- •Общие методические указания
- •Консультации
- •Литература
- •1. Элементы линейной алгебры
- •Задачи контрольной работы
- •2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •4.Пределы последовательностей и функций. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •6. Исследование функций Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Определенный интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи контрольной работы
- •9. Функции нескольких переменных Частные производные Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Экстремум функции нескольких переменных Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •10. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Программные вопросы.
- •Решение типовых примеров.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задачи контрольной работы
- •Числовые и функциональныеряды Программные вопросы.
- •Постановка задачи.
- •План решения задачи.
- •Постановка задач.
- •План решения задач.
- •Постановка задачи 4.
- •План решения задачи 4.
- •Постановка задачи 5.
- •План решения задачи 5.
- •Постановка задачи 6.
- •План решения задачи 6.
- •Постановка задачи 7.
- •План решения задачи 7.
- •1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, ,используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
- •Постановка задачи 8.
- •План решения задачи 8.
- •Постановка задач 9-11.
- •План решения задач 9-11.
- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
14. Математическое программирование Линейное программирование Программные вопросы
1. Основная задача линейного программирования. Теорема об оптимальном плане.
2. Графический метод решения задач линейного программирования.
3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования в канонической форме.
Решение типового примера
Пример 14.1.Требуется решить задачу линейного программирования графическим методом:
Решение. Построим сначала область допустимых решений, которая представляет собой множество решений системы линейных ограничений.
Графически решение каждого неравенства есть одна из полуплоскостей, на которые прямая линия ax +by =c делит координатную плоскость. Решением системы неравенств будет выпуклый многоугольник, представляющий собой пересечение полуплоскостей – решений каждого неравенства.
Пронумеруем каждое неравенство и решим его (см. рис.1.1)
1.
Построим прямую , для чего найдём координаты двух её точек, например, (0; 2) и (2; 4). Чтобы выбрать полуплоскость-решение для данного неравенства, подставим в это неравенство координаты любой точки, не лежащей на построенной прямой, например точки с координатами (0; 0). Получаем 0 – 0 +20. Это верное неравенство. Следовательно, полуплоскость, содержащая эту точку, будет являться решением неравенства 1. Стрелками отметим решение.
Аналогично строим решения каждого неравенства.
2.
Строим прямую , проходящую через точки с координатами (0;-3) и (2;0). Решением неравенства является полуплоскость, содержащая начало координат (0,0), так как: 3∙0 –2∙ 0 – 60 - верное неравенство.
3.
Строим прямую , проходящую через точки с координатами (0;2) и (1;0). Затем в неравенство подставляем координаты точки (0;0): 2∙0 + 0 – 20. Так как это неравенство неверное, то решением является полуплоскость, не содержащая точку с координатами (0;0).
4.
Прямая, определяемая уравнением проходит через точку (0;3) параллельно оси абсцисс. Полуплоскость, лежащая ниже этой прямой и есть решение данного неравенства.
Два последних неравенства определяют первый квадрант координатной плоскости.
На рис. 14.1 многоугольник ABCDE представляет собой область допустимых решений задачи линейного программирования.
Рис. 14. 1. Решение задачи линейного программирования.
Для нахождения оптимального решения построим вектор (3;2), координаты которого равны коэффициентам при переменных в целевой функцииL. Этот вектор является нормальным вектором для линий уровня L=const, а также одну из линий уровня, например, . Так, как задача на отыскание максимального значения целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой, то есть такой линии уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей. Эта прямая проходит через точку С пересечения прямыхи, для определения координат точки С решим систему уравнений, получаем С(4;3) в этой точке целевая функция достигает максимума.
Ответ: при Х*= (4;3).