- •Общие методические указания
- •Консультации
- •Литература
- •1. Элементы линейной алгебры
- •Задачи контрольной работы
- •2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •6. Исследование функций Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Определенный интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи контрольной работы
- •9. Функции нескольких переменных Частные производные Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
- •Решение типовых примеров.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задачи контрольной работы
- •Числовые и функциональныеряды Программные вопросы.
- •Постановка задачи.
- •План решения задачи.
- •Постановка задач.
- •План решения задач.
- •Постановка задачи 4.
- •План решения задачи 4.
- •Постановка задачи 5.
- •План решения задачи 5.
- •Постановка задачи 6.
- •План решения задачи 6.
- •Постановка задачи 7.
- •План решения задачи 7.
- •1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, ,используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
- •Постановка задачи 8.
- •План решения задачи 8.
- •Постановка задач 9-11.
- •План решения задач 9-11.
- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
Распределение частот денежных затрат на животноводство
Ii |
Интервалы |
Середины Интервала, xi |
Разноска |
Частоты Ni |
Накопленные Частоты niнак. |
1 2 3 4 5 6 7 |
16 –24 24 – 32 32 – 40 40 – 48 48 – 56 56 – 64 64 – 72 |
20 28 36 44 52 60 68 |
|
3 5 11 15 14 9 3 |
3 8 19 34 48 57 60 |
1 |
∑ |
60 |
|
60 |
|
В табл. 13.2 произведена разноска значений признака Х, указаны интервалы, середины интервалов, частоты ni, накопленные частоты, равные сумме частот, попавших в предшествующие интервалы.
Интервалы и их частоты представляют собой интервальный ряд. Середины интервалов и соответствующие частоты дают вариационный ряд (табл. 13.3).
Таблица 13.3
Вариационный ряд
Варианта, хi |
220 |
28 |
36 |
44 |
52 |
60 |
68 |
Частота, ni
|
3 |
5 |
11 |
15 |
14 |
9 |
3 |
2) Графически интервальный ряд изображают с помощью гистограммы. Для её построения в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают отрезки, соответствующие интервалам вариационного ряда. На этих отрезках строят прямоугольники с высотами, равными частотам. Полученная ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, и есть гистограмма. Для признака Х гистограмма изображена на рис. 13.1.
n
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
24 |
32 |
40 |
48 |
56 |
64 |
72 |
Рис. 13.1. Гистограмма распределения денежных затрат на животноводство
Для графического изображения дискретного ряда служит многоугольник (полигон). Для его построения на оси абсцисс откладываются варианты, а на оси ординат их частоты. Полученные точки соединяют отрезками. Полигон вариационного ряда признака Х изображён
на рис.13 2.
15
13
11
9
7
5
3
0 20 28 36 44 52 60 68 xi
Рис. 13.2. Полигон денежных затрат на животноводство
3) Для интервального ряда распределения выборочная средняя вычисляется по формуле:
,
где хi - середина i - го интервала, ni - частота i- го интервала, n – объём выборки.
Используя данные табл. 13.3., вычислим средние затраты на животноводство: =, то есть 455 тыс. руб. на 100 голов.
Низшая и высшая частные средние находятся по формулам:
и ,
причём в знаменателе суммируются частоты тех же групп, что и в числителе.
Вычисляем:;
.
Для характеристики рядов распределения применяют также структурные средние: моду Мо и медиану Ме.
Мода – это варианта, которая наиболее часто встречается в данной совокупности, то есть варианта с наибольшей частотой.
Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:
,
где h - шаг, - частота модального (содержащего моду) интервала;- частота домодального интервала;- частота послемодального интервала;- начало модального интервала.
В нашем случае Мо=40+=46,4.
Медианой в статистике называют варианту, расположенную в середине вариационного ряда.
Для интервального ряда медиану определяют по формуле:
где хМе - начало медианного интервала (содержащего медиану), nн Me-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, nМе - локальная частота медианного интервала.
В нашем примере, используя данные таблицы 13.2, получим:
Ме=40 +8≈45,9
Дисперсия вариационного ряда служит для характеристики рассеяния значений признака вокруг среднего значения и вычисляется по формуле:
.
Для удобства вычислений дисперсии признака Х составим рабочую таблицу (см. табл. 13.4).
Таблица 3.4
I |
|
|
| ||
1 2 3 4 5 6 7
|
20 28 36 44 52 60 68 |
3 5 11 15 14 9 3 |
-25,5 -17,5 -9,5 -1,5 6,5 14,5 22.5 |
650,25 306,25 90,25 2,25 42,25 210,25 506,25 |
1950,75 1531,25 992,75 33,75 591,5 1892,25 1518,75 |
∑ |
|
60 |
|
|
8511 |
Таким образом, .
Среднее квадратическое отклонение (стандарт) SX - это арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.
.
Таблица 3.5
-
Характеристика
Обозначение
Значение
Выборочная средняя, дес. тыс. руб.
45,5
Размах варьирования, дес. тыс. руб.
RX
50
Высшая средняя, дес. тыс. руб.
56,6
Низшая средняя, дес. тыс. руб.
36,9
Мода, дес, тыс. руб.
Mo
46,4
Медиана, дес. тыс. руб
Me
45,9
Дисперсия, кв. дес. тыс. руб.
SX2
141,9
Стандарт, дес. тыс. руб.
SX
11,9
Коэффициент вариации, %
VX
2,62
Для сравнения величин рассеяния вариационных рядов вычисляют коэффициент вариации Vх как процентное отношение стандарта к средней арифметической: .
Для признака Х:.
Результаты вычислений поместим в табл. 13.5.
4) Проверим гипотезу о соответствии данных ряда (табл. 3.3) нормальному закону распределения сначала по критерию Пирсона χ2. Для этого сравним наблюдаемые ni и теоретические nit (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. Теоретические частоты рассчитываются по формуле: , гдеnit ─ теоретические частоты, n ─ объём выборки, h ─ шаг (длина) частичного интервала, ─ нормированное отклонение,xi ─ середины частичных интервалов, ─ выборочная средняя,SХ ─ стандарт, ─ дифференциальная функция Лапласа (значения даны в приложении 1).
Таблица13. 6
Хi |
Ni |
|
nit |
ni-nit | ||
20 |
3 |
-2,14 |
0,0404 |
1,6 |
0,9 |
0,11 |
28 |
5 |
-1,47 |
0,1354 |
5,5 | ||
36 |
11 |
-0,8 |
0,2897 |
11,7 |
0,7 |
0,04 |
44 |
15 |
-0,13 |
0,3956 |
16,0 |
-1 |
0,06 |
52 |
14 |
0,8 |
0,2897 |
11,7 |
2,3 |
0,45 |
60 |
9 |
1,22 |
0,1895 |
7,6 |
1,7 |
0,28 |
68 |
3 |
1,89 |
0,0669 |
2,7 | ||
60 |
─ |
─ |
56,8 |
─ |
0,94 |
К
Поскольку частоты крайних групп n1 = 3 < 5 и n7 = 3 < 5, то объединяем их с соседними группами.
Сумма последнего столбца определяет фактическую величину критерия Пирсона χф2 = 0,94. Эта величина сравнивается с предельным значением χкр2, значения которой даны в таблице (приложение 4) в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы, где─ число групп вариационного ряда.
В условиях задачи, принимая надёжность результатов равной 95% (р=0,95), уровень значимости расчётов будет равен .
Число групп вариационного ряда, после объединения первой и второй, а так же шестой и седьмой групп, равна = 5, следовательно, число степеней свободы к = 5 - 3 = 2. Предельное значение критерия χкр2 при и к=2, находим по таблице приложения 4.
Сравнение фактического и критического значений даёт: .
Следовательно, с надёжностью р=95% можно принять гипотезу, что разность частот между фактическим и нормальным распределением несущественна, а получена за счёт случайных отклонений, и данное распределение вариант можно считать подчиняющимся закону нормального распределения.
Критерий Пирсона, как правило, используется, когда объём выборки n>100. Когда же 50<n<100, то наиболее эффективен критерий - Смирнова. Проверим гипотезу о нормальном распределении признака по этому критерию.
Критерий - Смирнова основан на определении существенности различий между накопленными частостями эмпирическогоFi и теоретического Fit распределений.
Фактическое значение критерия ф2 вычисляют по формуле: , гдеFi ─ накопленная частость i-ой группы,
Fit ─ теоретическое значение накопленной частости i-ой группы.
Вычисленное значение сравнивают с критическим значением, которое находится по таблице для величиныn и уровня значимости . В частности, для= 0,05.
Таблица 13.7
Xi |
Фактическое распределение |
Нормальное распределение
|
Fi- Fit |
(Fi- Fit)2*10 6 | ||||
Частота ni |
Частость |
Накоплен. Частость Fi |
Частота nit |
Частость |
Накоплен. Частость Fit | |||
20
|
3 |
0,050 |
0,050 |
1,6 |
0,027 |
0,027 |
0,023 |
529 |
28 |
5 |
0,083 |
0,133 |
5,5 |
0,092 |
0,119 |
0,014 |
196 |
36 |
11 |
0,183 |
0,316 |
11,7 |
0,195 |
0,314 |
0,002 |
4 |
44 |
15 |
0,250 |
0,566 |
16,0 |
0,267 |
0,581 |
-0,015 |
225 |
52 |
14 |
0,233 |
0,799 |
11,7 |
0,195 |
0,776 |
0,023 |
529 |
60 |
9 |
0,150 |
0,949 |
7,6 |
0,127 |
0,903 |
0,046 |
2116 |
68 |
3 |
1,050 |
0,999 |
2,7 |
0,045 |
0,948 |
0,051 |
2601 |
|
60 |
0,999 |
|
56,8 |
|
|
|
6200 |
Для n = 60 .
Расчёт поместим в таблицу 13.7, в которую также внесём сделанные ранее вычисления теоретических частотnit нормального распределения.
Сравнение фактического и предельногозначенийдаёт:Следовательно, с надёжностьюр = 0,95. можно полагать, что данная выборка подчиняется закону нормального распределения.