ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
38 |
щодо зразка. Тоді енергія, необхідна для переведення електрона із дна зони провідності у вакуумний стан, який характеризується нульовою кінетичною енергією, можна визначити як
Ця енергія має спеціальну назву – енергія електронної спорідненості. Ця характеристика зазвичай використовується для визначення взаємного положення дна зони провідності та стелі валентної зони за контакту двох напівпровідників (див. далі).
При вивченні ефектів на контактах важливу роль відіграє потенціальний бар'єр, що необхідно подолати електрону для переходу з одного середовища до іншого. Для подолання потенціального бар'єру кінетична енергія електрона має бути більшою за висоту бар'єру. Відомості про висоту цього бар'єру – дуже важливі з практичного погляду. Уявимо, що досліджуваний зразок поміщується у деяку адіабатичну оболонку, що підтримується при температурі Т. Електронний газ над зразком знаходитиметься у стані термодинамічної рівноваги зі зраз-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ком: кількість електронів, що |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
випаровуються із напівпровід- |
|
|
|
|
|
– |
|
ника (або метала) дорівнює кі- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
– |
лькості електронів, що потрап- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляють із вакууму в напівпрові- |
0 |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
дник. Іншими словами, якщо |
|
|
|
– |
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
розглядати |
рух |
електрона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вздовж вісі OX (рис. 14.1), то для |
|
X |
напівпровідник |
|
того, щоб електрон потрапив у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зразок, його кінетична енергія |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
має бути більшою за потенціа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
льний бар'єр Vvac |
|
Рис. 14.1. До визначення термоелектронної |
m v2 |
≥Vvac . |
(14.2) |
0 |
x |
енергії виходу |
2 |
|
|
|
Кількість станів одиничного об'єму в інтервалі швидкостей (v,v + dv) визначається формулою
dN = 2 |
2πm |
0 |
3 |
(14.3) |
|
|
|
dvxdvydvz . |
|
|
|
|
|
|
|
Кількість електронів, що завдяки тепловому руху характеризуються швидкостями з інтервалу (v,v + dv)
dn = f0dN = 2 |
2πm |
0 |
3 |
(14.4) |
|
|
|
e−(E −EF )/kT dvxdvydvz . |
|
|
|
|
|
|
|
39 |
Розділ 14. КОНТАКТНІ ЯВИЩА У НАПІВПРОВІДНИКАХ |
Вважатимемо, що всі електрони, які рухаючись вздовж вісі OX , подолали потенціальний бар'єр, не повертаються до зовнішнього середовища. Таким чином, до поверхні напівпровідника рухається потік
електронів зі швидкістю vx , що утворює струм, який протікає із ва-
кууму до зразка
I = e∫dnvx .
Підставляючи сюди (14.4), отримаємо
|
2πm* 3 |
∞ |
∞ |
∞ |
dvze−E /kT . |
I = 2e |
|
|
eEF /kT ∫ dvxvx ∫ |
dvy ∫ |
|
|
|
|
0 |
−∞ |
−∞ |
|
|
|
|
|
Нижня границя інтегрування у першому інтегралі (14.6) вибрана із таких міркувань: для того, щоб електрон міг потрапити до зразка, його швидкість має бути направлена у бік зразка (вздовж вісі OX). Оскільки
енергія електрона у вакуумі E = Evac + m0(vx2 +vy2 +vz2 )/2 , струм (14.6) визначатиметься формулою
2 2 |
|
|
∞ |
|
|
|
I = 2e |
(4π m0 ) |
kT e−(Evac −EF )/kT |
∫ dvxvxe−(m0 /2kT )vx2 . |
(14.7) |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
e−at2 dt = |
|
. Об- |
При цьому використано відоме співвідношення ∫ |
π/a |
числюючи інтеграл у (14.7), отримуємо |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
/2kT )vx2 |
= kT |
. |
|
|
|
|
|
∫vxdvxe−(m0 |
|
|
(14.8) |
|
0 |
|
|
m0 |
|
|
|
|
Оскільки в умовах термодинамічної рівноваги такий самий струм протікатиме із напівпровідника до вакууму, використовуючи формулу (14.8), із виразу (14.7) отримуємо для густини струму термоелектронної емісії
|
|
|
I = AT 2e−Φ/kT , |
(14.9) |
де |
A = 2(2π)4em k2 |
−3 |
– універсальна константа, |
а термоелектронна |
|
0 |
|
|
|
робота виходу |
|
Φ = Evac − EF . |
|
|
|
|
(14.10) |
Виключаючи із цього виразу величину Evac , за допомогою (14.1) отримаємо
Φ = χ + EC − EF . |
(14.11) |
Ця енергія для напівпровідників становить величину порядку кількох електрон-вольт. Оскільки термоелектронна робота виходу визначається положенням рівня Фермі, то вона залежить від температури,
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
40 |
концентрації домішок і природи напівпровідника. Наприклад, для власного напівпровідника, де EF = (EC + EV )/2 + (3/4)kT ln(m*pd /mnd* ) , робота виходу
Φ |
i |
= χ + E |
g |
/2 + (3kT /4)ln(m* |
/m* |
) |
(14.12) |
|
|
nd |
pd |
|
|
визначається шириною забороненої зони і відношенням ефективних мас електронів і дірок. Для напівпровідника n-типу у випадку слабкої
іонізації домішок, |
де EF = (EC + ED ) 2 − kT ln(2NC /ND ) , термоелект- |
ронна робота виходу |
|
|
Φn = χ + (EC − ED )/2 + (kT /2)ln(2NC /ND ). |
(14.13) |
У випадку сильної |
іонізації домішок, коли EF = EC + kT ln(NC /ND ) , |
маємо |
Φn = χ + kT ln(NC /ND ). |
|
|
(14.14) |
Аналогічно для напівпровідника p-типу у випадку слабкої іонізації домішок
Φp = χ + Eg + (EV − EA )/2 + (kT /2)ln(2NV /NA ). |
(14.15) |
У випадку сильної іонізації домішок термоелектронна енергія виходу акцепторного напівпровідника є
Φp = χ + Eg − kT ln(NV /NA ) . |
(14.16) |
13.2. Контакти метал–метал та метал–напівпровідник
EW
Φ1 Φ2
EF(1)
M1 M2
Рис. 14.2. Енергетичні діаграми двох ізольованих металів
Розглянемо два металічних зразки, що мають плоскі поверхні та характеризуються роботою виходу
E(2)
Φ1 та Φ2, і Φ1 > Φ2, тобто енергія
F Фермі EF(1) першого металу є ме н-
шою за енергію Фермі EF(2) другого
(рис. 14.2). Утворимо контакт цих зразків. Метали почнуть обмінюватись електронами, й оскільки
EF(2) > EF(1) , в основному електрони із другого металу переходитимуть до
41 |
Розділ 14. КОНТАКТНІ ЯВИЩА У НАПІВПРОВІДНИКАХ |
|
першого: на першому зразку з'явиться негативний заряд, а на другому |
|
– позитивний. У результаті перпендикулярно до площини контакту |
|
виникне електричне поле, яке буде локалізоване у приповерхневій |
|
|
|
|
області товщиною порядку довжини екра- |
|
Φ1 |
Φ2 |
|
нування (у металах ця величина становить |
|
EF(2) |
~10–8 см). Завдяки потоку електронів із |
|
eϕi |
|
|
EF(C ) |
другого металу до першого почнуть вирі- |
|
EF(1) |
|
внюватись рівні Фермі. Коли рівні Фермі |
|
M2 |
|
вирівняються й в об'єднаному зразку ви- |
|
M1 |
|
никне один рівень Фермі EF(C ) (рис. 14.3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
струм електронів припиниться. При цьому |
|
|
E |
|
на контакті у рівноважному стані встано- |
|
|
|
виться деяка різниця потенціалів ϕi , що |
|
|
E2 |
|
|
|
|
називають контактною різницею потенці- |
|
E1 |
|
eϕi |
|
|
алів. Для визначення величини контактної |
|
|
|
x |
різниці потенціалів обчислимо потік елек- |
|
|
C |
тронів, що переходять із металу 1 до металу |
|
|
|
2, і навпаки. Так само як при визначення |
|
Рис. 14.3. Контакт двох металів. |
|
Виникнення контактної |
термоелектронної роботи виходу знайдемо, |
|
різниці потенціалів |
що із метала 2 до метала 1 перейдуть |
|
|
3 |
∞ |
∞ |
|
dN2 |
= 2 |
(2*π)3 |
pxdpx ∫ dpy ∫ dpz {e(E2 −EF(2) )/kT +1}−1 |
(14.17) |
|
|
m2 |
−∞ |
−∞ |
|
електронів. Аналогічно у зворотному напрямку із зразка 1 до зразка 2 перейдуть
|
|
|
3 |
∞ |
|
∞ |
dpz {e(E1 −EF(1))/kT +1}−1 |
|
dN1 |
= 2 |
(2π) |
pxdpx ∫ |
dpy |
∫ |
(14.18) |
|
|
m* |
3 |
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
електронів. Оскільки зразок 2 на межі розподілу заряджений позитивно, то його електрони набудуть додаткової енергії
так, що повна енергія електронів у металі 2 визначатиметься формулою
E(tot ) = E |
2 |
− eϕ . |
(14.20) |
2 |
i |
|
Оскільки термодинамічна рівновага означає, що число прямих переходів електронів (із зразка 2 до зразка 1) дорівнює числу зворотних переходів, то має виконуватись умова
Зіншого боку, за термодинамічної рівноваги повна енергія електронів
вобох частинах системи має бути однаковою, тобто
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
42 |
Крім того, умова термодинамічної рівноваги вимагає також рівності диференціалів енергії електронів у різних частинах системи, а саме dE2 = dE1 , звідки
∂E1 |
dp(1) |
= |
∂E2 |
dp(2) |
або (m* )−1 p(1)dp(1) |
= (m* )−1 p(2)dp(2). |
|
|
|
∂px(1) |
x |
|
∂px(2) |
x |
1 |
x x |
2 |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
Маючи на увазі ці вирази та (14.17) і (14.18), запишемо рівняння (14.21) в явному вигляді
∞ |
dpy |
∞ |
dpz {e(E1 −EF(1))/kT +1}−1 = |
∞ |
dpy |
∞ |
dpz {e(E2 −EF(2))/kT +1}−1 . (14.23) |
∫ |
∫ |
∫ |
∫ |
−∞ |
|
−∞ |
|
−∞ |
|
−∞ |
|
Ця рівність виконується тотожно лише за умови рівності підінтегральних виразів, що означає рівність показників ступеню в експонентах
E − E(1) |
= E |
2 |
− E(2) . |
(14.24) |
1 |
F |
|
F |
|
Звідси, зважаючи на рівняння (14.22) отримуємо
ϕ |
= e−1(E(2) |
− E(1)). |
(14.25) |
2 |
F |
F |
|
Таким чином, контактна різниця потенціалів на контакті двох металів визначається різницею енергій Фермі ізольованих зразків цих металів. У разі утворення контактної різниці потенціалів виникає електричне
поле, величину якого можна оцінити як Econt ~ ϕ2 /d , де d – відстань між плоскими поверхнями металів, що утворили спільну систему. Відповідно до теореми Гауса електричне поле пов'язане із зарядом, по-
верхнева густина якого σS ~ εϕ2 /d . За щільного контакту двох металів
можна вважати, що відстань d приблизно дорівнює сталій ґратки. Тоді величина поверхневого заряду, що забезпечує існування контактної
різниці потенціалів становить ~ 1013 см–2 , що на один-два порядки менше за поверхневу концентрацію електронів вільної металічної по-
верхні, що становить ~ 1015 см–2. Це означає, що електричне поле контактної різниці потенціалів не заглиблюється у метал на відстань,
більшу за величину сталої ґратки (10–7–10–8 см), оскільки поверхневим зарядом σS , що зумовлений контактною різницею потенціалів, можна
знехтувати порівняно із власним поверхневим зарядом металу. Розглянемо тепер контакт між металом та невиродженим напівп-
ровідником. Нехай для визначеності робота виходу метала ΦM більше роботи виходу напівпровідника ΦS . Тоді при дотиканні поверхонь
металу та напівпровідника потік електронів із напівпровідника перевищуватиме потік електронів із металу. У результаті метал в області
43 |
Розділ 14. КОНТАКТНІ ЯВИЩА У НАПІВПРОВІДНИКАХ |
контакту заряджатиметься негативно, а напівпровідник набуде позитивного заряду. Електричне поле Est , що виникне при цьому, тепер
заважатиме проникненню електронів із напівпровідника, і надлишковий струм припиниться. При цьому вирівняються рівні Фермі металу та напівпровідника та встановиться рівність струмів термоелектронної емісії. Вираз для струму термоелектронної емісії задається (14.9). Тоді, оскільки наявність контактної різниці потенціалів приведе до збільшення термоелектронної роботи виходу напівпровідника на ве-
личину eϕc , із рівності IM = IS |
отримаємо |
|
eϕC = ΦM − ΦS . |
(14.29) |
Напруженість електричного поля в шарі об'ємного заряду ρ(x) |
|
EC |
= 4π ∫ρ(x)dx . |
(14.30) |
|
ε |
|
Таким чином, у силу рівності об'ємних зарядів у контактуючих зразках, різниця потенціалів буде пропорційна товщині об'ємного заряду.
l |
|
|
U = −∫ |
ECdx = −EC l . |
(14.31) |
0 |
|
|
Як було з'ясовано вище, товщина шару об'ємного заряду в металі –10-7–10-8 см, а в напівпровіднику перевищує цю величину як мінімум
на чотири порядки (тобто складає величину ~ 10–4 см – див. далі). Таким чином можна стверджувати, що контактна різниця потенціалів
ϕС практично повністю падає у приконтактній області напівпровід-
ника. Напруженість електричного поля, викликана контактною різницею потенціалів, не перевищує ~106 В/cм. З іншого боку, напруженість внутрішньокристалічного поля 108 В/cм. Таким чином, незначне додавання контактної різниці потенціалів не може спричинити перебудову енергетичної структури напівпровідника, тобто змінити ширину забороненої зони, але може призвести до викривлення зон у приконтактній області щодо рівня Фермі. Таке викривлення, у свою чергу, приведе до зміни концентрації носіїв напівпровідника в його приповерхневій області. Таким чином, якщо робота виходу електронів із напівпровідника менша за роботу виходу із металу, то на контакті метал–напівпровідник поверхня металу заряджається негативно, а приповерхневий шар напівпровідника – позитивно. Тепер, щоб попасти у метал, електронам у напівпровіднику необхідно подолати ба-
р'єр eϕC = ΦM − ΦS проти сил електричного поля ЕС. Це означає, що в
напівпровіднику енергетичні зони викривляються вгору так, що дно зони провідності віддаляється від рівня Фермі Fn, а стеля валентної зони наближається до цього рівня. При цьому поблизу контакту кон-
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
44 |
центрація електронів у зоні провідності зменшується, а концентрація дірок у валентній зоні збільшується порівняно з її об'ємним значенням. Таким чином, поблизу контакту виникне шар із дещо зниженою питомою провідністю. Такий шар, збіднений основними носіями заряду, називають запірним шаром (рис. 14.4 а).
|
Evac |
eϕC |
eϕC |
|
|
Evac |
ΦM |
|
|
|
χ |
ФS |
eϕC |
Ф |
|
|
|
FC |
|
|
|
|
|
|
S |
ФM |
eϕC |
|
|
|
|
FC |
|
|
EF(M ) |
|
Fn |
|
EF(M ) |
|
Fn |
|
|
|
L0 |
|
|
L0 |
|
|
|
EV |
|
|
EV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метал |
напівпровідник |
|
|
метал |
напівпровідник |
|
|
|
|
|
б |
|
|
а |
|
Рис. 14.4. |
Контакт метал–напівпровідник n-типу |
a – ΦM > ΦS (запірний шар); б – ΦM < ΦS |
(антизапірний шар) |
Якщо робота виходу із напівпровідника є більшою за роботу виходу із металу, тобто виконується нерівність ΦM < ΦS , то напівпровідник
заряджається негативно, і його зони у приконтактній області вигинаються вниз – у бік валентної зони (рис. 14.4 б): у приконтактній області число електронів у зоні провідності збільшується, а число дірок у валентній зоні – зменшується. У такому випадку говорять, що в електронному напівпровіднику виникає антизапірний шар. У випадку контакту металу із напівпровідником p-типу якісна картина вигину зон збережеться такою, як і для електронного напівпровідника (рис. 14.5), оскільки вигін зон визначається тільки різницею робіт виходу. Головна відмінність для напівпровідника p-типу, що контактує з металом, по-
лягає в тому, що у випад ку ΦM > ΦS концентрація дірок у приконта-
ктній області буде більшою за їхню концентрацію в об'ємі, й у приконтактній області виникне збагачений основними носіями (дірками) антизапірний шар. Коли для контактуючих металу та напівпровідника
p-типу виконується нерівність ΦM < ΦS , то відбувається вигин зон
униз, число дірок у приконтактній області, порівняно з об'ємом зразку, зменшується та виникає запірний шар. За значного збагачення приконтактної області неосновними носіями заряду може виникнути інверсний шар що спричинить виникнення фізичного p-n переходу.
45 |
Розділ 14. КОНТАКТНІ ЯВИЩА У НАПІВПРОВІДНИКАХ |
|
|
Evac |
eϕC |
eϕC |
|
|
Evac |
|
|
|
|
|
χ |
Ф |
eϕC |
χ |
|
|
eϕC |
|
ЕC |
|
ЕC |
|
|
|
|
M |
|
ФM |
|
|
ФS |
|
|
|
ФS |
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
|
Fр |
|
|
|
Fр |
|
EF(M ) |
|
|
(M ) |
|
|
|
ЕV |
|
EF |
|
ЕV |
|
|
|
|
|
|
|
|
метал |
напівпровідник |
|
метал |
L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напівпровідник |
|
|
|
|
|
a |
б |
Рис. 14.5. Контакт метал–напівпровідник p-типу: |
a – ΦM > ΦS (антизапірний шар); б – ΦM < ΦS |
(запірний шар) |
14.3. Розподіл концентрації електронів на контакті метал-напівпровідник
Визначимо тепер структуру приконтактної області (довжину шару у напрямку, нормальному до площини контакту), на якій відбувається вигин зон, або глибину області напівпровідника, куди проникає контактне поле.
Розглянемо контакт між металом та напівпровідником n-типу. Нехай напівпровідник містить донори із концентрацією ND та акцептори
sз концентрацією NA. При цьому ND > NA . Тоді щільність об'ємного заряду запишемо у вигляді
ρ = e(ND+ − NA− − n). |
(14.32) |
Зрозуміло, що у стаціонарному стані концентрації іонізованих домішок (ND+ та NA− ) є функціями тільки координат. В такому разі із рівняння неперервності
|
∂ρ |
= − |
∂j |
|
(14.33) |
|
∂t |
∂x |
|
|
|
|
отримуємо |
|
|
|
|
|
|
j = const. |
(14.34) |
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
46 |
Користуючись співвідношенням Ейнштейна, запишемо густину струму, що протікає через контакт
j = enµE + µkT dndx . |
(14.35) |
Якщо домішки напівпровідника є мілкими, то можна вважати, що всі донори та акцептори іонізовані. Тоді для визначення параметрів області об'ємного заряду до (14.35) необхідно додати рівняння Пуассона
|
d2ϕ |
− |
4πe |
(n − n0 ) = 0 |
, |
(14.36) |
|
dx2 |
ε |
|
|
|
|
|
де n0 означає сталу концентрацію електронів в об'ємі напівпровідника.
Вважатимемо, що площина контакту розташована на перерізі x = 0. Позначимо потенціал на контакті через ϕС . Тоді граничні умови набудуть вигляду
|
ϕ , |
x = 0 |
n |
C |
, |
x = 0 |
. |
(14.37) |
ϕ = |
С |
x = ∞ |
, n = |
|
x = ∞ |
0, |
n0 , |
|
|
Із рівняння (14.35) знайдемо концентрацію носіїв на контакті за відсу-
тності |
струму через контакт |
|
|
|
1 deϕ |
|
1 dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n dx |
, |
(14.38) |
|
|
|
|
|
|
kT |
dx |
яке можна проінтегрувати в квадратурах |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
n0 dn |
|
|
|
|
|
|
∫ |
edϕ = ∫ |
n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
kT ϕ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
C |
|
|
|
|
звідки |
|
|
nC |
= n0eeϕC /kT . |
|
(14.39) |
Із цієї формули, зокрема випливає: якщо у напівпровіднику n-типу зони вигнуті вниз, тобто потенціал ϕC є від'ємним і збільшується до 0
при переході в об'єм зразка, концентрація електронів на межі розподілу більша за подібну в об'ємі та експоненційно зменшується за мірою віддалення від межі розподілу. Якщо ж зони вигнуті вгору, то концентрація електронів на межі розподілу менша за її об'ємне значення та експоненційно збільшується за віддалення від границі.
У випадку, коли через контакт протікає струм, концентрація носіїв на контакті – n(x = 0) – взагалі не має дорівнювати рівноважній кон-
центрації nC . Її необхідно знаходити окремо. Але за невеликих значень струму величина n(x = 0) не дуже відрізняється від nC і її можна
вважати незалежною від струму. Для оцінювання величини струмів, які допускають таке наближення, необхідно визначити сумарний струм, що визначається потоком частинок із напівпровідника до ме-
47 |
Розділ 14. КОНТАКТНІ ЯВИЩА У НАПІВПРОВІДНИКАХ |
талу, і навпаки – із металу до напівпровідника. Електрони, що рухаються із напівпровідника до металу та дійшли до контакту (ті, що подолали бар'єр контактної різниці потенціалів), вже не зустрічають завад і безперешкодно проникають у метал. Без зовнішньої різниці потенціалів кількість електронів, які проходять через одиничний пе-
реріз за одиницю часу, пропорційна добутку nCv . З іншого боку, із металу до напівпровідника проходить кількість електронів, пропорційна n(0)v . Тоді сумарний струм через контакт є пропорційним різ-
ниці між граничними концентраціями електронів на контакті та їхній середній швидкості у напрямку, нормальному до площини контакту
j = const ev(n(0)− nC ). |
(14.40) |
Зрозуміло, що чим меншою є різниця (n(0)− nC ), тим меншим має бути струм. Оскільки для концентрацій nC ~ 1013–1014 см–3 і швидкостей
руху електронів ~ 107 cм/с другий доданок в (14.40) дає значення ~ 10 A/cм2 , то для струмів через бар'єр ~ 0.1 A/cм2 відносна різниця між n(x = 0) та nC не перевищує 0.01. Таким чином, із точністю до
одного відсотка наближення n(0) ≈ nC буде припустимим.
За відсутності струму залежність концентрації носіїв у приконтактній області від величини різниці потенціалів, як випливає із (14.35), можна визначити, виконуючи інтегрування рівняння (14.38)
1 |
0 |
edϕ = |
n0 |
dn |
|
|
∫ |
∫ |
|
. |
|
|
kT ϕ(x ) |
|
n(x ) n |
|
Звідси отримуємо співвідношення
n(x) = n0eeϕ(x )/kT .
Підставляючи цей вираз до рівняння Пуассона (14.36), отримуємо
d2ϕ = 4πe n0(eeϕ(x )/kT −1).
dx2 ε
Розв'язки цього рівняння за різних припущень є головною метою цього розгляду.
Розглянемо спочатку випадок слабкого викривлення зон, що відповідає нерівності eϕ << kT . Розкладення експоненти у (14.42) у ряд дає
|
d2ϕ |
= |
4πe2 |
n0ϕ . |
(14.43) |
|
dx2 |
εkT |
|
|
|
|
Розв'язок цього рівняння із врахуванням граничних умов (14.37) має вигляд
ϕ(x) = ϕ e−x /LS , |
(14.44) |
С |
|
