3 .Элементы аналитической геометрии на плоскости
1. Метод координат. Виды уравнений прямой на плоскости.
2. Взаимное расположение 2 – х прямых на плоскости. Угол между 2 – мя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2 – х прямых на плоскости.
3. Кривые 2 – го порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола.
Решение типового примера
Пример 3.1.
Даны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3), B(16; - 6), C(20; 16). Найти
длину стороны АВ:
Расстояние d между двумя точками M1(x1; у1 ) и M2(x2; y2) на плоскости определяется формулой
(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:
Уравнение
(2)
является уравнением прямой, проходящей через две точки
М1 (x1; y 1) и M 2(x2 ; у2)
Подставляя в (2) координаты точек A и B, получим уравнение прямой АВ:
;
;
4y-12=-3x+12;
или 3x+4y
-24=0 (АВ).
Уравнение
y = kx + b
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k — угловой коэффициент, b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Если
прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0,
то
её угловой коэффициент определяется
по формуле k
=
Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
4y
=-3x+24,
или y
= - 
x+6,
откуда k
АВ
=
Аналогичным
образом, подставляя координаты точек
B
и C
в (2), находим уравнение прямой BC:
11x-
2y
-188=0 (ВС)
откуда k
ВС
=
угол B:
Если известны угловые коэффициенты двух прямых k1 и k2, то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и BC, угловые коэффициенты которых известны из предыдущего пункта. Применяя (3), получим
=
2.
уравнение медианы АЕ:
Определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка BC по формулам координат середины данного отрезка:
,
(4)
Имеем
для точки Е:
,
Таким
образом,Е(18;
5).
Подставляя в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы АЕ:
;
;
x-7y
+17=0 (АЕ).
уравнение и длину высоты СД:
Уравнение
у — y0 = k(x—х0) (5)
является уравнением прямой, которая проходит через точку М0 (х0 ; у0) и имеет угловой коэффициент k.
Высота СД перпендикулярна стороне АВ. Воспользуемся условием перпендикулярности 2 – х прямых на плоскости. Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
k1k2=
—1 или k2=
—
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Отсюда
kCD=
—
=
Подставив в (5) координаты точки С и kCD получим уравнение высоты СD:
у —
16
= 
(x—20);
4x-3y
-32=0 (СD).
Для нахождения длины высоты СD определим координаты точки D как точки пересечения прямых АВ и СD, решив совместно систему уравнений, их задающих:
Откуда x = 8, y = 0, т.е. D (8; 0).
уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;
Уравнение окружности с центром в точке О(а; b) радиуса R имеет вид:
(x-a)2+(y-b)2=R2 (6)
Если СD есть диаметр, то центр окружности – точка О – есть середина СD . Используя формулы (4) имеем для О:
,
,
Таким образом, О(14; 8).
Если СD есть диаметр, то радиус окружности – есть отрезок СО . Используя (1) найдем радиус:
R=
Тогда, (x-14)2+(y-8)2=80 – уравнение искомой окружности.
уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне
АВ, и точку K ее пересечения с высотой СD:
Т.к. заданная прямая параллельна стороне АВ, то можем использовать условие параллельности 2 – х прямых на плоскости: Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов
k1 =k2,
т.е. k = kAB = -3/4. Знаем, что прямая проходит через точку Е с заданным угловым коэффициентом. Можем использовать уравнение (5):
у — 5 = -3/4(x—18); 4у — 20 = -3(x—18); 3x +4у - 2 = 0. (EL)
Точку K пересечения EL с высотой СD найдем, решив совместно систему уравнений, задающих эти прямые:
Откуда, x = 8, y = -88/25, т.е. K (8; -88/25).
систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Используя неравенство треугольника (сумма двух любых сторон треугольника меньше третьей его стороны), получаем систему:
Из п. 2 известны 3x+4y -24=0 (АВ), 11x- 2y -188=0 (ВС). Запишем уравнение АС, используя (2):
;
;
13(x-4)=16(y-3);
13x-16y-4=0
(АС).
Тогда, система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС примет вид:
Или
