Постановка задачи.
Найти
сумму ряда
,
где
–
целые числа.
План решения задачи.
Суммой
ряда
называется
предел последовательности его частичных
сумм
,
т.е.
где
.
1.
По условию задачи
.Если
корни знаменателя отличаются на целое
число, т.е.
,
где
k –
натуральное число, то члены последовательности
частичных сумм ряда
легко
найти, т.к. в выражении
многие
слагаемые взаимно уничтожаются.
2.
Раскладываем общий член ряда на
элементарные дроби:
3.
Находим n-ю
частичную сумму ряда:
,сократив
соответствующие слагаемые.
4.
Вычисляем сумму ряда по формуле
.
Замечание 1.
Если коэффициент
при
не
равен единице, но равен квадрату целого
числа, то все выполняется аналогично.
Замечание 2.
Если суммирование ряда начинается не
с 1, а с некоторого номера m,
то n-я
частичная сумма ряда будет
.
Задачи с 11.1.1 – 11.1.20. Найти сумму ряда.
|
11.1.1
|
11.1.11
|
|
11.1.2
|
11.1.12
|
|
11.1.3 |
11.1.13
|
|
11.1.4
|
11.1.14
|
|
11.1.5
|
11.1.15
|
|
11.1.6
|
11.1.16
|
|
11.1.7
|
11.1.17
|
|
11.1.8
|
11.1.18
|
|
11.1.9
|
11.1.19 |
|
11.1.10
|
11.1.20
|
Постановка задач.
Исследовать
сходимость ряда с неотрицательными
членами
,
где
и
–
функции с известными наименьшими и
наибольшими значениями, причем функция
монотонно
зависит от
План решения задач.
1. Проверяем, что
,
т.к. если
,
то ряд расходится, т.к. не выполнено
необходимое условие сходимости ряда.
2. Поскольку
,
то можно применитьпервую теорему
сравнения:
Пусть даны два
ряда с неотрицательными членами
и
.Если
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
Если
,
то из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, необходимо установить справедливость одной из двух гипотез:
1) Исходный ряд
сходится.
2) Исходный ряд
расходится.
3.1.Проверяем первую
гипотезу. Чтобы установить, что исходный
ряд
сходится,
нужно найти сходящийся ряд
такой, что
.
В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов:
а) сходящийся
гармонический ряд
при
(С–
константа);
б) сходящийся
геометрический ряд
при
(С–
константа).
Если существует
сходящийся ряд
такой,
что выполняется неравенство
,
то по первой теореме сравнения исходный
ряд
сходится.
В противном случае проверяем вторую
гипотезу.
3.2. Проверяем
вторую гипотезу. Чтобы установить, что
исходный ряд
расходится,
нужно найти расходящийся ряд
такой,
что
.
В качестве
эталонного ряда
используем
одни из следующих рядов:
а) расходящийся
гармонический ряд
при
(С–
константа);
б) расходящийся
геометрический ряд
при
(С
– константа).
Если существует
расходящийся ряд
такой,
что выполняется неравенство
,
то по первой теореме сравнения исходный
ряд
расходится.
Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства:
и
т.п.
Задачи 11.2.1-11.2.20. Исследовать на сходимость ряд.
11.2.1.
11.2.2.
11.2.3.
11.2.4.
11.2.5.
11.2.6.
11.2.7.
11.2.8.
11.2.9.
11.2.10.
11.2.11.
11.2.12.
11.2.13.
11.2.14.
11.2.15.
11.2.16.
11.2.17.
11.2.18.
11.2.19.
11.2.20.
Задачи 11.3.1-11.3.20. Исследовать на сходимость ряд.
11.3.1
11.3.2
11.3.3
11.3.11
11.3.12
11.4.13
11.3.4
11.3.5
11.3.6
11.3.7
11.3.8
11.3.9
11.3.10
11.3.14
11.3.15
11.3.16
11.3.17
11.3.18
11.3.19
11.3.20
