Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 7242 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

99	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

(p + eA)2			∂Ψ
	+Vcryst	Ψ = i		,	(15.7)
2m	+Vcryst	Ψ = i	∂t	,	(15.7)
2m			∂t

де Vcryst – кристалічний потенціал. Збуренням, що вносить до системи зовнішнє світло, є

ˆ		e	(A p + p A + eA	2
V	=	2m	(A p + p A + eA		).	(15.8)

Обмежуючись лінійними оптичними процесами, вважатимемо поле слабким. Це означає, що останнім доданком у (15.8) можна знехтувати.

Перший доданок у (15.8) не викликає сумнівів. Пам'ятаємо, що p = −i , тобто є векторним оператором диференціювання, тоді

A pΨ = −i A ( Ψ).

(15.9)

Обчислимо дію другого доданку в операторі (15.8) на хвильову функцію

p AΨ = −i (AΨ) = −i [( A)Ψ + A ( Ψ)].	(15.10)
Оскільки для поперечної хвилі A = 0, то згідно із (15.9) та (15.10), ма-
ємо, що оператор збурення (15.8) зводиться до
ˆ	(15.11)
V = 2A p .	(15.11)

Якщо на електрон діє поле амплітудою E0 із хвильовим вектором Q і частотою ω, то вектор-потенціал запишеться як

A = (eE0 /iω)(ei(Q R−ωt ) − e−i(Q R−ωt ) ).

(15.12)

Підставляючи цей вираз до (15.11), отримаємо потенціал збурення у вигляді

ˆ	/iω)(e	i(Q R−ωt )	− e	−i(Q R−ωt )	)(e p),	(15.13)
V (R,t) = (eE0

де e – орт поляризації зовнішнього випромінювання. Типові значення довжин хвиль оптичного діапазону становлять кілька сотень нанометрів, що набагато більше за характерні розміри кристалічної елементарної комірки напівпровідника, яка є характерним мірилом просторової зміни електронної хвильової функції. Отже ми можемо знехтувати імпульсом фотона у (15.13). Це є так зване елект родипольне наближення. Таким чином, темп переходу електронів зі стану і до стану j за збудження напівпровідника зовнішнім випромінюванням, задається правилом Фермі

Wji =	2π eE		0	2	< j \|e p\|i >	2	δ(E j − Ei − ω) .	(15.14)


		mω

Енергія, що поглинається завдяки такому переходу, є добутком цього темпу переходу та енергії фотона, що поглинається ω. Крім того, ми

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

100

маємо домножити цю величину на Фермі-фактор F(Ei ) , що визначає заповнення вихідного стану і, та [1 − F(E j )], що відповідає умові, за якої

кінцевий стан j незаповнений. Таким чином, електронна система поглинає в одиницю часу енергію

	2π	ω∑	eE0	2	< j \|e p\|i >	2
	2π		eE0	2		2
P+ = 2							F(Ei ) 1	− F(E j )	δ(E j − Ei − ω). (15.15)
		i, j	mω

Фактор 2 перед знаком суми відповідає подвійному виродженню за спіном при переходах, коли спін зберігається. Крім поглинання фотона, можуть відбуватись процеси емісії (оскільки поле має як доданок з

експонентою e−iωt			так і eiωt ). Цейвнесок має вигляд, аналогічний до P+,
але із частотою -ω				2
	2π	ω∑	eE0		< j \|e p\|i >	2
	2π		eE0			2
P− = −2							F(Ei ) 1	− F(E j )	δ(E j − Ei + ω).
		i, j	mω

Цей вираз можна привести до вигляду, аналогічного (15.15). Для цього необхідно замінити індекси підсумовування, і, таким чином, аргумент у δ-функції привести до такого самого вигляду, як і в (15.15)

P− = −2	2π	eE	0	2	< j \|e p\|i >	2	F(E j )[1	− F(Ei )]δ(E j − Ei − ω). (15.16)

		ω∑
		i, j mω

Ми використали, що < i|e p|j > 2 = < j |e p|i > 2 . Таким чином, пов-

ний темп зміни енергії при поглинанні світла дорівнюватиме сумі P = P+ − P− . Беручи до уваги рівність

		− F(E j )[1 − F(Ei )] = F(Ei ) − F(E j )
F(Ei ) 1	− F(E j )	− F(E j )[1 − F(Ei )] = F(Ei ) − F(E j )

і використовуючи (15.15) та (15.16), можна записати цю суму у вигляді

P =	4π	eE0	2		< j \|e p\|i >	2

		ω		∑			F(Ei )− F(E j )	δ(E j − Ei − ω). (15.17)
		mω		i, j

Згадаємо визначення коефіцієнта поглинання світла α як енергію зовнішнього випромінювання одиничної амплітуди, що поглинається одиницею об'єму системи в одиницю часу. Таким чином, величина

α = 4πω∑	< j \|e D\|i >	2		δ(E j − Ei − ω)	(15.18)

			F(Ei ) − F(E j )
i, j

і визначає коефіцієнт поглинання світла. При запису (15.18) було використано, що p = −iωmr і принцип відповідності. Крім того, введено оператор дипольного моменту D = er .

101	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

15.3. Механізми поглинання світла напівпровідниками

Процеси поглинання світла напівпровідниками можна класифікувати за характером витрати енергії поглинутих фотонів. На цій пі д- ставі можна виділити такі механізми поглинання світла об'ємом напівпровідника:

міжзонне поглинання, за якого енергія фотона витрачається на генерацію електронно-діркової пари. При цьому поглинання відбувається суттєво різними шляхами у прямозонних і непрямозонних напівпровідниках;

екситонне поглинання, за якого енергія поглинутого фотону витрачається на створення специфічного збудженого стану у напівпровіднику – екситону;

поглинання вільними носіями заряду, за якого енергія поглинутого фотона витрачається на утворення високочастотних струмів у системі носіїв заряду у зонах – електронів у зоні провідності та дірок – у валентній зоні;

домішкове поглинання, за якого енергія фотона витрачається на іонізацію або збудження домішкових центрів;

поглинання ґраткою, за якого відбувається поглинання фотонів зі збудженнями фононної підсистеми (ґратки).

Розглянемо детально ці механізми поглинання світла напівпровідником.

15.3.1. Власне поглинання за прямих переходів

За міжзонного поглинання у напівпровіднику у формулі (15.18) за енергію початкового стану Ei маємо вважати енергію валентної зони

EV (kv ), а за енергію кінцевого стану

E j

– енергію зони провідності

EC (kc ). Крім того,

замість матричних елементів < i|e D|j > необ-

хідно записати матричні елементи < v,kv |e D|c,kc >,

які визнача-

ються на хвильових функціях електрона в кристалі

= (1/

(r)ei kv r ,

= (1/

(r)ei kc r ,

c,k

v,k

max

c,k

min

де uv,kmax

та uc,kmin

- блохівські функції електронів із валентної і зони

провідності, відповідно. Для прямозонних напівпровідників максимум валентної зони і мінімум зони провідності відповідають одному й тому

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

102

самому хвильовому вектору k0 . Таким чином, для матричного елемента запишемо

< v,k	\|e D\|c,k	c	> = (1/V )∫dru*		,k0	e	−i kv r (e D)u			ei kc r =
v		c		v	,k0			c,k0
	= (1/V )∑e−i(kv			−kc )Ri ∫ dru*			,k0	(e D)u	,	(15.19)
			Ri	Ω		v	,k0	c,k0
			Ri	Ω

де інтегрування ведеться за об'ємом елементарної комірки. Дуже важливим моментом при цьому є той факт, що ці інтеграли не залежать від номера комірки

∫	druv*,k (e D)uc,k	c	= Ω (e Dvc ) ,	(15.20)
Ω	v	c
Ω

де Dvc – матричний елемент оператора дипольного моменту на бло-

хівських функціях. Застосуємо тепер правило підсумовування за комірками кристала

Ω	∑e−i(kv −kc )Ri = δk ,k		.	(15.21)
V	Ri	c
	v	c

Використовуючи (15.20) та (15.21), для матричного елемента (15.19) маємо

< v,k \|e D\|c,k	c	>	2 =(	e D )	2 δ	k	.	(15.22)
< v,k \|e D\|c,k		>	2 =(	e D )	2 δ		.	(15.22)
v				cv			,k
						v	c

У граничному випадку V→ ∞ можна зробити заміну V δkv ,kc → δ(kc − kv ) .

Із (15.22), зокрема випливає, що фотопереходи відбуваються при задоволенні правил відбору

kv = kc .

(15.23)

Беручи до уваги (15.22), запишемо для коефіцієнта поглинання (15.18)

α = 4πω (e Dc,v )2 kv∑,kc δkv ,kc [F(Ec (kc )) − F(Ev (kv ))]δ(Ec (kc ) − Ev (kv ) − ω) =

= 4πω	(e D	)	2 ∑[F (E	c	(k))− F (E	(k))]δ(E	c	(k)− E (k)− ω)

	c,v		k		v			v

Зазначимо, що правила відбору(15.23) відображають закон збереження імпульсу, а наявність дельта-функції під знаком суми – закон збереження енергії за процесів поглинання світла напівпровідником. Для подальшого аналізу коефіцієнта поглинання перейдемо від підсумовування за хвильовими векторами до інтегрування згідно із правилом

∑... →	V	∫dk....
	3
k	(2π)

Маємо

103	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

α = 4ω (e Dc,v )2 (2Vπ)2 ∫dk [F(Ec (k)) − F(Ev (k))]δ(Ec (k) − Ev (k) − ω). (15.24)

Запишемо закон збереження енергії за фотопереходу (тільки в цьому випадку інтеграл в правій частині (15.24) не є нулем)

Ec − Ev = ω..

(15.25)

Беручи до уваги (15.23), запишемо kv = kc = k. Оскільки розглядаються прямі переходи, то можна записати

− E

= E0

2k2

−

2k2

= E

2k2

. (15.26)

Підставляючи (15.26) до формули закону збереження (15.25) і вводячи зведену масу

m	=		memh	,		(15.27)

r		me + mh

отримаємо
k =					.
		2mr ( ω − Eg )				(15.28)

Таким чином, можна вважати, що аргументи у функціях розподілу електронів у валентній зоні та зоні провідності залежать від частоти, а не від хвильового вектора. Тоді можна замість (15.24) записати

α = 2ω (e Dc,v )2 [F(Ec (ω))− F(Ev (ω))](2Vπ)2 ∫dkδ(Ec (k)− Ev (k)− ω). (15.29)

Введемо тепер ефективну (міжзонну) щільність станів, що визначає кількість станів електрон-діркової системи, яка взаємодіє із фотонами

у частотному діапазоні [ω, ω + dω]

ρ(ω) =	V	∫dkδ(Ec (k)− Ev (k)− ω).	(15.30)
	2
	(2π)

Неважко побачити із точністю до перепозначень, що ця щільність станів є точно такою самою, яку ми вводили у розд. 8 (див. 8.2). Дійсно, зважаючи на те, що аргумент дельта-функції дорівнює нулю лише у випадку виконання закону збереження енергії

ω = Eg +	2k2	+	2k2	= Eg +	2k2	,
	2m*		2m*
					2mr
	e		h

де mr = (1/me* +1/mh* )−1, отримаємо, що міжзонна щільність станів у випадку квадратичного закону дисперсії

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

104

ρ(ω) =	(2mr2)3/22 ( ω − Eg )1/2 ,	ω > Eg .	(15.31)
	2π

У результаті маємо, що коефіцієнт поглинання світла за його взаємодії із напівпровідником

α = 4ω	(e D	)	2 ρ(ω)[F(E	(k)) − F(E (k))],	(15.32)

	c,v		c	v

із хвильовим вектором k, що визначається (15.28). Підставляючи сюди щільність станів (15.31), отримуємо частотну залежність коефіцієнта поглинання

α(ω) = P ω ( ω − E	g	)1/2 [F(E	) − F(E	)],	(15.33)
	g	c	v

де P – матеріальна константа, що визначається через матричний елемент оператора дипольного моменту, а енергії Ec та Ev задовольняють

закону збереження (15.25). Таким чином, для прямих міжзонних переходів поведінка коефіцієнту поглинання на краю смуги поглинання, а

саме в області ω ≥ Eg , визначається щільністю станів поблизу Eg .

Поглинання світла із частотою, меншою за ширину забороненої зони, не відбувається. А край смуги поглинання із низькочастотного боку має бути різким. Зрозуміло, що у реальних ситуаціях через наявність

α2	дефектів цей край буде розмитий, і графік за-
	лежності квадрата коефіцієнта поглинання від
	частоти падаючого випромінювання матиме
	вигляд, що поданий на рис. 15.4. Оскільки залеж-
	ність α2(ω) буде лінійною, подовження цієї

Рис. 15.4. Залежність квадрата коефіцієнта поглинання від енергії фотона для прямих міжзонних переходів

прямої до її перетину із віссю ω дозволяє визначити ширину забороненої зони для прямих переходів. При обчисленні коефіцієнта поглинання для реальних напівпровідників варто брати до уваги переходи між всіма парами енергетичних зон, в яких наявні стани, розді-

лені енергією ω. Наприклад, у напівпровідниках зі структурою цинкової обманки (GaAs) для енергій фотона, що незначно перевищують ширину забороненої зони, необхідно враховувати чотириразове виродження валентної зони

при k = 0, проводячи підсумовування за зонами легких і важких дірок.

105	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

15.3.2. Власне поглинання за непрямих переходів

Як згадувалось вище, більшість напівпровідників характеризується тим, що максимальне та мінімальне значення валентної зони та зони провідності рознесені у зоні Брилюена на деякий вектор q. Зрозуміло, що тепер для виконання умов збудження електрона із валентної зони

до зони провідності з енергіями ω, що незначно перевищують ширину забороненої зони Eg , набагато складніше задовольнити закон

збереження імпульсу. Для цього у процесі поглинання має бути додатково задіяний інший, крім фотона та електрона, агент, яким у кристалах зазвичай виступають фонони. Отже непрямі (невертикальні) переходи відбуваються із поглинанням або висиланням фононів. Такі переходи визначають поглинання, розташоване із довгохвильового боку від границі власного поглинання за прямих переходів. У напівпровідниках із непрямими переходами при обчисленні коефіцієнта поглинання для врахування взаємодії електронів як з фотонами, так і з фононами, необхідно застосовувати теорію збурень другого порядку. Як наслідок, повний розгляд ймовірності переходу виявляється набагато складнішим за той, що ми проводили раніше. Тому обмежимось коротким викладенням ідеї такого розгляду і зупинимось на якісному характері ефектів поглинання.

E				У напівпровідниках із непрямими
				долинами можливі непрямі переходи

-				із будь-якого зайнятого стану вален-
		2'		тної зони до будь-якого вільного стану
		-		зони провідності. Головною умовою
Eg	1'			такого процесу є виконання законів
		T		збереження енергії та імпульсу. Розг-
+
		1''		лядаючи	поглинання	за	непрямих
				переходів, вважатимемо, що перехід
		2''		(Т на рис. 15.5) відбуватиметься через
		+		ряд проміжних станів, які можна
			k	вважати віртуальними, тобто такими,
		kmin		що мають нескінченно малий час
				життя. Це припущення дозволяє нех-
Рис. 15.5. Власне поглинання світла				тувати законом збереження енергії на
за непрямих переходів				кожному із проміжних етапів. Але, зро-
зуміло, що для сумарного процесу закон збереження енергії має вико-
нуватись. Припустимо, що процес переходу електрона із максимуму
валентної до мінімуму зони провідності відбувається із поглинанням або
висиланням одного фонону. Такий процес може відбуватись двома
шляхами.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

106

Спочатку електрон, що перебуває у стані k = 0 поблизу стелі валентної зони, завдяки збудженню світлом, переходить до зони провідності у стан, що характеризується тим самим хвильовим вектором (перехід 1'). У валентній зоні , завдяки такому переходу, з'являється дірка. Електрон, що перебуває у стані k = 0 у зоні провідності, має більшу енергію, ніж енергія дна зони провідності. Тому він за дуже малий проміжок часу перейде у стан, що відповідає мінімуму зони провідності (перехід 2' до стану kmin), поглинаючи чи випромінюючи при цьому фонон.

Інший шлях починається з того, що електрон із глибокого рівня у валентній зоні вертикально переходить до стану kmin зони провідності (перехід 1''). Глибоко розташована дірка із валентної зони при цьому перейде до більш енергетично вигідного стану валентної зони k = 0 (перехід 2''). Припустимо, що початкова енергія електрона у валентній зоні – E, а енергія електрона у кінцевому стані – E'. Енергія фонона, який бере участь у додатковому розсіюванні електрона за оптичного поглинання, позначимо через Eph. Тоді у випадку переходу із поглинанням фонона закон збереження енергії вимагає умови

ω = E′ − E − Eph .

(15.34)

У випадку переходу із випромінюванням фонону закон збереження енергії має вигляд

ω = E′ − E + Eph .

(15.35)

Аналогічно тому, як визначався коефіцієнт поглинання за вертикальних переходів, можна вважати, що коефіцієнт поглинання світла визначається як інтеграл за всіма можливими парами станів, які розділені енергетичним зазором

E′ − E = ω ± Eph

(15.36)

від ймовірності переходу. Ця ймовірність пропорційна добутку матричного елемента на дельта-функцію, що визначає закон збереження енергії за поглинання. При цьому, на відміну від попереднього випадку (див. (15.22)), у першому наближенні цей матричний елемент можна вважати незалежним від k і k', тобто, якщо відлік енергії вести від дна зони провідності, то

					′		′	− ω ± Eph ),			(15.37)
				α = A∫dk∫dk δ(E − E				− ω ± Eph ),			(15.37)
де		А – стала.	У	наближенні		сферичних			зон d3k ~ E1/2dE, а
3	′	′1/2	dE	′
d k		~(−Eg − E )	dE	. Тоді
				1/2	′		′	) δ(E − E	′	− ω ± Eph ).	(15.38)
		α ~ A∫dE(E )			∫dE (−Eg − E			) δ(E − E		− ω ± Eph ).	(15.38)

107	Розділ 15. ОПТИКА НАПІВПРОВІДНИКІВ

Звідси, знімаючи інтегрування за допомогою дельта-функції, дістанемо

ω Eph −Eg
α ~ A ∫	dE(E )1/2(−Eg − E + ω Eph )1/2.	(15.39)
0

Для обчислення цього інтеграла перейдемо до нової змінної x = E /E ,

де E = ω Eph − Eg

	1
	α ~ A (E )2 ∫dx(x)1/2(E − x)1/2 .			(15.40)
	0
Інтеграл є бета-функцією від аргументів 3/2, 3/2, яку можна				виразити
через гамма-функції	B (3 2,3 2) = Γ(3 2)Γ(3 2) /Γ(3) = π/8			. Тоді

	α ~ A	π	( ω Eph − Eg )2 .	(15.41)
	α ~ A		( ω Eph − Eg )2 .	(15.41)
	8

Процес поглинання світла із поглинанням фонона пропорційний функції розподілу фононів Nq, а процес, що проходить із випромінюванням фонона – пропорційний Nq + 1. Таким чином, за частоти зовнішнього випромінювання, що задовольняє умові ω > Eg − Eph , поглинання

світла за непрямих переходів відбувається із додатковим поглинанням фонона, і коефіцієнтом поглинання є

α ~ Nq ( ω + Eph − Eg )2.	(15.42)
Коефіцієнт поглинання світла із висиланням фонона
α ~ (Nq +1)( ω − Eph − Eg )2 .	(15.43)

Такий процес може відбуватись, якщо частота світла задовольняє умову ω > Eg + Eph . Більш того, у випадку ω > Eg + Eph поглинання

світла може відбуватись як із поглинанням, так й із висиланням фонона, тому для коефіцієнта поглинання маємо

α ~ Nq ( ω + Eph − Eg )2	+ (Nq +1)( ω − Eph − Eg )2.		(15.44)
Всюди у цих формулах	1
Nq =		.	(15.45)

eEph /kT −1

Із (15.42–15.44), зокремавипливає, що на відміну від прямих переходів, де слабка залежність від температури зумовлена залежністю Eg (T ), не-

прямі переходи завдяки участі фононів демонструють додаткову експоненціальну залежність від температури завдяки залежності Nq (T ).

За низьких температур при значеннях коефіцієнтів поглинання

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

108

~10 cм–1 у спектрі поглинання спостерігається структура, пов'язана із розсіюванням на повздовжніх і поперечних оптичних фононах, а також із міждолинними переходами із додатковим розсіюванням на акустичних фононах. Як випливає із (15.42) та (15.43), графік залежності α1/2 від ω має дві прямолінійних ділянки (рис. 15.6). Пряма 1 характеризує поглинання світла із висиланням фонона, і якщо її подовжити до

перетину із віссю ω, перетинає вісь у точці ω = Eg + Eph . Пряма 2,

що характеризує поглинання світла із додатковим поглинанням фонона, перетинає вісь ω у точці ω = Eg − Ep . Довжина відрізку між

α1/2				цими точками дорівнює 2Eph . Зі
		T1		зниженням температури графік за-
				лежності α1/2 зсувається у бік біль-
		1	T2	ших значень ω, що відбиває тем-
				пературну залежність ширини за-
			1	бороненої зони, а нахил прямої 2
				прямує до нуля, оскільки за низьких
	2			температур збуджується дуже мала
	2	2		кількість фононів, і переходи із по-
			ω	глинанням фонона стають малоймо-
Eg −Eph		Eg + Eph	ω	вірними. Характерні значення кое-
Eg −Eph		Eg + Eph		фіцієнта	поглинання	для прямих
Рис. 15.6. Залежність α1/2 від частоти				міжзонних	переходів	становлять
Рис. 15.6. Залежність α1/2 від частоти				104–105 cм–1, а для непрямих між-
	зовнішнього випромінювання			104–105 cм–1, а для непрямих між-
	за різних температура (Т1 > T2)			зонних переходів – α 10−1 −103 см-1.

15.3.3. Екситонне поглинання

Поглинання світла напівпровідником може відбуватись шляхом такого збудження електрона валентної зони, за якого він не переходить до зони провідності, а утворює із діркою зв'язаний стан, який можна розглядати як деяку квазічастинку. Оскільки електрон і дірка характеризуються напівцілим спіном та є ферміонами з антипаралельними спінами, то нова квазічастинка характеризуватиметься нульовим спіном, тобто підлягатиме статистиці Бозе. Така частинка називається екситоном, і, оскільки зв'язаний стан електрона та дірки має меншу енергію за енергію забороненої зони, то екситонне поглинання має

спостерігатись за енергій фотона, менших від Eg.

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 7242 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019176.13 Кб6OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб13OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб5OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
01.07.202582.43 Кб1Oformlenja DP.doc
#
19.03.201513.24 Mб68OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб20Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб13Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб211OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc