Определенный интеграл.

Связь определенного и неопределенного интегралов задается формулой Ньютона – Лейбница:

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен приращению первообразной функции F(x) на отрезке [a, b].

Формула Ньютона – Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл, используя методы вычисления неопределенного интеграла, рассмотренные в предыдущей главе.

Пример 8.8. Вычислить интеграл

Решение. Используя свойства определенного интеграла и формулу Ньютона – Лейбница, получим:

Пример 8.9. Вычислить интеграл

Решение. Полагая имеемНайдем новые пределы интегрирования:

Имеем:

Пример 8.10. Вычислить интеграл

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, для определенного интеграла

найдем:

= =

=

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площади в декартовых координатах

Если функция непрерывна на [a, b] и положительна, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией , двумя прямымиии отрезком [a, b] оси абсцисс, вычисляется по формуле

если на отрезке [a, b], то,

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными функциями ии двумя прямымии, гдена отрезке [a, b], находится по формуле:

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла осуществляется в следующим порядке:

1) делается рисунок фигуры, площадь которой необходимо найти;

2) находятся пределы интегрирования;

3) подбирается нужная формула;

4) вычисляется значение площади.

Пример 8.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой прямымии осью абсцисс.

Решение. Построим криволинейную трапецию

Пределы интегрирования:

Площадь вычисляем по формуле

Получаем

(кв. ед.).

Пример 8.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой осями координат и прямой

Решение. На рисунке 2. изображена фигура, площадь которой надо найти.

Функция на отрезке [0, 2] меняет знак. Следовательно, промежуток интегрирования [0, 2] необходимо разбить на два промежутка:и . Получим:

(кв. ед).

Пример 8.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение. Сделаем рисунок плоской фигуры, заключенной между параболой и прямой (рисунок 3).

Найдем пределы интегрирования, для этого решим систему уравнений и получим

Следовательно, пределы интегрирования:

Вычислим площадь:

(кв. ед.).

Вычисление объема тел вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой осью абсцисс и двумя прямымиинаходится по формуле

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой осью ординат и двумя прямымиинаходится по формуле

Пример 8.14 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью вращения параболы вокруг осиОх и плоскостью

Решение. Найдем V_x согласно приведенной выше формуле:

(куб. ед.).

Пример 8.15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривой и отрезкомоси ординат.

Решение. Записав уравнение данной кривой в виде и используя формулу вычисления объема, получим

(куб. ед.).

Вычисление длины дуги кривой в прямоугольных координатах

Если производная функцииявляется непрерывной функцией на отрезке [a, b], то длина дуги кривой , заключенная между точками с абсциссамии, находится по формуле

Пример 8.16. Найти длину дуги цепной линии между прямымии

Решение. Найдем производную функции :

и вычислим длину дуги кривой:

Вычисление площади поверхности тела вращения

Если производная функцииявляется непрерывной функцией, то криваяназывается гладкой кривой. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг осиОх дуги гладкой кривой между точками с абсциссамии, вычисляется по формуле

Пример 17. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ох дуги кубической параболы при

Решение. Используем приведенную выше формулу для вычисления площади:

Вычислим этот интеграл методом подстановки. Обозначим тогдаПересчитаем пределы интегрирования: приприПолучаем

(кв.ед.).