Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5440 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
13.24 Mб
Скачать
☆
Рис. 16.20. Вольт-амперна характеристика тунельно-резонансного діода

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

228

рівень енергії заповнених станів, резонансне тунелювання відсутнє, а тунелювання через два бар'єри спричиняє дуже незначний струм (область а на рис. 16.19). За збільшення зміщення рівень усередині ями попадає до смуги енергій заповнених станів, і резонансне тунелювання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eV3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eV2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eV1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eV4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а б в г

Рис. 16.19. Енергетичні діаграми, що пояснюють формування струму у резонансно-тунельному діоді

дає значний струм, що підвищується зі зростанням зміщення (область б на рисунку). Подальше зростання зміщення до величини, за якого рівень усередині ями розташовується нижче дна зони провідності лівого берега приладу, струм різко зменшується (в) і знову визначається тунелюванням через обидва бар'єри, але за досить великого потенціалу зміщення (рис. 16.19 г). У результаті дістаємо нелінійну вольт-амперну характеристику (рис. 16.20), що має одну (або кілька, якщо в області між бар'єрами формується кілька енергетичних "рівнів") N-подібну область. Праворуч від максимуму на кривій I(V) спостерігається ділянка від'є- мної диференціальної провідності. Завдяки цьому в електронних схемах тунельний діод може використовуватись не тільки для випрямлення струму, а й виконувати різноманітні функції. Оскільки вольт-амперна характеристика тунельного діода має N-подібний ви-

I

 

 

 

 

гляд, то його, зокрема можна вико-

 

 

 

 

 

 

ристовувати як генератор. Якщо ж до

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центральної області резонансного ді-

 

 

 

 

 

 

оду підвести контакт, через який

 

 

 

 

 

 

можна керувати положенням енерге-

 

 

 

 

 

 

тичного рівня, то отримаємо новий

 

 

 

 

 

 

прилад –

тунельний резонансний

 

 

 

 

 

V

транзистор.

Резонансний тунельний

 

 

 

 

 

 

а

б

в

г

діод являє

собою перший приклад

реального пристрою, що виконаний на основі структур із квантовими ямами

229

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

та бар'єрами, який базується на ефекті просторового квантування. Ідею такого діоду було вперше запропоновано Йогансеном в 1963 р. А в 1974 р. Єсакі та Чанг створили діючій прилад.

16.7. Зв'язані квантові ями. Надґратки

Розглянемо електронні властивості структури, яка містить деяку кількість квантових ям, утворених тонкими шарами напівпровідника (напр., GaAs), що розділені шаром діелектрика або напівпровідника з великою забороненою зоною (напр., AlGaAs). Такі структури мають незвичайні властивості, що можуть бути цікавими не тільки з погляду фундаментальної науки, але й як систем, на основі яких будується велика кількість електронних та оптичних приладів. На рис. 16.21 схематично подано таку гетероструктуру, що містить почережні шари GaAs-AlGaAs. Такі структури називають надгратками.

Розташування країв енергетичних

зон при утворенні гетеропереходів обговорювалось в розд. 14, зокрема ми розглядали утворення гетерограниць різних типів. Згідно із типами гетерограниць утворюються й структури надґраток. Наприклад, якщо надґратка формується із напівпровідників, що утворюють гетероперехід першого типу, то виникає надґратка першого типу, де мінімум зони про-

відностіEC1 і максимум валентної зо-

AlGaAs GaAs

Рис. 16.21. Почережні квантові ями, розділені тонкими шарами діелектрика, які утворюють надґратку

 

 

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

 

 

 

 

230

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ни EV1 одного напівпро-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відника за енергією роз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆EC

 

 

 

 

 

ташовуються

всередині

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eg1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eg2

забороненої зони

іншого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 16.22). У надґратках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆EV

 

 

 

 

такого типу виникає пе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ріодична

система кван-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

тових ям для носіїв у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

першому

напівпровідни-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ку, які відділені одна від

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одної бар'єрами, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eg2

утворюються

в

іншому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

g1

 

 

 

∆EC,V

напівпровіднику.

 

При

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цьому

для

електронів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

глибина

квантової

ями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

визначається

різницею

 

 

Рис. 16.22. Розташування країв енергетичних зон

∆EC між мінімумами зон

 

 

у гетеропереходах (ліворуч) і надґратках (праворуч)

провідності.

А

глибина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при утворенні надґраток:

квантових ям для дірок –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а –першого роду; б – другого роду

різницею між стелями ва-

 

 

лентної зони ∆EV напівпровідників, що утворюють надґратку.

Ши-

роко розповсюдженою системою, що утворює надґратку першого типу, є AlxGa1–xAs-GaAs. У надґратках другого типу мінімум зони провідності одного напівпровідника розташований у забороненій зоні другого, а максимум валентної зони другого – у забороненій зоні першого. Таким чином, енергетична діаграма надґратки другого типу має східчастий хід зон (рис. 16.22 б). У таких надґратках модуляція країв зони провідності та валентної зони має один знак, що означає: просторово енергетичній ямі електрона відповідає бар'єр для дірки. Прикладом надґратки із такою енергетичною структурою є система

InxGa1–x AS-GaSbyAs1–у.

До надґраток другого типу часто зараховуючть і надґратки, утворені матеріалами із гетеропереходами третього типу, де мінімум зони провідності одного напівпровідника за енергією розташовується нижче, ніж максимум валентної зони другого напівпровідника. Такі надґратки часто називають надґратками другого типу із забороненими зонами, що не перекриваються. Прикладом такої надґратки є система

InAs-GaSb.

Інший метод отримання надґраток – застосування технології пошарового легування. У легованих надґратках використовується один напівпровідник, а періодичний потенціал утворюють чергуванням

231

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

шарів n- та p-типів одного й того самого напівпровідника. Іноді такі леговані шари відділяють один від одного тонким шаром діелектрика. Незалежно від способу утворення надґратки вона характеризується загальними рисами, головною з яких є наявність у структурі періодичного потенціалу, параметри якого можна задати наперед. Оскільки наявність потенціалу надґратки істотно змінює зонну енергетичну структуру висхідних напівпровідників, то, таким, чином, надгратка за сутністю являє собою новий тип напівпровідникового матеріалу, часто із характеристиками, аналогічних яким у природі не існує. Напівпровідникові надґратки характеризуються особливими властивостями, що зумовлюють їх широке практичне застосування. Наприклад, у них спостерігається:

істотна зміна порівняно із висхідними матеріалами енергетичного спектру;

наявність великої кількості енергетичних зон;

значна анізотропія;

пригнічення процесів електрон-діркової рекомбінації;

концентрація носіїв може контрольовано змінюватись у широкому діапазоні значень, і не визначається легуванням;

широкі можливості перебудови зонної структури.

Для детальнішого розгляду властивостей таких структур спочатку розглянемо ефекти взаємодії електронних станів у двох квантових ямах. Коли ми розглядали одиничні квантові ями, то з'ясували, що електронна хвильова функція є відмінною від нуля в області бар'єра. Відповідно й електрон має ненульову ймовірність проникнення до підбар'єрної області. Цей ефект можна продемонструвати шляхом обчислення ймовірності перебування електрона у бар'єрному шарі гетероструктури, а саме

Pb = ∫ dz

 

χ(z)

 

2 .

(16.100)

 

 

 

 

 

z

>L /2

 

Цю ймовірність можна обчислити чисельно. Результат такого обчислення подано на рис. 16.23. Він є однією з основних відмінностей квантової поведінки частинки у тонкій плівці від класичного випадку. Таке тунелювання електрона до підбар'єрної області є основою для взаємодії двох і більше квантових ям і утворення так званих надґраток.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

232

100

Pb (%)

 

 

 

 

 

10

 

 

 

1

 

 

 

10–1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

0

10

20

30 L, нм

Рис. 16.23. Залежність ймовірності знаходження електрона у підбар'єрній області

 

від товщини квантової ями L.

Електрон перебуває в основному енергетичному стані.

Криві: 1 – Vb = 224 меВ, m* = 0.067me ; 2 –

Vb = 150 меВ, m* = 0.4me

16.7.1. Дві зв'язані квантові ями

.

Розглянемо систему, що містить дві квантові ями, розділені бар'єром. Для спрощення обчислень вважатимемо що це – ідентичні прямокутні

квантові ями з однаковою глибиною потенціалів Vb і шириною L. Нехай відстань між ямами дорівнює d, і ями розташовані симетрично щодо площини z = 0 (рис. 16.24). Розглянемо рух електрона у такій стру-

 

E

E, χ

Vb

L

 

 

d

z

 

 

εi− εi+

z

Рис. 16.24. Енергетичні рівні та хвильові функції для двоямної гетеросруктури.

Штрихова лінія відповідає рівню енергії εi в одиничній квантовій ямі.

Для зв'язаних ям цей рівень розщеплюється на два – εi±

ктурі вздовж вісі OZ. Рівняння Шредингера у такій подвійній ямі вздовж вісі OZ має простий вигляд

233

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

 

 

2

 

∂2

 

d

 

d

 

 

−

 

 

 

+V z +

 

 

+V z −

 

 

= χ(z).

2m * ∂z2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Доданок V (z + d /2) є потенціалом лівої ями із центром у точці z = V (z − d /2) відповідає правій ямі. При цьому потенціал

V

> 0,

всерединi бар' ру

V (z) =

b

0 ,

всерединi ями

 

 

(16.101)

– d/2.

(16.102)

Вважаючи, що електронні стани у такій системі є суперпозицією електронних станів одиничних невзаємодіючих ям, хвильову функцію електрона запишемо як суму за хвильовими функціями одноямних

станів χν(z)

χ(z) =

∑{

A χ

ν

(z − d /2) + B

χ

ν

(z + d /2)

(16.103)

 

ν

ν

 

},

ν

де ν нумерує всі зв'язані та незв'язані стани у випадку однієї ями. Якщо ж ями розділені досить великою відстанню, то тунелювання між станами у різних ямах є малоймовірним процесом. Тоді можна обмежитись розглядом тільки одного рівня, скажемо i-го, і хвильову функцію електрона можна записати у вигляді комбінації

χ(z) = Ai χi (z − d /2) + Bi χi (z + d /2) .

(16.104)

Ця функція відповідає енергії електрона, що наближено дорівнює енергії εi електрона в одиничній ямі. Оскільки відстань між ямами є досить великою, як перший крок можна вважати, що енергія електрона просто двічі вироджена енергія εi . Іншими словами, електрон у

стані і може займати ліву або праву ями з ймовірністю одиниця. Для корекції енергії і знаходження коефіцієнтів Аі та Ві скористаємося процедурою, що базується на теорії збурень для вироджених станів, а

також тим, що εi – енергія електрона одиничної ями.

 

 

 

2

 

∂

2

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

+V (z − d /2)

χi (z − d /2)

= εi χi (z − d /2),

(16.105)

2m* ∂z2

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

∂

2

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

+V (z + d /2)

χi (z + d /2)

= εi χi (z + d /2) .

(16.106)

2m* ∂z2

 

 

 

 

 

 

 

 

Підставимо функцію (16.104) до (16.101) і скористаємось рівняннями (16.105) та (16.106). Отримаємо таке рівняння

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

234

[εi

+V (z + d /2)− ]Ai χi (z − d /2) + [εi +V (z − d /2)− ]Bi χi (z + d /2) = 0 .

(16.107)

 

Помножимо (16.107)

спочатку на

χ* (z − d /2) а потім – на χ* (z + d /2) .

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

Обидва тримані рівняння проінтегруємо за z.

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εi + ∫

−∞∫ dzχi (z − d /2)V (z + d

/2)χi (z − d /2)− Ai +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (εi − )∫dzχi* (z − d /2)χi (z + d /2)+

 

 

та

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ∫ dzχi (z −d /2)V (z − d /2)χi (z + d /2) Bi = 0

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ε − ) ∞ dzχ* (z + d /2)χ (z − d /2) +

∞ dzχ* (z

+ d /2)V (z + d /2)χ (z − d

/2) A

+

i

∫

i

 

i

 

∫

i

 

 

 

 

i

i

 

 

−∞

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

(ε − +

∞ dzχ* (z + d /2)V (z − d /2)χ (z

+ d /2) B

i

= 0

 

 

 

 

 

i

∫

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введемо позначення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫dzχi* (z − d /2)χi (z + d /2) = ∫dzχi* (z + d /2)χi (z − d /2) = ri

(16.108)

 

 

 

 

 

∫dzχi* (z ± d /2)V (z d /2)χi (z ± d /2) = si

 

(16.109)

 

 

 

 

 

∫dzχi* (z − d /2)V (z − d /2)χi (z + d /2) =

 

 

(16.110)

 

 

 

 

 

= ∫dzχi* (z + d /2)V (z + d /2)χi (z − d /2) = ti

 

 

 

 

 

 

 

та отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів

 

Ai, Bi

 

 

[εi + si − ]Ai + [(εi − )ri

+ ti ]Bi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 ,

 

 

(16.111)

 

 

 

 

 

[(εi − )ri + ti ]Ai + [(εi − +si ]Bi

= 0 .

 

 

(16.112)

 

Для існування нетривіальних розв'язків системи рівнянь (16.111)–(16.112)

 

необхідно занулити детермінант цієї системи, тобто виконати умову

 

 

 

 

 

(ε

+ s − )2 − [(ε − )r

+ t

]2 = 0 .

 

 

(16.113)

 

 

 

 

 

i

i

i

i

i

 

 

 

 

 

 

Звідси маємо

235 Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

(εi + si − ) = ±[(εi − )ri + ti ],

(16.114)

тобто у системі двох зв'язаних квантових ям виникає зсув і розщеплення висхідного енергетичного рівня на два

±

= ε

i

+

 

 

si

±

 

 

ti

.

(16.115)

 

 

 

 

 

 

(i )

 

 

1

± r

 

1

± r

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

Таким чином, система енергетичних рівнів двоямної гетероструктури визначається набором інтегралів (16.108)–(16.110), причому перший із них (ri ) називається інтегралом перекривання та визначає міру перекривання хвильових функцій ям, другий (si) – називається інтегралом зсуву та характеризує зсув виродженого енергетичного рівня за рахунок взаємодії станів у різних ямах, третій (ti) показує міру розщеплення зсунутої лінії. Якщо бар'єрна область (відстань між ямами) є досить великою, то хвильові функції ям перекриваються слабко. Це означає, що інтеграл перекривання є малим і ним можна знехтувати у виразі для енергії (16.115), тобто можна записати, що

(±i ) εi + si ± ti .

(16.116)

Оскільки значення інтегралів si та ti зазвичай є негативними, то бачимо, що початковий енергетичний рівень зсувається у бік нижчих енергій, а потім розщеплюється (рис. 16.25). При цьому нижньому рівню

( (+i ) ) відповідає симетрична

хвильова функція (Аі = Ві ), яку подано синім кольором. Стан

 

εi (2)

εi + si − ti

(1)

 

 

 

εi + si (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εi + si + ti

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 16.25. Діаграма модифікації енергетичних рівнів двох квантових ям за їх взаємодії.

У дужках показано число станів із такою енергією

із верхнім рівнем енергії ( (−i ) ) описано несиметричною хвильовою

функцією (Аі = –Ві), яку схематично подано на рисунку зеленим кольором. Таким чином, тунельна взаємодія станів із двох квантових ям спричиняє істотну деформацію енергетичної структури висхідних електронних станів. Варто зазначити, що завдяки руху електронів у площині ями повну енергію електрона можна записати у вигляді

Ei(±)(k ) = (±i ) +

2

k2 ,

(16.117)

2m*

 

 

 

тобто у структурі, що містить дві квантові ями, зберігається специфічний характер руху електронів: у площині ями вони поводяться як вільні частинки з ефективною масою m*. Рух у поперечному напрямку

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

236

квантований і просторово обмежений областю ям. Із рис. 16.24 видно, що обидва (парний і непарний) стани є локалізованими на обох квантових ямах – і парна, і непарна хвильові функції мають екстремуми, що

означає максимуми квадратів модулів χ 2 .

16.7.2. Енергія електронів у надґратках

Як згадувалось раніше, інтерес викликають гетеросистеми, що містять кілька квантових, у зв'язку із чим актуальним є аналіз електронних властивостей таких структур. Аналіз властивостей системи гетеропереходів, що утворюють багатошарову структуру, досить складний і в загальному випадку може проводитись тільки чисельними методами, причому методи можуть бути успішними тільки для небагатьох моделей. Але існують прості моделі, які дозволяють отримати результати, що в основному пояснюють властивості надґраток, тобто особливості формування енергетичного спектру електронів і шляхи впливу на зонну структуру з метою формування заздалегідь заданих її характеристик. Однією із таких моделей є модель Кроніга-Пенні. Розглянемо систему, що складається із неперервного набору квантових ям завширшки b, які розділені бар'єром шириною a. Потенціальна енергія

Vb (z) є періодичною функцією z із періодом d = a + b (рис. 16.26)

 

 

 

 

 

 

Vb (z) = ∑Vb (z − nd)

 

 

 

(16.118)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

де

 

 

 

0,

 

n(a + b)≤ z ≤ n(a + b)+ a

 

 

(16.119)

 

Vb (z) =

 

,

n(a + b)− b ≤ z ≤ n(a + b)

 

 

 

 

 

 

Vb

 

 

 

 

Е

 

 

 

 

 

 

Ця

модель

добре

 

описує

 

 

 

 

 

 

 

 

гетеротструктуру

-

над-

 

 

 

 

 

 

 

 

гратку першого типу (див.

 

a

 

b

 

 

 

 

рис. 16.22). Детально

 

модель

 

 

 

 

 

 

Кроніга-Пенні було розгля-

 

Vb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

нуто у розд. 3. У результаті

 

 

 

 

 

 

 

було

отримано, що

закон

 

Рис. 16.26. Схематичне представлення

дисперсії електронів у такій

 

моделі визначається умо-

 

потенціальної енергії надґратки

 

вою

 

 

 

 

 

із періодом d = a + b

 

cos(qd) = F( ),

 

 

 

 

 

 

(16.120)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

ξ = k

w

/k

, k

w

= 2m* / 2 , k =

2m*(V − )/ 2

,

 

 

 

b

 

 

 

b

b

 

 

 

237 Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

F( ) = cos(kwa)ch(kbb)−

1 (−ξ +1/ξ)sin(kwa)sh(kbb).

(16.121)

 

 

2

 

 

 

 

У цих формулах енергія руху електронів у площині ями

 

 

2k2

 

2k2

 

=Vb +

 

b

=

w

.

(16.122)

2m*

 

 

 

2m*

 

У граничному випадку необмежено товстого бар'єру права частина (16.120) розходиться як exp(kbb), якщо коефіцієнт перед цією експонентою не є нулем, тобто якщо не виконується умова

cos(kwa)−

1

(−ξ +1/ξ)sin(kwa) = 0.

(16.123)

 

2

 

 

Це рівняння збігається із рівнянням зв'язаних станів ізольованої квантової ями. Дійсно, як було показано раніше ( (16.34) і (16.35)), закон дисперсії в ізольованій квантовій ямі парного та непарного розв'язків має вигляд

парний розв'язок:

непарний розв'язок:

Сума цих рівнянь дає

tg(kwa) = kb

→

 

ctg(kwa) = kw

(16.124)

 

kw

 

 

 

 

kb

 

ctg(kwa) = − kb .

 

 

 

(16.125)

 

 

kw

 

 

 

 

 

ctg(kwa) =

1

 

 

 

 

 

, що збігається із (16.123).

kw

− kb

 

2

 

k

 

k

w

 

 

 

 

b

 

 

 

 

Таким чином, підзони надґратки за енергій електронів, менших від висоти потенциала бар'єра Vb з'являються як гібридизація зв'язаних станів ізольованих квантових ям завдяки тунельному зв'язку через бар'єр. Коли бар'єри є широкими (і/або високими), але кінцевими, добуток kbb є великим і підзони – вузькі. Ширина підзон пропорційна

інтегралу передачі та швидко (експоненційно) зменшується зі зростанням b за фіксованого kb. Функція F( ) у правій частині (16.120)

значно змінюється зі зміною , та енергетичний сегмент, де F( ) <1 є

вузьким. Для отримання наближених, але зручних виразів для дисперсійних співвідношень позначимо через 1, 2, ..., n зв'язані стани

ізольованої квантової ями. Розкладемо F( ) поблизу деякої енергії s , скажімо j у першому порядку за − j та отримаємо дисперсійні співвідношення для j-ї підзони

j (q) = j +sj + 2tj cos(qd),

(16.126)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности