Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

В общем случае дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными имеют вид:

P₁(x)Q₁(y)dу + P₂(x)Q₂(y)dх=0

Видно, что в этом уравнении множители перед dx и dy представляют собой произведения двух функций. Одна из которых зависит только от х, а другая - только от у. Следовательно, данное уравнение можно проинтегрировать, предварительно разделив переменные: в одной части уравнения оставить функцию, зависящую только от х, а в другой – только от у, для этого перенесем одно из слагаемых в правую часть и разделим обе части полученного равенства на произведение функций Q₂(y) P₁(x).

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Пример 10.1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xydx+(x+1)dy=0.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, перенеся первое слагаемое в правую часть, и разделив обе части уравнения на выражение у(х+1).

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

Найдем общее решение .

Пример 10.2. Найти частное решение дифференциального уравнения

(4+x²)lny∙y' - y = 0 ,

при следующих начальных условиях y(2)=1.

Решение. Заменив y′ на , и разделив переменные получаем:

.

Получили общий интеграл дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, можно, сначала, найти частный интеграл. Для этого, в общий интеграл подставим начальные условия x=2 и y=1 и находим С.

Окончательно получаем частный интеграл и частное решение:

.

Однородные уравнения.

Уравнения вида называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Однородное уравнение приводиться к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=u∙x, где u=u(x) - новая искомая функция. Заменим у и y'= u'x + u в данном уравнении :

u'x + u = f(u)

Разделив переменные, получаем:

Проинтегрировав, полученное уравнение найдем общее решение или общий интеграл.

Пример 10.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Введем новую функцию , тогда и . Заменяя в исходном уравнении функцию у и ее производную у' получим уравнение с разделяющимися переменными:

u = lnCx⁷.

Возвращаемся к старой функции .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производной.

Линейное уравнение в общем виде записывается так:

y' + P(x)y = Q(x

Это уравнение сводиться к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию у заменить двумя функциями u=u(x) v=v(x) следующим образом y=uv. Тогда y' = u'v + uv', и данное уравнение примет вид:

,

Сгруппируем второе и третье слагаемые левой части уравнения и вынесем общий множитель и за скобку:

. (*)

В силу того, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль:

-

-это уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию v=v(x). Вернемся к уравнению (*) и подставим в него найденное значение функции v(x):

u'v(x) = Q(x)

это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, найдем

и = и (х,С), тогда общее решение линейного дифференциального уравнения равно:

y = u(x,C)v(x).

Пример 10.4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′cosx – ysinx = cos²x.

Решение. Преобразуем уравнение

y′ – ytgx = cosx

Полагаем y=uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение примет вид:

u'v + uv'-uvtgx=cosx ,

u'v + u[v'-vtgx]=cosx (*)

Приравниваем квадратную скобку к нулю и решаем полученное уравнение:

Подставив в уравнение (*), получим уравнениеиз которого находимu:

Итак .

Окончательно получаем: .