OFP-Tretyak-Lozovski

Ймовірність перебування електрона у нескінченно малому околі точки x : W = Φ(ξ)2 dx. Тоді можна знайти коефіцієнт поглинання світла за

тунелювання електрона через трикутний бар'єр, оскільки він буде пропорційним ймовірності W, проінтегрованій за шириною забороненої зони

Виконуючи інтегрування частинами та беручи до уваги (15.98), тобто, d2Φ/dξ2 = ξΦ, інтеграл у правій частині (15.101) можна оцінити так

У результаті для коефіцієнту поглинання світла для прямих дозволених переходів ( ω < Eg ) було отримано вираз

де mr = me* mh* (me* + mh* )−1 – приведена ефективна маса носіїв заряду, А

– коефіцієнт, залежний від mr і матричного елементу електродиполь-

ного переходу. Таким чином, на краю смуги поглинання з'являється "хвіст", що експоненційно спадає у довгохвильовий бік.

За енергій фотонів, що перевищують ширину забороненої зони, тобто ω > Eg , електропоглинання стає складнішим: коефіцієнт пог-

линання для прямих дозволених переходів має вигляд

де G(ω, E ) – осцилююча функція енергії фотона та електричного поля,

що відбиває властивості інтегралів Ейрі. Ці осциляції у поглинання зменшуються за мірою збільшення відстані ω − Eg . Зі збільшенням

електричного поля амплітуда та період осциляцій збільшуються. На-

приклад, оцінки показують, що для полів E ≈ 5 106 В [cм−1] період осциляцій досягає величини 0,05 eВ, а амплітуда зміни α становить близько 103[cм−1]. На практиці процеси розсіювання носіїв заряду,

особливо на фононах, призводитимуть до швидкішого затухання осциляцій, ніж передбачає теорія. За малих коефіцієнтів поглинання в області експоненційного краю, що описується формулою

дія електричного поля спричиняє простий зсув краю поглинання.

За експериментальних досліджень електропоглинання для спостереження зсуву краю смуги поглинання необхідно використовувати високоомні зразки для зменшення ролі теплових ефектів: необхідно використовувати широкозонні напівпровідники або виконувати вимірювання за низьких температур. Вимірювання ефекту Франца–Келдиша було виконано Моссом в 1961 р. на зразках GaAs, зокрема було показано, що зсув краю смуги поглинання добре описується формулою (15.106). Ефект Франца–Келдиша краще вивчати експериментально, прикладаючи змінне електричне поле до зразка та проводячи синхронне детектування сигналу, що викликається світлом, яке пройшло скрізь зразок. Наприклад, до зразку у вигляді т онкої пластинки

(h ~10−1 cм ) прикладають змінне електричне поле напругою ~ 103 В, тобто E ~104 В [cм−1], та освітлюють зразок монохроматичним світлом.

При цьому вимірюють інтенсивність світла, що пройшло зразок, детектуючи сигнал на частоті, що дорівнює подвійній частоті змінного

15.4.4. Міжзонне магнетопоглинання

Розглянемо поглинання світла напівпровідником, в якого екстремуми валентної зони та зони провідності розташовані в одній точці k = 0 і на який діє зовнішнє магнітне поле B. Вважатимемо зони не виродженими (рис. 15.28 а). Дія магнітного поля приводить до того, що рух електронів у напрямку, перпендикулярному полю, стає квантованим так, що закон дисперсії носіїв трансформується у набір вкладених одна в одну парабол (рис. 15.28 б). Магнітне поле не тільки спричиняє квантування енергії електронів в напівпровідникові, але й зсуває дно зони провідності угору на величину ωe /2, а стелю валентної

зони – згори на величину ωh /2, де ωe = eB /me* і ωh = eB /mh* – цик-

лотронні частоти електронів і дірок, відповідно. Таким чином, під дією магнітного поля ширина забороненої зони напівпровідника зростає на величину

Рис. 15.28. Енергетична діаграма двозонної моделі напівпровідника: а – без дії; б – під дією магнітного поля

За прямих переходів між підзонами, що виникли у результаті квантування Ландау, поглинання світла електронами напівпровідника, що розташований у магнітному полі, відбувається за умови

де β = e /2m – магнетон Бора; ge та gh – ефективні g-фактори електронів і дірок напівпровідника, відповідно; mi = ±1/2 – спінове кван-

тове число. При цьому такі переходи можуть відбуватись тільки при виконанні правил відбору, що залежать від поляризації світла, яке поглинається,

Оскільки розглядаються прямі міжзонні переходи, то для визначення коефіцієнта поглинання можна скористатись (15.32) і записати

α(ω,B)~ ρ(ω,B). Записуючи щільність станів в явному вигляді (див. (8.90)), отримуємо, що

де А – коефіцієнт, що залежить від показника заломлення матеріалу. Згадаємо, що коефіцієнт поглинання у нульовому полі

Із порівняння (15.111) та (15.112) видно, що замість звичайного квазінеперервного спектру поглинання, що має місце за відсутності магнітного поля, наявність поля спричинить появу серії піків за енергій, що відповідають максимумам щільності станів. Типову поведінку експериментальної кривої магнетопоглинання подано на рис. 15.29. Зазна-

чимо, що особливості в α(B) (формула (15.111)) зникають, якщо вра-

хувати ефекти розширення рівнів (обмежена величина часу релаксації τ), що пов'язані із дисипативними процесами в матеріалі. Добре роз-

I(B)/I(0)

1.8

1.4

1.0

0.6

Рис. 15.29. Осциляції магнетопоглинання світла в GaAs при температурі 77 K (B = 0,8 Tесла)

ділені піки спостерігатимуться тільки у випадках, коли умова ωñτ >>1, (ωc = ωe ,ωh ) виконується принаймні для однієї із зон.

Із правилами відбору (15.109-110) пов'язані поляризаційні ефекти. Наприклад, для світла, що розповсюджується паралельно магнітному

полю (E B ), перехід ∆mi = +1 відповідає правій круговій поляризації, а перехід ∆mi = −1 – лівій круговій поляризації щодо напрямку вздовж

розповсюдження світла. У випадку, коли світло, що поглинається, розповсюджується перпендикулярно магнітному полю ( k B , k – хвильовий вектор світла) обидва типи дозволених переходів ∆mi = 0

( E||B ) і ∆mi = +1 ( E B ) відповідають плоскополяризованому випромінюванню.

15.5. Циклотронний резонанс

Якщо носій заряду рухається під кутом до напрямку магнітного поля B, то його траєкторія являтиме спіраль, що навивається вздовж напрямку магнітного поля, а кругова частота обертання визначається циклотронною частотою (див. (5.37))

Для оцінки циклотронної частоти у напівпровідниках зручно користуватись формулою

Якщо ефективна маса носіїв наближено дорівнює масі вільного елек-

трона, а магнітне поле становить 10−1 Tесла, то циклотронна частота відповідає надвисокочастотному діапазону. Таким чином, якщо електромагнітна хвиля надвисокочастотного діапазону, поляризована під деяким кутом до напрямку B, падає на зразок, вона поглинається найефективніше на частоті ω = ωС. Це явище називається циклот-

ронним резонансом і може використовуватись для визначення деталей зонної структури напівпровідника. Розглянемо цей ефект детальніше. Для цього запишемо рівняння руху носія заряду у напівпровіднику у змінному електричному та сталому магнітному полях, вважаючи що розподіл носіїв за енергіями має вигляд дуже вузького піку

де τm – час релаксації. Якщо у декартовій системі координат вибрати

вісь 0Z так, щоб її напрямок збігавсяіз напрямком магнітного поля, то, переходячи до Фур'є-трансформант за часом, і враховуючи, що

де σ0 = ne2τm /m* . Два перші рівняння системи при цьому перепишемо

Нехай на зразок напівпровідника у магнітному полі падає електромагнітна хвиля із правою круговою поляризацією, тобто компоненти

електричного поля у такій хвилі пов'язані співвідношенням Ey = −iEx . Тоді, використовуючи (15.120) і (15.121), можна записати, що ефективна

В експериментах зазвичай частоту утримують сталою, змінюючи величину магнітного поля, тобто для аналізу умов резонансу зручно як

незалежну змінну використовувати величину ωC ω. При цьому результати варто представляти у безрозмірному вигляді, нормуючи величину енергії P(ωC ) , що поглинається в одиницю часу зразком, який розташований у магнітному полі, до енергії, що поглинається в нульовому магнітному полі P0 = P(ωC = 0). На рис. 15.30 подано залежності P(ωC )P0 від ωC ω за різних значень часу релаксації. Видно, що за зменшення ωτm резонансний пік розпливається, і при ωτm <1 резонанс взагалі зникає (крива 4 на рисунку). Зауважимо, що за значень ωτm ≈1 лінія, яка відповідає резонансному поглинанню поля, сильно розширюється та зсувається у бік менших частот (крива 3на рисунку).

iωmz*vz + e(vyBx −vx By ) = 0.

Формули (15.131–15.132) свідчать про те, що від орієнтації вектора магнітного поля щодо кристалографічних осей напівпровідника залежить резонансна частота. Це означає, що при вивченні залежності поглинутої потужності поля у кристала, може існувати кілька піків. На рис. 15.32 подано експериментальні залежності поглинутої потужності (відносні одиниці) електромагнітного поля частотою 23 Ггц кремнієвим

зразком n-типу від відношення u = ωС /ω для трьох різних орієнтацій

магнітного поля. Як видно, багатодолинність закону дисперсії кремнію виявляється у формування спектрів поглинання. Наприклад, коли

магнітна індукція В паралельна кристалографічному напрямку 001 , крива поглинання має два яскраво виражених максимуми при u1<001> = 0.19 та u2<001> = 0,43. Два піки виявляються й в геометрії, коли магнітна індукція паралельна кристалографічному напрямку 110. У цьому випадку u1<110> = 0,28 та u2<110> = 0,43. У випадку, коли В направлена паралельно напрямку 111 , крива циклотронного резонансу

має один пік при u1(111) = 0,20. Таким чином, вивчення циклотронного

резонансу дає можливість експериментально встановлювати деталі зонної структури напівпровідників, тобто визначати величину ефективної маси у різних напрямках. Зрозуміло, що накладення умови

ωСτm >1 існування резонансного поглинання додає обмеження до умов проведення експерименту. Наприклад, для спостереження циклотронного резонансу у НВЧ діапазоні (~101–102 ГГц) час релаксації τm

має бути більшим за 10−10c. Цього можна досягнути лише за гелієвих температур і лише у деяких напівпровідниках із дуже низькою концентрацією домішок для того, щоб розсіювання на домішках (нейт-

P(ωÑ )P0

Рис. 15.32. Залежність енергії НВЧ поля, що поглинає зразок n-Si від відношення ωC/ω

для різних орієнтацій магнітного поля