Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 7243 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

109	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

Якщо розміри екситону суттєво перевищують сталу ґратки, то взаємодію електрона та дірки можна уявити як взаємодію двох точкових зарядів, що розташовані у деякому середовищі, яке характеризується діелектричною функцією ε. Для визначення екситонного стану припустимо, що rn та rp – радіус-вектори координат електрона

та дірки, що характеризуються ефективними масами mn* і m*p . Рівняння Шредингера електрон-діркової пари запишемо у вигляді

−V (

− r

ψ(r

) = E

ψ(r ,r

−

)

exc

(15.46)

2m*

де

VC (	rn	− rp	) =		e2
					e2
							(15.47)
				ε	rn	− rp

– енергія кулонівської взаємодії. Тепер зручно ввести радіус-вектор центру тяжіння електрон-діркової пари

	m* r	+ m*	r
R =	n n	p	p	,	(15.48)
R =	m*	+ m*		,	(15.48)
	m*	+ m*
	n	p
радіус-вектор відносного положення електрона та дірки
r = rn − rp ,					(15.49)

ефективну сумарну та зведену маси, відповідно

m* m*

M * = m*

+ m*

m* =

n p

+ m*

Тоді (15.46) зведеться до

−

−V

(

)

ψ(R,r) = E

exc

ψ(R,r)

2M *

2m*

Розв'язок його шукаємо у вигляді

(15.50)

(15.51)

ψ(R,r) = ei kexc Rϕ(r) ,

(15.52)

що означає: рух центру екситону відбувається як рух вільної частинки з ефективною масою M * і описується плоскою хвилею exp(ikexc R) із

хвилевим вектором екситону				kexc = kn + kp .					Хвилева	функція ϕ(r)
описує збуджені стани екситона та задовольняє рівнянню
		2
			2 −V			r		ϕ(r) = E′	ϕ(r),
					(		)			(15.53)
					(		)			(15.53)
	2m*		r	C				exc
		r

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

110

2k2

де Eexc′ = Eexc − 2Mexc* .

Власні значення (15.53) мають сенс енергії зв'язку екситону та являють собою воднеподібну серію

′	W	,	W =	e	4mr*	.	(15.54)
Eexc = −	n2			2 2ε2

Квантове число n ≥1 описує екститонні стани напівпровідника. Отже повна енергія екситона

Eexc =	2kexc2	+ W .	(15.55)
	2M *
		n2

Зауважимо, що вираз енергії зв'язку екситона формально збігається із виразом для енергії іонізації мілких донорів. Оскільки зведена маса електрон-діркової пари менша за ефективну масу електрона, то енергії зв'язку екситону буде меншою за енергію іонізації донора.

Для

визначення

особливостей

екситонного

n = ∞

поглинання світла приймемо за початок відліку

енергії дно зони провідності та вважатимемо, що

n = 2

йому відповідає початок неперервного спектру

n = 1

збудження екситону

(n = ∞). Тоді енергетична ді-

аграма екситонних збуджень матиме вигляд во-

днеподібного набору

рівнів (рис. 15.7). Оскільки

енергія основного стану екситону лежить нижче

дна зони провідності, то нижче краю власного

Рис

. 15.7. Діаграма

поглинання спостерігатиметься серія дискретних

енергетичних станів

рівнів

поглинання.

На рис. 15.8 подано такий

екситону

спектр поглинання для закису міді. Оскільки в та-

ких екситонах дипольні переходи забо-

ронені, то ліні ї спектру поглинання по-

n = 3

.од

чинаються зі значення квантового числа

Відн

n = 2. Інша ситуація виникає у випадку

n = 4

екситонного поглинання в арсеніді га-

α,

лію. Тут дозволений перехід із n = 1. Але,

n = 5

оскільки енергія основного стану екси-

тону дуже близько розташована від дна

n = 2

зони провідності, то зазвичай експери-

ментатори спостерігають один пік. Інші

лінії дискретного спектру часто зами-

57.1

57.3

57.5

λ, í ì

ваються та зливаються із краєм власного

Рис. 15.8. Спектр екситонного по-

поглинання.

глинання

у Cu2O3

при T = 4K

111	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

На рис. 15.9 подано спектри екситонного поглинання в GaAs за низьких температур. Підвищення температури спричиняє замивання екситонного рівня аж до повного зникнення піка екситонного поглинання. Видно, що за експериментального дослідження як екситонне, так і власне поглинання світла напівпровідниками виявляються на краю смуги поглинання одночасно. Це означає, що спектр поглинання, обчислений без урахування екситонного компонента, має бути модифікований: у випадку прямозонного напівпровідника (15.33) має бути доповнена доданком

∆αexc	=	2π(∆Eexc1	)1/2	( ω − Eg )−1/2			,	(15.56)
		− exp 2π(∆E1		)1/2( ω − E		)−1/2
	1				g
			exc

де ∆Eexc1 – енергетична відстань між стелею валентної зони та основним станом екситону.

	α, ×10−4 cм−1
1.0
0.8		294 K		186 K		90 K
		294 K		186 K		90 K
0.6						ω,	eV
						ω,	eV

1.42		1.44	1.46	1.48	1.50	1.52	1.54

Рис. 15.9. Екситонне поглинання в арсеніді галію

На рис. 15.10 подано спектри поглинання на краю смуги поглинання без урахування та із врахуванням екситонної компоненти. У непрямозонних напівпровідниках утворення екситонів супроводжується виникненням сходинки на краю власного поглинання, що зумовлюється випромінюванням і поглинанням фотонів. При цьому можливі переходи за участю кількох фононів, висилання та поглинання яких можливі у різноманітних комбінаціях. Це зумовлює виникнення кількох сходинок на спектрі поглинання. Насправді, завдяки температурному розмиттю ліній, замість сходинок у спектрах екситонного поглинання спостерігаються точки перегину (рис. 15.11).

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

112

	n = 1		2
.	n = 1		2
. од
,Віднα				1
				1
				ω − Eg


	0	5	10	15	20

Рис. 15.10. Спектри поглинання, обчислені для:

1 – прямих міжзонних переходів без урахування екситонних факторів;

2 – із врахуванням екситонних ефектів

Iexc

7	298 K
	298 K
			77 K
5


3		218 K 128 K

2.15

2.25

2.35

еВ

Рис. 15.11. Спектри екситонного поглинання світла у фосфіді галію.

Сходинки та точки перегину позначено стрілками

15.3.4. Поглинання вільними носіями заряду

Ще один механізм поглинання світла у напівпровідниках може бути зумовлений поглинанням фотону із переходом носіїв з одного стану до іншого в межах тієї самої зони (рис. 15.12). Такі внутрішньозонні переходи відбуваються із порушенням правил відбору. Дійсно, оскільки виконується закон збереження імпульсу, ці переходи відбуваються разом із поглинанням фонона або висиланням фонона або коли електрон додатково розсіюється на іонізованих домішках і тим самим компенсує дефіцит імпульсу при переході зі стану Е1 до стану Е2. Розглянемо детальніше процес поглинання фотона, що спричиняє внутрішньодолинні переходи із поглинанням чи висиланням фонону. Оскільки у процесі поглинання беруть участь три частинки – електрон, фотон і фонон, то варто розглядати квантово-механічну задачу у другому наближенні теорії збурень, де необхідно припускати наявність проміжних (віртуальних) станів k'' між початковим k і кінцевим k'

станами електрона. Перехід зі стану k до стану k' може відбуватись кількома шляхами:

спочатку система поглинає фотон з енергією ω, а потім поглинає чи висилає фонон з енергією ωq;

поглинанню фотона передує поглинання або висилання електро-

ном фонону.

113			Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ
			E
			E2 + ωq
E			E2
			E2 − ωq
E2
E1	ω		E1 + ωq
E1			E1
	k		E1
	k		E2 − ωq	k
				k
			q
	а		б
Рис. 15.12. Поглинання фотона із переходом вільного електрона зі стану E1				у стан E2
зони провідності, E2 − E1 = ω (a).		Зміна імпульсу носіїв заряду як наслідок зміни їх-
ньої енергії за внутрішньо-долинних переходів за рахунок поглинання світла
(k′ − k) = q (б)

Крім того, на відміну від класичного випадку, необхідно розглядати також процеси індукованого випромінювання фотонів. При цьому, як того вимагає закон збереження імпульсу, цей процес також відбувається із поглинанням або висиланням фонону. Ураховуючи ці процеси, у другому порядку теорії збурень ймовірність переходу електрону зі стану k до стану k' із поглинанням фотона можна записати у вигляді

	2	2
Wkk± ′ = 2π\|Pk k′′ \|\|Hk′′ k′ \|±			δ(E′ − E − ω ± ωq ),	(15.57)
	2ω2
де ω – енергія фотона,	що поглинається; P ′ ′′ – матричний елемент,
			k k	Hk′′ k′ – мат-
що описує процеси висилання або поглинання фонона;				Hk′′ k′ – мат-

ричний елемент, що описує процес поглинання фотона. Ймовірність переходу електрону зі стану k до стану k' з індукованим випромінюванням фотона має вигляд

		2	2
Wkk± ′ =	2π\|Pk k′′ \|\|Hk′′ k′ \|±			δ(E′ − E + ω ± ωq ).	(15.58)
Wkk± ′ =				δ(E′ − E + ω ± ωq ).	(15.58)
		2ω2

Оскільки взаємодія зонного електрона з полем світлової хвилі визначається оператором (див. (15.9–15.13))

He −phot = i	e	A ,	(15.59)

m*

то матричний елемент Hk′′ k , що визначений на блохівських функціях,

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

114

Hk′′k = −	eA	epk′′k .	(15.60)
	2m*

У цьому виразі через e позначено орт поляризації світла, через А – його амплітуду ( A = E0 /(−iω)(порівн. із (15.12)), а через

pk′′k = −i ∫uk* ′′ uk

(15.61)

– матричний елемент оператора імпульсу.

Тепер для обчислення коефіцієнта поглинання світла можна поступити таким чином. Нехай електрон переходить зі стану k до стану k', поглинаючи фотон, що рухається у середовищі, яке характеризується

діелектричною функцією ε. Швидкістю фотону при цьому є c /ε.

Число переходів в одиниці об'єму за одиницю часу, підсумоване за всіма кінцевими станам, є швидкістю переходів. Позначимо її як

I± /V , де знак плюс показує, що перехід відбувається із випромінюванням фонона, а мінус – із його поглинанням. Якщо число фотонів в об'ємі V дорівнює N, а потік фотонів – Nc /(εV ), то швидкість елект-

ронних переходів в одиниці об'єму за поглинання світла буде добутком потоку фотонів на коефіцієнт поглинання світла, тобто

I± = αN(c /

(15.62)

З іншого боку, електронна підсистема напівпровідника, поглинаючи світло, поглинає енергію, що характеризується потоком

S = ωNc /(

V ) .

(15.63)

Тоді маємо, що коефіцієнт поглинання визначається швидкістю електронних переходів і потоком енергії поглинутого світла

α =	I± ω
α =	SV .	(15.64)

Потік енергії (15.63) можна оцінити як модуль усередненого за часом вектора Пойтинга S = E × H. Для електромагнітного поля, що характеризується вектор-потенціалом (15.13), маємо електричну та магнітну

компоненти: H = A(e × q)sin(qr − ωt)

та E = ωAesin(qr − ωt),

відповідно.

Тоді для

середнього

за часом

вектора

Пойтинга

дістанемо

= (e(eq)− q)ωA2 /2. У

випадку поперечної

електромагнітної хвилі

= ω

Тоді

ε/ c.

S = |

= ω2A2

/(2c ).

15.65)

Підставляючи цей вираз до (15.64), маємо

115	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

α =	2сI±
α =	ωA2 εV .	(15.66)

Для визначення коефіцієнту поглинання згадаємо, що інтеграл зіткнень має сенс швидкості переходу електрона із поглинанням фотона. Його можна визначити стандартно

I± =	2V	∫dkdk′′ W	kk± ′′ f (k)(1 − f (k′′)).	(15.67)
	6
	(2π)

У цій формулі проводиться інтегрування за початковими станами електрона, оскільки ці стани залежать від стану фононів, на яких розсіявся електрон у процесі поглинання фотона. Нехай електрони напівпровідника визначається електронною температурою Те та є не-

виродженими. Тоді, вважаючи, що ймовірність знайдення електроном вільного стану, до якого б він міг потрапити після поглинання фотона, мало відрізняється від одиниці, (15.67) можна записати

	Ve2A2n		±	2	2	′		−(E kTe )
I± = 2(2π)5 ω2 (m* )2NC ∫dkdq\|Pkk′′ \|					(e q) δ(E		− E − ω ± ωq )e		. (15.68)

Ми скористались		наближенням		pkk′′ /m* ≈ (k′′ − k)/m* =				q/m*. Для

подальшої оцінки I± візьмемо до уваги, що матричний елемент Pkk± ′′ в

основному залежить від переданого імпульсу – імпульсу фонона q. Це означає, що інтегрування за імпульсом початкового стану електрону можна провести безпосередньо, і (15.68) можна записати у вигляді

I± =

Ve2A2n

∫dq|Pq± |2 (e q)2 Jq .

(15.69)

2(2π)5 ω2(m* )2NC

А величина Jq визначається інтегруванням за імпульсом k

Jq = ∫k2dk sinϑdϑdϕδ(( 2 /2m* )(q2

+ 2kq cosϑ)− ω ± ωq )e−

2k2

2m*kTe

∞

−

2k2

* 2

− 2km2

(15.70)

= − 2πm

∫

2m*kTe

= 2π(m

) kTe e

kdk e

2m*kT

Межі інтегрування за модулем хвильового вектора умов, за якими аргумент δ-функції дорівнює нулю,

k =		m*		2q	2
			ω ωq −			.
	2				*
				2m
		q cosϑ

k визначались із

(15.71)

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

116

При цьому нижня межа інтегрування відповідає значенню означає

km =	m*		2q	2
		ω ωq −			.
	2			*
			2m
		q

Верхня межа відповідає значенню ϑ = π/2. Тобто k = ∞.

ϑ = 0, що

(15.72)

Для подальших оцінок необхідно провести інтегрування за переданим фонону імпульсом. Зручно перейти до нової змінної

ζ = 2*q2

4m kTe

і ввести позначення

z± = ω ± ωq .

2kTe

У цих позначеннях величина Jq із (15.70) має вигляд

	π		ez±		e−(ζ+z±2 /ζ)/2 .
Jq =		(m* )3kTe
	3
				ζ

Підставимо цей вираз до (15.69)

	Ve2A2n	(m* )3kTe	±	2	2 ez±			−(ζ+z±2 /ζ)/2
I± =			∫dq\|Pq	\| (e q)			e		.
	2(2π)5 4ω2(m* )2NC
						ζ
						ζ

(15.73)

(15.74)

(15.75)

(15.76)

При обчисленні цього інтеграла зручно вибрати за полярну вісь напрямок орту поляризації світла e. Тодіможна провести інтегрування за кутами

π	4	πq2.
2π∫ q2 cos2 ϑsinϑdϑ =	4	πq2.
0	3

У результаті дістанемо

Ve2A2n

z±

−(ζ+z±2

/ζ)/2

I± = 3

(m kTe )

∫ ζdζ|Pζ

π 3

9ω2 *

(2 )

(15.77)

(15.78)

Для подальшого аналізу необхідно використовувати конкретну модель електрон-фононної взаємодії, що дає внесок до процесів розсіювання електронів на фононах, тобто конкретизувати вигляд матричного

елемента Pk±′k. Для прикладу розглянемо поглинання світла із розсію-

ванням електронів на акустичних фононах. Модуль матричного елементу при поглинанні та висиланні фонона не залежить від переданого

117	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

імпульсу (q), тобто – і від ζ, а саме Pk±′k ~ kT . Таким чином, необхідно обчислити інтеграл

∞	ζdζe	z±	e	−(ζ+z±2 /ζ)/2	.	(15.79)
L = ∫	ζdζe		e		.	(15.79)
0

Для цього скористаємось визначенням модифікованої функції Бесселя

K2(z) =	1	∞	ζdζe−(ζ+z	2	/ζ)/2 , z > 0,
		∫				(15.80)
	2z2
		0

тобто із використанням (15.80), отримуємо

L = 2z±2ez± K2(		z±		) .	(15.81)

Скористаємось тим, що енергія фонона є малою порівняно з енергією поглинутого фотона, ωq << ω. Це дає z± ≈ ω/(2kTe ). Тоді, підстав-

ляючи отриманий вираз до (15.78), із співвідношення (15.66) знайдемо

ne2

* 1/2

3/2

αa ~

)

kT (kTe )

exp

. (15.82)

ε ω3

2kTe

Аналогічно для процесів з індукованою емісією фотонів отримаємо із (15.82) просто заміною ω → − ω

1 ne2

* 1/2

3/2

)

kT (kT

)

exp

−

. (15.83)

ε ω3

2kTe

Повний коефіцієнт поглинання світла із розсіюванням на акустичних фононах α = αa − αe , або, використовуючи (15.82–15.83),

ne2

* 1/2

3/2

α ~

)

kT (kTe )

(15.84)

ε ω3

2kTe

У випадку теплової рівноваги Te = T за таких температур, що 2kT >> ω,

тобто при z <<1, маємо sh(z) ≈ z,				K2(z) ≈ 2/z2. У цьому випадку із (15.84)
отримуємо
	1		2
α ~	1			ne	(m* )1/2	(kT )3/2.	(15.85)
			2		(m* )1/2	(kT )3/2.
			2
		ε		ω

Таким чином, поглинання світла вільними носіями за розсіювання електронів на акустичних фононах в умовах високих температур зростає за зростання електронної температури та довжини хвилі світла. Поглинання світла вільними носіями в умовах низьких температур

2kTe << ω не залежить від електронної температури та характеризується коефіцієнтом поглинання

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ						118
		α ~ 1	2
		α ~ 1	ne3/2 (m* )1/2kT.			(15.86)
		ε ω
Іншими словами, у цьому випадку його залежність від довжини хвилі
~ λ3/2 світла слабша, ніж у класичному (високотемпературному) ви-
падку,	де α ~ λ2. На рис.	15.13 подано залежність коефіцієнту погли-
нання від довжини світла за різних температур. Тут Ca – коефіцієнт
пропорційності. Штриховими лініями позначено асимптотики коефі-
цієнту поглинання у класичному – довгохвильовому, і квантовому –
короткохвильовому – випадках. На рис. 15.14 подано залежність коефі-
цієнту поглинання світла від довжини хвилі в арсеніді індію n-типу за
кімнатної температури для різних значень концентрації електронів.
			1
α/Ca, мкм3		~ λ2	см–		5
		~ λ2	см–
			α,			4
			30			3
10						3
10	600 K		20
	600 K		20
	300 K		10			2
	300 K
	4,2 K
	4,2 K
~λ3/2			5
1			5
1
	20 K
	77 K
						1
10–1	λ, мкм		1			λ , мкм
1	10	102	3	5	10	λ , мкм
			Рис. 15.14. Залежність коефіцієнта
			поглинання світла вільними носіями
Рис. 15.13. Залежність коефіцієнта			в n-InAs від довжини хвилі світла
поглинання світла вільними носіями			для різних значень концентрацій електронів:
від довжини хвилі за розсіювання			n =1:	2,8 1016; n =2: 1,4 1017;
	на акустичних фононах		n =3: 2,5 1017; n =4: 7,8 1017;
			n =5: 3,9 1018			(см–3)
Оскільки, згідно із (15.56), поглинання світла вільними носіями ви-
значається величиною I±		((15.78)),	яка у свою чергу залежить від мат-

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 7243 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019317.44 Кб1OE_Lab_1.doc
#
08.11.2019176.13 Кб4OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб6OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб1OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
19.03.201513.24 Mб64OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб17Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб12Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб201OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc