OFP-Tretyak-Lozovski

методі молекулярно-променевої епітаксії) може бути доведений до моноатомного. Найпростішим прикладом гетероструктури є два напівпровідникових матеріали з однією межею розподілу (гетероконтактом). Відомими прикладами гетероструктур можна назвати SiO2/Si – гетероз'єднання з дуже малою щільністю дефектів на інтерфейсі. Можна вказати, наприклад на такі широкоуживані пари III-V-напівпровідників, що утворюють промислові гетероструктури

GaAs/AlGaAs; GaInAs/InP; GaInAs/AlInAs; GaSb/AlSb; GaN/AlN.

Іншим прикладом гетероструктур є структури сполуки II-VI CdZnSe/ZnSe; ZnSTeSe/ZnSSe.

Головною метою при отриманні гетероструктур є контрольована модифікація енергетичних зон носіїв у них. Інакше кажучи, гетероструктури можна розглядати як штучні речовини із наперед заданими властивостями. На рис. 16.7 подані зонні діаграми для деяких напівпровідникових гетероструктур. Рис. 16.7 а-б демонструють два типи гетероструктур з однією межею розподілу, рис. 16.7 в-г – різні типи гетероструктур із двома межами розподілу, а рис. 16.7 д-е – багатоінтерфейсні гетероструктури. Далі розглянемо ідеалізовану картину трьох типів квантових структур – квантові ями, дроти та точки.

16.7.Енергетичні діаграми різних гетеросруктур

16.4. Квантові ями

Квантова яма може утворитись, коли тонкий шар з одного матеріалу вирощується між двома іншими шарами із різних матеріалів, що характеризуються ширшою забороненою зоною, ніж матеріал центра-

льного шару (рис. 16.8). Розривність зон при цьому приводить до обмеженості руху (конфайнменту) носіїв усередині ями. Рух електрона тепер відбуватиметься у потенціалі. Для більшості випадків квантових ям такий потенціал можна вважати прямокутним. Розглянемо ідеалізований потенціал (рис. 16.8).

де Vb і L – глибина та ширина ями, відповідно. Оскільки потенціал залежить тільки від однієї змінної, можна застосувати метод змінних, що розділяються: рух електронів у площині XOY буде вільний, тоді хвильову функцію можна представити у вигляді

z

Рис. 16.8. Квантова яма як тонка плівка напівпровідника між товстих шарів матеріалу із широкою забороненою зоною та ідеалізована енергетична діаграма такої структури

Після підстановки цієї хвильової функції до рівняння Шредингера

Оскільки Е – повна енергія частинки, то буде енергією руху частинки у напрямку, нормальному до площини XOY, тобто поперечного руху. Таким чином, ми розділили змінні: поперечну (z) від площинних (x, y) і тим самим звели проблему до одновимірної

16.4.1. Зв'язані стани електронів

Згідно із загальними властивостями рівняння Шредингера можна очікувати наявності двох типів його розв'язків: при < Vb електрони будуть зв'язані в ямі, а при > Vb рух електрона буде необмежений, а стани незв'язані. Існування ненульового розв'язку (16.34) за умови < Vb можливе лише, якщо енергія електрона набуватиме дискретних значень, тобто виконуються дисперсійні співвідношення. Оскільки рухи вздовж осі OZ та у протилежному напрямку є еквівалентними, то хвильова функція може мати вигляд як парних, так і непарних ро з- в'язків. При цьому умови існування парного розв'язку мають вигляд

(див. додаток Н)

Легко показати (див. додаток Н), що у будь-якій ямі завжди існує хоча б один енергетичний рівень

Якщо висота потенціального бар'єру достатня, то в ямі може формуватися другий енергетичний рівень з енергією, що майже дорівнює Vb

Загалом при <Vb у потенціальній ямі може формуватись кількість рівнів, що визначається формулою

Таким чином, варіюючи параметри квантової ями – підбираючи компоненти структури із певною шириною забороненої зони і задаючи

де n – квантована енергія, пов'язана з поперечним обмеженням руху

електрона. Таким чином, електронні стани у цьому випадку описуються двома квантовими числами – дискретним номером підзони n і

неперервним значенням хвильового числа k , що відповідає вільному

руху у площині ями. Графічно закон дисперсії електрона у квантовій ямі матиме вигляд вкладених один в один параболоїдів обертання (рис. 16.10). При цьому мінімальне значення енергії відповідає найниж-

чому енергетичному рівню локалізованого в ямі стану при k = 0 . Отже

навіть при n =1 енергія електрона у квантовій ямі більша за енергію руху електрона в об'ємному зразку (у площині kz = 0 ).

Систему з електронним конфайнментом можна отримати на межі розподілу при утворенні гетерограниці за методом так званого модуляційного легування. Ще раз пояснимо коротко ідею методу на прикладі гетерограниці AlGaAs/GaAs. Якщо при утворення гетерограниці між AlGaAs, легованого кремнієм, і GaAs, слабко легованого акцепторною домішкою, області легування не зачіпають сусідній напівпровідник, то електрони, що перейшли із домішок до зони провідності AlGaAs, тепер перейдуть праворуч від межі розподілу та опиняться у "кишені" нижче рівня Фермі поблизу границі з боку арсеніду галію (рис. 16.2). Електрони будуть просторово розділені із домішками і сильно локалізованими у тонкому шарі поблизу гетерограниці, матимуть високу рухливість і характеризуватимуться майже двовимірним характером їхнього руху. Таким чином, ці електрони можуть розглядатися як квазідвовимірна система із всіма притаманними таким системам властивостями. Для неї можуть бути застосовані методи обчислення енергетичного спектру, при які йшлося вище. Зрозуміло, що тепер для побудови моделі необхідно використовувати інший, відмінний від прямокутного, потенціал. Як показує досвід, зручною моделлю потенціальної ями у цьому випадку служитиме трикутна потенціальна яма.

а– тривимірний вигляд вкладених параболоїдів обертання;

б– переріз дисперсіїних поверхонь для фіксованого напрямку квазіімпульсу

16.4.2.Квантові ефекти у неперервному спектрі. Поперечний транспорт

У попередньому підрозділі ми вивчали ефекти конфайнменту електронів в умовах, коли енергії не перевищували глибину потенційної ями. Розглянемо тепер поведінку квантової частинки, якщо її енергія перевищує висоту потенціального бар'єру й вона характеризується неперервним енергетичним спектром. Як і раніше, дослідимо прямо-

кутну квантову яму. Аналізуючи рівняння Шредингера при >Vb ,

можна зробити висновок, що для областей, далеких від квантової ями, розв'язком рівняння будуть дві плоскі хвилі, що розповсюджуються в протилежних напрямках. Перша хвиля відповідає розповсюдженню електрона зліва направо, тобто при z → –∞ маємо падаючу на потенціал та відбиту хвилю, а при z → ∞ – тільки хвилю, що пройшла потенціальний бар'єр. Інша ситуація відповідає протилежному напрямку руху електрона. Обидва рухи відповідають одному й тому самому значенню енергії. Оскільки рухи є еквівалентними, розглянемо тільки один, за якого електрон розповсюджується зліва направо. Введемо хвильовий вектор в області бар'єра як

При цьому зауважимо, що для значень енергії, більших за висоту бар'єру ( >Vb ), хвильовий вектор є реальним. Хвильова функція матиме вигляд

Константи a, b, r, t знайдемо з умови неперервності хвильової функції та її похідних на бар'єрі. Ця процедура майже такасаму, як у випадку

<Vb . Але існує суттєва розбіжність. У цьому випадку система із чо-

тирьох алгебраїчних рівнянь є неоднорідною, і для існування нетривіальних розв'язків не потребує виконання умови занулення детермінанту, що спричинило б обмеження припустимих значень енергії. У результаті дістанемо, що константи, які характеризують хвильову функцію руху із неперервною енергією, можна виразити у термінах амплітуди падаючої хвилі, яку ми вибрали рівною 1. Прирівнюючи значення хвильових функцій та їхніх похідних при z = – L/2 і z = L/2, отримаємо систему рівнянь

Додаючи до першого й другого рівнянь (16.45 ) третє та четверте, і віднімаючи від першого й другого третє й четверте, отримаємо систему, з якої виключені невідомі a та b

Віднімемо від другого рівняння цієї системи перше та отримаємо зв'язок між коефіцієнтами r і t

Підставимо співвідношення (16.47) до (16.46), дістанемо

Додамо до першого рівняння отриманої системи друге. У результаті знайдемо

і разом із (16.47) отримуємо набір коефіцієнтів, що визначають хвильову функцію електрона за межами потенціальної ями.

Для обчислення коефіцієнтів відбиття та проходження використаємо формулою потоку частинок

Для обчислення щільності потоку частинок, що падають на область ями за руху зліва направо, використовуємо хвильову функцію

Хвильова функція електронів, що відбиті потенціалом і рухаються із правої до лівої частини системи,

Підставляючи цей вираз до (16.50), отримуємо щільність потоку частинок, відбитих областю неоднорідності потенціалу

Аналогічно, застосовуючи хвильову функцію частинок, що пройшли бар'єрну область,

отримаємо щільність потоку частинок, що пройшли над бар'єрною областю

Ці формули ілюструють суто квантовий ефект при проходженні частинкою бар'єрної області з енергією, що перевищує висоту бар'єра.

По-перше, ми бачимо, що при >Vb коефіцієнт відбиття R є нену-

льовим. Це типовий квантовий ефект відбиття частинки потенційною ямою, що зникає у класичному наближенні. По-друге, знаменник у