Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
1. Определение экстремума функции двух переменных.
2. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
Решение типового примера
Пример 9.4.Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Для этого находим частные производные функции:
;
,
затем приравниваем их к нулю и решаем систему уравнений:
откуда
находим
,
.
Таким образом, получили точку
,
в которой будем продолжать исследовать
функцию на экстремум.
Находим значения
частных производных второго порядка в
точке
:
;
;
.
Найдем знак
дискриминанта
в указанной точке:
.
Так как дискриминант
больше нуля
>
и
>
,
то функция имеет минимум в точке
:
.
Ответ.
В точке
функция
имеет минимум
.
Задачи контрольной работы
В заданиях 9.4.1-9.4.20 найти экстремум заданной функции.
9.4.1.
.
9.4.2.
.
9.4.3.
.
9.4.4.
.
9.4.5.
.
9.4.6.
.
9.4.7.
.
9.4.8.
.
9.4.9.
.
9. 4.10.
.9.4.11.
9.4.12.
.
9.4.13.
.
9.4.14.
.
9.4.15.
.
9.4.16.
.
9.4.17.
.
9.4.18.
.
9.4.19.
.
9.4.20.
.
10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
Понятия дифференциального уравнения, общего и частного решения дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Решение типовых примеров.
Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.
В общем виде дифференциальное уравнение n – го порядка имеет вид:
F(x, y, y', y′', … ,y(n))=0
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решение уравнения, зависящее от n произвольных постоянных С1, С2, … , Сn, называется общим решением, и имеет вид:
y= f(x,C1, C2, … ,Cn)
Если решение уравнения получено в неявном виде (3.3), то оно называется общим интегралом.
φ(x, y, C1, C2, … , Cn) = 0
Задача Коши: среди всех решений дифференциального уравнения требуется найти решение y=f(x), для которого функция f(x)вместе со своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает заданные значения y0, y0', y0'',…,y0(n-1) при заданном значении х0 аргумента х, т.е.
y0 = f(x0)
y0'= f'(x0)
y0'' = f''(x0)
y0(n-1)=f(n-1)(x0)
где х0,у0, y0', y0'',…,y0(n-1) – заданные числа.
Эти условия называются начальными условиями решения y=f(x), а само это решение – частным решением дифференциального уравнения.