7 заключаем, что ряд (A) сходится абсолютно.
Если же ряд ( A ) расходится, то ряд (A) тем не менее может сходиться (условно), то есть решение задачи продолжается.
11
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∞ |
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(A). |
Пример 12. Исследовать сходимость ряда ∑(−1)n 1 |
|||||||
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n =1 |
n |
|
Решение. Составим ряд ( |
|
A |
∞ |
1 |
. Он расходится (гармонический). |
||
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): ∑ |
n |
|||||
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n =1 |
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Таким образом, абсолютной сходимости нет. Ряд (А) знакочередующийся,
1 >1/ 2 >1/ 3 >..., lim 1 = 0 , значит, по теореме 7 ряд (А) сходится, и мы
n→∞ n
имеем условную сходимость.
Пример 13. Исследовать сходимость ряда ∑∞ sin n (А).
n=1 n2
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∞ |
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sinn |
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sin n |
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1 |
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|||||
Решение. Составим ряд ( |
|
A |
|
): ∑ |
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. Так как |
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≤ |
=bn , то |
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|||||||||
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n2 |
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n2 |
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n2 |
||||||
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n =1 |
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∞
по теореме 3 из сходимости ряда ∑bn ( α = 2 >1, теорема 6) следует схо-
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n =1 |
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||
димость ряда ( |
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|
A |
|
) и абсолютная сходимость ряда (А). |
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n |
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2 |
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|||||||||||||||||||
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∞ |
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4 |
(n!) |
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||||
Пример 14. Исследовать сходимость ряда ∑(−1)n−1 |
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(А). |
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(2n)! |
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n =1 |
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Решение. Находим |
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|||||||||||
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an +1 |
|
= |
4n +1((n +1)!)2 |
: |
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4n (n!)2 |
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= |
4(n +1)2 |
|
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= |
2n + 2 |
|
>1. |
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|
|
an |
|
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|
(2n + |
2)! |
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|
(2n)! |
|
2(2n +1)(n + |
1) |
|
2n +1 |
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Это означает, что |
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an +1 |
|
> |
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an |
|
, |
следовательно, |
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an |
|
не стремится к |
||||||||||||||||||
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нулю, но тогда и an не стремится к нулю. По теореме 1' ряд (А) расходится.
Контрольная работа 1
Задание 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенства. При заданном ε установить, начиная с какого номера, выполняется неравенство xn − a < ε:
1) |
lim |
2n +1 |
|
= −1, ε = 0,01; |
2) |
lim |
|
3 − n |
|
= − |
1 |
, ε = 0,03 ; |
|||||||||||
|
|
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|
2n +1 |
2 |
||||||||||||||||||
|
n→∞1 − 2n |
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n→∞ |
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||||||||||||
3) |
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|
1 |
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|
3n +1 |
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||||||
lim 2 |
− |
|
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|
|
|
= 2 ; ε = 0,1; |
4) |
lim |
|
|
|
|
=3, ε = 0,01; |
|||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||
|
n→∞ |
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3n |
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n→∞ n −1 |
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||||||||
5) |
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|
1 |
|
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|
|
n −3 |
|
|
1 |
|
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|||||
lim 3 + |
|
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|
=3, ε = 0,05 ; |
6) |
lim |
|
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|
= |
|
|
, ε = 0,7 ; |
|||||||||
en |
3n +1 |
3 |
|||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
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|
n→∞ |
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||||||||||||
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12 |
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7) |
|
lim |
2 − n |
= −1, ε = 0,3 ; |
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8) lim |
2n −1 |
= − |
2 |
|
, ε = 0,001; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 −3n |
3 |
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|
n→∞ n +1 |
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|
n |
→∞ |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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9) |
|
lim |
3 − 2n |
= −2 , ε = 0,004 ; |
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10) |
lim |
|
4n +1 |
|
= −2 , ε = 0,09 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
n +1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ |
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n→∞ |
1 − 2n |
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В заданиях 2 – 10 вычислить предел последовательности. |
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Задание 2. |
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|||||||||||||
1) |
lim |
|
n +1 |
|
|
; |
|
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|
|
|
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|
2) |
|
lim |
|
n |
2 + |
3 |
; |
|
|
3) |
lim |
3n3 + 5 |
|
; |
|
4) |
|
lim |
|
|
|
3 − 2n |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
2n + 7n4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ n |
|
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|
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|
n→∞ n3 − 7 |
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n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞12n + 7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
2n7 −3n2 |
; |
|
|
6) |
|
lim |
|
|
|
|
5n |
|
|
|
; |
7) |
lim |
|
|
|
3n − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
8) |
|
lim |
24n − 2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n −5n2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 25n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ 2n2 +3n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
n→∞ 8n + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
|
n3 + 25 |
; |
|
|
|
|
|
10) |
|
|
lim |
|
(n − 4)2 + (n + 4)2 |
. |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ n2 −3n3 |
|
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|
n→∞ (n + 3)2 + (2n −1)2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 3. |
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|
5n2 −1 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ 2n 3n +1 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2n +1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n |
|
|
|
|
|
|
|
3n2 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
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12n2 |
− 2n |
|
|
2n −1 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
− |
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
; |
|
|
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|
4) lim |
|
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|
|
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|
+ |
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|
; |
|
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|||||||||||||||
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2 |
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|
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
3n − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ 5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9n +1 |
|
|
|
8n3 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17n |
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
6) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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5 −3n |
|
|
|
3n |
+ |
|
4n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + 5 |
|
|
|
|
|
3n |
+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
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|
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|
n→∞ |
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n2 − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
8) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n + 3 |
|
|
|
3n |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ |
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|
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|
n→∞ |
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|
|
|
|
+ 3n |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
n − |
2 |
|
|
|
|
2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
n4 |
− n6 |
|
|
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|
5n +1 |
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
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|
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|
10) |
lim |
|
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|
|
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|
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|
|
− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ 7 |
|
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n − n |
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|
|
|
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|
50n |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
n→∞ 3n + 2n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 4. |
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|||||||||||||
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|
1 |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
+1 |
|
|
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||||||||||||||
|
1) |
lim |
|
|
|
|
sin n2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
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|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ 3n |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
2n |
−1 |
|
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|
|
|
−1 |
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4n −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (n + 4n4 − |
2) ; |
|
4) |
lim |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ 6 + |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
5 + n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
− |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2n ! |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5n |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
n→∞ 3 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
n→∞ |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
13 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
7) lim |
|
sin (n4 |
+1) ; |
8) lim |
|
cos n4 |
; |
|
|
||||||
n→∞ n |
|
|
n→∞ n3 |
|
|
|
|
|
|
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|
(2 |
+ n)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
10) lim |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
9) lim |
|
|
5 |
|
|
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|
cos n11 |
|
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|
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|
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6 |
|
cos(2n)! . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
−3n |
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
||||||||||||
|
|
n→∞ n |
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
n→∞ n |
|
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|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 5. |
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|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
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|
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|
3n |
|
|
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3n2 |
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|
n |
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n(−1)n |
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
cos n3 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
− 2 |
|
1 − 2n |
|
|
n |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n + 9n2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
4) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
+ 7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ 3n −1 2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
cos n6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
cos n9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
6) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n +1 3n 2n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
cos n2 |
|
|
|
8n4 |
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin n3 |
|
|
|
16 |
+ 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
8) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|
|
3n − n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
; |
10) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n + |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + n |
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
n→∞ |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 6. |
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2n +1 |
+ 3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n +1 |
+ 6n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27n +1 −8n +2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2n |
+ 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
+ 6n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 23n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 33n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
2n −5n +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
25n |
+ 72n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
23n +1 + 43n−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2n +2 |
|
+ 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52n+2 + 49n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23n |
|
+ 43n− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
3n +2 |
− 4n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
7n +1 |
−8n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
22n +2 + 9n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3n |
+ 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n +8n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
+ 32n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
10) |
lim |
13n + 7n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n −1 |
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||
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n→∞13n −1 + |
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|||||||||||||
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Задание 7. |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3n2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
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|
ncos |
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
6 |
|
|
|
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||||||||
|
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|
|
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|
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|
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|||||||||||||
|
|
nsin n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
sin n! |
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
sin n! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) lim |
; |
|
2) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
3) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
4) |
|
|
lim |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ 3n3 + 2 |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ n − 7n7 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
lim |
|
27nsin (5 + n)! |
; |
|
6) |
lim |
|
3n6 cos n! |
; |
7) |
lim |
ncos n! |
; |
8) |
lim |
n5 sin 3n! |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 + 3n + 2 |
|
|
|
|
n7 + 3 |
|
|
|
|
2 |
|
+ 5 |
|
|
n6 + 5n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
lim |
|
n5 cos(n + 2)! |
; |
|
10) |
lim |
|
n5 sin n! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n6 +100 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
−17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
Задание 8. |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
lim |
|
|
4n2 −3 |
; |
2) |
|
|
|
|
3 |
n2 + n |
; |
|
3) |
lim |
2n + |
3 |
; |
|
|
4) |
lim |
|
3 n9 − |
7 |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2n +1 |
lim |
|
n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n3 + |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ 4n2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
4n2 + 9n −3 |
|
; |
6) |
|
lim |
|
3 |
n2 + 2 |
; |
|
7) |
lim |
|
|
3n4 + |
7 |
; |
8) |
lim |
|
|
n3 −8 |
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9n − 2 |
|
|
|
|
|
n −3 |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
n→∞ 3 n9 + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
lim |
|
|
n3 |
+ 3 |
; |
|
10) |
|
|
4 n8 +12 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
n2 + |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
3 n3 −3n9 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Задание 9. |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
lim |
|
|
n2 +1 + n |
; |
|
2) |
|
lim |
|
|
n2 + 2n + |
3 n2 +1 |
; |
|
|
|
3) |
|
|
|
lim |
4n2 + 3n − 2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n3 + n − n |
|
|
|
|
(n −1)2 + 2(n −1) |
|
|
|
|
|
|
9n2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
− n + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
5 |
n5 + 3 + 4 2n3 −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
5) |
|
lim |
|
5n5 −3n2 |
|
+ 4n4 +10n + 2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 n2 +1 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5n2 + 2n − 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ 4n6 − 4n4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 2 n + 3 n |
+ 55 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
7) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
3n − 2 |
+ |
2n −3 |
|
|
|
n +1 + |
n − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
8) |
lim |
|
|
3n2 + 2n + 3 3n2 + |
4 |
; |
|
|
|
9) |
lim |
|
n + 2 |
; |
|
|
|
10) |
|
lim |
n5 + n4 + n3 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n −1)2 + 2(n − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n10 + n9 + n8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ n2 + n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 10. |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
lim ( |
n2 − n + 4 − |
|
n2 −8n) ; |
|
|
|
2) |
lim ( |
n2 −8n −3 − |
n2 − 6n +1) ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
lim ( |
2n2 − 2n + 4 − |
|
|
2n2 − 6n + 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim ( |
n2 − 6n − 42 − |
|
n2 − 6n − 25) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
lim ( |
n2 + 2n + 3 − |
|
n2 + 6n −5) ; |
|
|
6) |
lim ( |
n2 −12n − 4 − |
n2 −16n) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
lim ( |
n − 4 − |
|
n + 5) ; |
8) |
lim ( |
n2 |
+ n − 4 − |
n2 − n + 9) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9) |
lim ( |
n2 + 22n − |
|
|
n2 − n + 5) 10) |
lim ( |
n2 − 7n −8 − |
|
|
n2 −5n + 6) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В заданиях 11 – 20 исследовать числовые ряды на сходимость. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задание 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
||
1) |
∑ |
2n |
|
; |
|
2) |
∑(3n +1); |
3) ∑(−1)n +1 n3 |
; |
|
4) ∑2 n ; |
5) ∑(−1)n n ; |
|||||||||||||||||||||||
n − |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
1 |
|
∞ |
n +1 |
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6) |
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
; |
7) |
|
∑ |
|
|
|
; 8) |
∑ |
|
|
|
; 9) ∑ |
|
|
|
|
|
|
; 10) ∑(2n +1). |
|||||||||
|
n + 3 |
|
|
|
n |
|
|
+1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
3 |
|
|
n =1 |
|
n =11000n |
n =1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Задание 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ (n +1)! |
|
|
|
|
∞ |
|
1000n |
|
|
∞ (n!)2 |
|
|
∞ 2 5 8 ... (6n − 7)(6n − 4) |
|
||||||||||||||||||||
1) |
∑ |
|
|
|
; |
2) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
3) |
∑ |
|
|
|
; |
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
5 9 ... (8n −11) (8n − |
7) |
|||||||||||||||||||||||||
|
n =1 5n |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n =1(2n)! |
|
|
n=11 |
|
∞ |
1 3 |
5 |
... (2n −1) |
; 6) |
∞ |
(n +1)! |
; |
||
5) ∑ |
|
|
2n n! |
|
∑ |
|
|||
n =1 |
|
|
|
n =1 3n −5 |
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
9) ∑ |
|
|
|
|
, |
||
|
|
(a +1)(a + 2) |
... (a + n) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(n + 2) |
|
∞ |
π |
|
||
7) ∑ |
|
|
; |
8) ∑n tg |
|
; |
|
|
|
2n +1 |
|||||
n =1(n −1)! |
|
n =1 |
|
||||
a > 0 ; |
10) |
∞ 3n |
. |
|
|
||
∑ |
|
|
|||||
|
|
|
|
n =1 n! |
|
|
|
Задание 13.
∞ n2 |
+1 |
n |
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ 2n −1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
1) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 4 |
|
; |
2) |
∑ |
|
n |
|
|
|
|
|
; |
3) ∑ |
n |
n ; |
|
4) ∑ |
|
n |
|
|
; |
||||||||||||||||
n =1 n |
|
|
|
|
|
n =1ln |
|
(2n + 2) |
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =3 ln |
|
|
|
(n −1) |
||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) ∑3 tg |
|
|
|
|
; |
6) |
∑arctgn |
|
|
; |
|
|
7) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
8) |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
5n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n =1 2n |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n + 2 |
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
2n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
10) |
∑sin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n2 |
|
+ 3 |
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Задание 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
1) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
2) |
∑ |
|
|
; |
3) ∑ |
|
|
|
|
|
; 4) |
∑sin |
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + |
n − 0.5 |
|
|
3n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n =1 (n +1)2 |
−1 |
|
|
n =1 |
1 |
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
∞ |
n |
5 |
− n |
3 |
+1 |
|
∞ arctg |
1 |
|
∞ |
1 |
+ n |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) ∑ln 1 |
+ |
; 6) |
∑ |
|
|
n |
6 |
|
|
; |
7) ∑ |
|
3 |
|
; |
8) ∑ |
1 |
+ n |
3 |
; |
||||
n =1 |
|
|
n |
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
9) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
10) ∑ln n |
+ 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 + 7n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n =1n |
|
n =1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 15.
|
∞ |
n+1 |
∞ |
|
1 |
|
|
|||||
1) ∑ |
(−1) |
|
; |
2) ∑(−1)n−1 |
; |
|
||||||
n |
|
2 |
|
|||||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
∞ |
n 2n +1 |
n 2 |
∞ |
n−1 |
1 |
|
||||||
4) ∑(−1) |
|
|
|
|
; |
5) ∑(−1) |
|
|
n n |
; |
||
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
3n +1 |
|
n=1 |
|
|
|
∞ |
e n +1 |
|
n |
|||
|
|
|||||
3) ∑(−1)n |
|
|
; |
|||
π n +1 |
||||||
n =1 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
6) ∑(−1)n−1 |
; |
||
(n + 2)(n +3) |
|||
n=1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
∞ |
|
1 |
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
7) ∑cos n ; |
8) |
∑(−1)n sin |
|
; |
9) ∑ |
|
; 10) |
∑(−1)n |
. |
|||||||||||||||||||||
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 n3 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n =1 3n2 + n + 2 |
|
n =1 |
|
|
n2 + |
2 |
|
|
||||||||||||
Задание 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
(n + |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2n +1 |
|
||||||
1) ∑ (−1)n |
|
|
; |
2) ∑(−1)n −1 |
|
|
|
; |
3) ∑(−1)n −1 |
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
n(n +1) |
|||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4) ∑(−1)n |
|
|
|
|
; |
|
5) ∑(−1)n −1 |
|
|
|
; |
6) ∑(−1)n −1 |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
3n + |
2 |
|
5n − 2 |
3n − 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
7) ∑(−1)n |
−1 |
|
|
; |
8) |
∑ (−1)n sin |
; |
|
|
9) ∑(−1)n |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
1 |
|
|
n =1 |
|
2n |
|
n =1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
∞ |
|
n + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 17.
|
|
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
2) |
∑sin n2 ; |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
n |
||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
||||||
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ arctg |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
6) |
∑ |
x |
|
, x > |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n! |
|
∞ |
4 7 1 ... (3n +1) |
|
∞ |
1 |
|
|
3) ∑ |
; |
4) ∑(−1)n |
; |
|||
2 6 10 ... (4n − 2) |
n n |
|||||
|
|
n =1 |
|
|||
n =1 |
|
|
|
∞ |
3 |
n |
∞ |
n |
|
|
0 ; 7) ∑ |
|
; 8) ∑(−1)n |
|
; |
||
|
|
5n2 |
|
|||
n =12n (2n +1) |
n =1 |
−1 |
17
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
∞ |
|
|
|
n |
; |
|
|
10) |
∞ |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
3n2 + n + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Задание 18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
(n!)2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
n |
∞ |
|
π |
|
|||||||
1) ∑ |
|
|
|
; |
|
2) |
|
∑( |
|
n + |
2 |
− 4 n2 |
+ n |
+1) ; |
3) |
∑ |
|
|
|
|
; 4) |
∑ln sec |
n |
; |
||||||||||||
3n |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
3n +1 |
|
n =1 |
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
sin |
π |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
π |
∞ |
n |
2 |
|
|||||
5) ∑(−1)n −1 |
|
|
|
n |
|
; |
|
|
|
6) |
|
∑sin n |
|
; |
|
|
7) |
|
∑ 1 − cos |
|
; |
8) ∑ |
|
|
|
; |
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
n |
n =13n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|
10) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Задание 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − n |
2 −1); |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||
|
1) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
2) ∑(−1)n −1 |
|
; |
|
|
3) ∑ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
3n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n= |
1 |
2 + |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
∞ |
(−1) |
n−1 |
|
∞ |
|
|
|
( |
n +1 − n −1); |
|||||||
∑ |
|
; 5) |
∑(−1)n −1 1 |
||||||||||||||
|
n =1 |
2n2 |
+ |
3 |
|
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π |
|
∞ sin |
1 |
|
|
∞ |
|
n |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
n ; |
|
|
|
||||||||||
7) |
∑n2 sin3 |
; |
8) ∑ |
|
|
9) ∑ |
|
|
|
|
; |
||||||
n |
|
|
|
|
|
1 n |
|||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
n =1 |
4 n5 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
6) ∑ |
a n |
− a n−1 |
|
, a > 0 ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
||
10) ∑(−1)n |
|
|
|
. |
|||||
n |
n + 2 |
||||||||
n =1 |
|
|
Задание 20
1) |
∞ |
; |
2) |
∞ |
(−1) |
n |
; |
3) |
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
∞ |
|
|
|
n + 2 |
; |
||||
∑cos nα |
∑ |
|
∑ |
|
; |
4) ∑(−1)n −1 |
||||||||||||||||||
|
n =1 n! |
|
|
n =2 |
n + (−1)n |
|
|
n =1 |
n + 5 |
n =1 |
|
|
n + 3 |
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
1 4 7 ... (3n − 2) |
|
|
∞ |
|
|
|
4 |
n |
|
|
|||||||
5) |
∑(−1)n 2 |
; |
6) |
∑(−1)n |
; |
|
7) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
5 ... |
(2n −1) |
||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
n =1 |
|
7 9 11 ... (2n + 5) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
n |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 . |
|
|||
|
8) ∑ |
|
; |
|
9) ∑(−1)n |
|
|
; |
|
|
10) |
∑(−1)n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ln (n +1) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =1 |
3n + 2 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
n3 + 3 |
|
18
|
|
|
|
|
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ |
|||||||||||
|
Определение 4. |
Число А называется пределом функции f (x) в |
||||||||||||||
точке |
x0 , если для |
любого положительного числа ε найдется положи- |
||||||||||||||
тельное |
δ |
такое, |
что |
как только x |
удовлетворяет неравенству |
|||||||||||
0 < |
x − x0 |
< δ следует, что |
|
f (x) − A |
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Символически это определение записывается так: |
|||||||||||||||
|
|
lim |
f (x)= A ε > 0 δ: 0 < |
|
x − x0 |
|
< δ |
|
f (x)− A |
|
< ε. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
Определение 5. Число А называется пределом функции f (x) в точке x0 слева, если для любого положительного числа ε найдется положительное δ такое, что как только x удовлетворяет неравенству 0 < x0 − x < δ следует, что f (x) − A < ε.
Символически это определение записывается так:
→lim− f (x)= A ε > 0 δ: 0 < x0 − x < δ f (x)− A < ε.
x x0 0
Определение 6. Число А называется пределом функции f (x) в точке x0 справа, если для любого положительного числа ε найдется
положительное |
δ такое, |
|
что как только x удовлетворяет неравенству |
||||||
0 < x − x0 < δ следует, что |
|
f (x) − A |
|
< ε. |
|||||
|
|
||||||||
Символически это определение записывается так: |
|||||||||
lim |
f (x)= A ε > 0 δ: 0 < x − x0 < δ |
|
f (x)− A |
|
< ε. |
||||
|
|
||||||||
x→ x0 +0 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
ТЕОРЕМА 9 (критерий существования передела). Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой.
ТЕОРЕМЫ об арифметических операциях над пределами функций
Если существуют пределы lim f (x) = A и |
lim g(x) = B , то |
x→ x0 |
x→ x0 |
1) предел суммы и разности функций равен сумме и разности пределов функций:
lim ( f (x) + g(x)) = lim |
f (x) + |
lim |
g(x) = A + B , |
|
x→ x0 |
x→ x0 |
|
x→ x0 |
|
lim ( f (x) − g(x)) = lim |
f (x) − |
lim |
g(x) = A − B ; |
|
x→ x0 |
x→ x0 |
|
x→ x0 |
|
2) предел произведения функций равен произведению пределов функций:
lim ( f (x) g(x)) = |
lim |
f (x) lim g(x) = A B ; |
x→ x0 |
x→ x0 |
x→ x0 |
3) предел частного функций равен частному пределов функций:
19
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
f (x) |
= |
xlim→0 |
f (x) |
|
= |
|
A |
(B ≠ 0) . |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
g(x) |
|
|
lim g(x) |
|
|
|
B |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример 15. Пользуясь определением предела функции, доказать, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
6x2 |
+ x −1 |
|
= −5. Для |
|
|
|
ε = 0.01 вычислить наибольшее δ, для кото- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1/ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ −1 / 2 |
|
|
|
|
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f (x)− A |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
рого выполняется 0 < |
|
x +1/ 2 |
|
< δ |
|
|
< ε. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Согласно определению предела функции требуется дока- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зать, что ε > 0 δ такое, что для всех |
|
x , |
удовлетворяющих неравенству |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
x +1/ 2 |
|
|
< δ, выполняется неравенство |
|
6x2 + x −1 |
+ 5 |
|
< ε. Решим это |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x +1/ 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство относительно |
|
x +1/ 2 |
|
|
: |
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(x +1/ 2)(x −1/ 3) + 5 |
|
< ε, |
|
6x − 2 + 5 |
|
< ε, 6 |
|
x +1/ 2 |
|
< ε, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.01 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x +1/ 2 |
|
< ε |
, следовательно, δ ≤ |
ε |
. При ε = 0.01 δ = |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Пример 16. Вычислить предел функции: |
lim |
|
4x2 −5x + |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 2x2 − 6x + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень пе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ременной: |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − 5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
−5x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
= |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
2x |
|
− 6x |
+ 3 |
|
|
x→∞ |
2 |
|
− |
x |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Подобно тому, как это делалось при вычислении пределов последо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательности, заметим, |
что с |
|
x |
→ 0, |
|
|
c |
x2 |
→ 0 |
|
|
при |
x →∞ для любой кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
станты с. |
|
|
|
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|
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|||||||||||||
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|||||||||
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|
Замечание. Пределы функции в бесконечности вычисляются так же, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
как и пределы последовательности. |
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|
3x + 5 |
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 17. Вычислить предел функции: lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x→4 x2 − 2x + 4 |
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Решение. Воспользуемся теоремой об арифметических свойствах |
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предела функции. |
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lim 3x + lim 5 |
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3x + 5 |
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3 4 + 5 |
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17 |
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lim |
= |
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x→ |
4 |
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x→4 |
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= |
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= |
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lim x2 − lim 2x + lim 4 |
16 − 2 4 + 4 |
12 |
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x→4 x2 − 2x + 4 |
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x→4 |
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x→4 |
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x |
→ |
4 |
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20 |
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