Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 7254 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

218

16.4.2. Щільність станів електронів у квантових ямах

Важливою характеристикою квантової системи є кількість станів, що приходиться на інтервал енергії (E, E + δE),

ρ(E) = 2∑δ(E − En ).	(16.61)
n

Фактор 2 враховує, що кожен зn рівнів в ямі дворазово вироджений за спіном. Рух електронів у квантовій ямі є тривимірним. Цей факт віддзеркалює закон дисперсії (16.42), що пов'язує двовимірний рух у площині ями із рухом поперек ями: двовимірна підзона, що репрезентує рух у площині ями, може бути пов'язана із кожним із квантових зв'я- заних станів в ямі. Щільністю станів у цьому випадку є

	2k2
ρ(E) = 2 ∑ ∑δ E− n −		.	(16.62)
ρ(E) = 2 ∑ ∑δ E− n −	2m*	.	(16.62)
kxky n	2m*

Площу зразка приймаємо великою, тобто можемо використовувати циклічні умови Борна-Кармана для координат x та y. Знаходимо

kx	= m	2π , ky = n	2π .	(16.63)
		Lx	Ly

З іншого боку, великі значення планарних розмірів ями дозволяють використати правило заміни суми на інтеграл

∑

(kx ,ky ) →

Lx Ly

∫dkxdky f (kx ,ky ).

(16.64)

kxky

4π

Тоді для щільності станів маємо

(kx2 + ky2 )

ρ(E) =

∑

∫dkxdky δ E− n

−

(16.65)

2π2

2m *

Як обчислюються інтеграли типу (16.65)? Розглянемо інтеграл

j = ∫dxdyδ(ε − ax2 − ay2 ).

(16.66)

По-перше, зазначимо, що при ε < 0 і a > 0 інтеграл (16.66) тотожно дорівнює нулю. У випадку, коли ε > 0 скористуємось відомими формулами

δ(A2 − X 2 ) =	1	[δ(X − A) + δ(X + A)],	(16.67)
	2A

219

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

та

δ(ax) = 1 δ(x) .

(16.68)

Тоді замість (16.66) маємо

j = ∫dydx 1δ(ε/a − x2 − y2 ) =

= 1

dx δ(x −

)+ δ(x +

)

.(16.69)

∫

ε/a − y2

2 ε/a − y2

Оскільки аргумент дельта-функції у другому доданку підінтегральної функції у (16.69) може дорівнювати нулю лише за x < 0 , а у першому доданку за x > 0 , то обидва доданки при інтегруванні дають по од и- ниці, оскільки y змінюється у всьому діапазон [−∞,+∞]. У результаті дістаємо

j =	1	∫dy	1		.	(16.70)
	a
			ε/a	− y2

Для обчислення цього інтегралу необхідно визначити межі інтегрування. Виходитимемо з таких міркувань. Аргумент у дельта-функції у (16.69) може дорівнювати нулю лише за виконання умови

ε/a − y2 ≥ 0 ,

(16.71)

або −ε/a ≤ y ≤ ε/a . Тоді маємо

ε/a

j =

a ∫

arcsin

ε/a − y2

ε/a

− ε/a

−

ε/a

Пам'ятаючи, що у цій формулі a = 2 /2m* , отримаємо остаточно

ρ(E) = m*S ∑ϑ(E− n ) ,

2π n

де ϑ(x) – функція Хевісайда

1 ,		x > 0
ϑ(x) =	0 ,	x < 0

(16.72)

(16.73)

(16.74)

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

220

Таким чином, щільність станів носіїв

ρ2D (E )

у квантовій ямі є східцеподібною

(рис. 16.13). Часто застосовують щіль-

ρ3D (E )

ність станів на одиницю площі. При

цьому

залежність від

геометричних

розмірів системи у площині двови-

мірного шару зникає. Кожний дода-

3ζ

нок у

(16.73) відповідає внеску

від

2ζ

окремої підзони, тобто щільність

станів

двовимірного

електронного

газу являє собою східцеподібну за-

лежність, яка із кожною сходинкою

Рис. 16.13. Щільність станів

пов'язана з енергією n . Порівнюючи

двовимірного електронного газу

щільність станів для тривимірного та

у глибокій прямокутній потенціальній

ямі.

ζ = m* /π 2

двовимірного електронного газу, бачи-

мо, що відмінність максимально виявляється для нижчих підзон. Зі

зростанням номера підзони ця відмінність стає все меншою та майже

зникає за великих значень n. Такі зміни у поведінці щільності станів

двовимірного електронного газу є наслідками одновимірного кон-

файнменту або прямими наслідками низької розмірності системи. Ці

зміни можуть спричиняти істотні зміни у поведінці електронів. У ре-

альних системах кожна сходинка функції (16.74) згладжується за р а-

хунок розсіювання на дефектах. Цей ефект добре описує емпіричне

правило, згідно з яким функція Хевісайда замінюється на

(E−

)

ϑ(E − En ) →

+ Arctg

(16.75)

із параметром поширення Γn . Оскільки, як видно із (16.73),

ρ(E) = 0 при

E < 1 , і якщо для об'ємного матеріалу з енергетичною щілиною Eg

поглинання світла можливе лише при ω ≥ Eg ,

то завдяки нерівності

1 (L) ≥ Eg для квантової ями край смуги поглинання буде зсунутий до

синьої області. Цей зсув залежить від ширини ями та може варіюва-

тись від нуля до кількох сотень міліелектронвольт.

221	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

16.5. Поперечний транспорт через подвійну гетероструктуру

Розглянемо поперечний рух електронів у подвійній гетероструктурі GaAs-AlGaAs-GaAs, де два шари напівпровідника GaAs розділені ша-

ром сполуки AlGaAs, яка характеризу-

ється широкою забороненою зоною так,

що можна вважати, що електрон рух а-

ється у полі прямокутного потенціального

бар'єру (рис. 16.14). Використовуючи

метод Т-матриці (див. додаток І),

обчис-

лимо коефіцієнт проходження частинкою

прямокутного бар'єру. Припустимо, що E

Vb. Оскільки потенціал ліворуч і пра-

–a/2

a/2

воруч бар'єра дорівнює нулю, то в обох

Рис. 16.14. Прямокутний

цих областях хвильові вектори

потенціальний бар'єр

k =

2m*E / 2

(16.76)

Т-матрицю будуємо у дві стадії. Спочатку запишемо матрицю переходу з області 1 (z < −a /2 ), що характеризується хвильовим вектором k, до

області 2 (−a /2 ≤ z ≤ a /2 ), яка характеризується хвильовим вектором

k =	2m*(E −V )/ 2	,	(16.77)
b	b

а далі, використовуючи головну властивість методу Т-матриці, матрицю переходу із області 1 до області 3 (z > a /2 ) як добуток матриць T21 і T32.

Беручи до уваги, що границі бар'єрних областей лежать не на початку координат, використовуємо формули (І.11) і (І.18) із додатку І. Маємо

e−ika /2

T(31) =

× eikba /20

Зауважимо, що

	0		eikba /2
		T(32)
e	ika /2			0
e				0

	0		e−ika /2
		T(21)
e	−ikba /2			0
e				0

	0			×
	−ik ba /2			×
e	−ik ba /2
e
		0		(16.78)
		0
		ika /2	.
	e	ika /2
	e

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

222

eikba /2

eikba

−ikba /2

+ k

− k

T(21) =

− k

+ k

(32)

1 kb + k

−kb + k

та

−kb + k

kb + k

0		, (16.79)
e−ikba		, (16.79)
e−ikba
		(16.80)

(16.81)

Виконуючи операцію прямого матричного добутку, отримаємо, що

(2kkb coskba + i(k

−ika

(31)

+kb )sinkba)e

−i(k

−kb )sinkba

2kk

ika

i(k

−kb )sinkba

(2kkb coskba −i(k

+kb )sinkba)e

Неважко бачити, що для отриманої матриці det|T|=1. Тоді, згідно із

загальними принципами Т-матриці (див. додаток І), амплітуда хвилевої функції частинки, що пройшла перешкоду, визначається величиною

det\|T\|			2kk e−ika
t = T22	=		b			,	(16.82)
t = T22	=	2kk	cosk a − i(k2	+ k2 )sink a		,	(16.82)
		b	b	b	b

а коефіцієнт проходження (за потоком) – квадратом модуля t (з обох боків бар'єру хвильові числа однакові)

		V	2	−1
		V
T = 1	+	b		sin2 kba	, E >V .	(16.83)
T = 1	+	4E(E −Vb )		sin2 kba	, E >V .	(16.83)
		4E(E −Vb )			b

Формулу, аналогічну (16.83) легко отримати й для випадку E <Vb . Для

цього у (16.83) необхідно замінити k

→ i

(V − E )/

. Тоді

= ik

−1

T = 1

sinh

kba

,E <V

(16.84)

4E(Vb − E)

У випадку, коли kba є дуже великою, тобто або енергія бар'єру велика, або великою є його ширина, у (16.84) основну роль відіграватиме експонента гіперболічного синусу, що дасть

223	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи
	T	16E e−2kba .	(16.85)
		Vb

Таким чином, ми отримали загальновідому оцінку ймовірності туне-

лювання через будь-який бар'єр ~ e−2kba . На рис. 16.15 подано залежність коефіцієнта проходження бар'єру висотою 0,3 eВ завширшки 10 нм у GaAs. Він якісно відрізняється від класичного випадку, де коефіцієнт проходження дорівнює 1 при E >Vb і 0 при E <Vb . Звернемо увагу

також на осциляції коефіцієнта, які особливо яскраво виявляються за енергій, що ненабагато перевищу-

ють Vb.

Таким чином, у планарних нанорозмірних системах слід очікувати специфічних ефектів у поперечному транспорті, що пов'язані з виявленням квантової природи руху носіїв у неоднорідних системах на відстанях порядку довжини хвилі де Бройля структурах – квантових ямах і бар'єрних структурах.

Далі розглянемо цікаві ефекти, обумовлені квантовою інтерференцією, які можна спостерігати у подвійних бар'єрних структурах.

Т(Е)
1.0
0.5
0		0.6	Е, еВ
0	0.3	0.6	Е, еВ

Рис. 16.15. Коефіцієнт проходження квантової частинки (червона крива)

бар'єрної області (0.3 еВ) завширшки

10 нм у подвійній гетероструктурі

GaAs-AlGaAs-GaAs.

Синім показано коефіцієнт проходження у класичному випадку

16.6. Резонансне тунелювання

Розглянемо квантову яму між двох бар'єрів, що може, наприклад бути утворена к структурі із тонкого шару напівпровідника (GaAs), оточеного з обох боків товстими шарами AlGaAs, які відіграють роль бар'єрних структур. Згадаємо, що у випадку, коли обидві бар'єрні об -

Рис. 16.16. Одинична квантова яма

ласті є нескінченними у просторі (рис. 16.16), маємо одиничну квантову яму, в якій існують локалізовані рівні (перший із них і відповідну хвильову функцію подано на рисунку). Коли бар'єрні області починають стискатися і стають порівняними із розмірами ями, виникає істот-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

224

но інша ситуація: замість фіксованого локалізованого рівня – вузька смуга невизначених станів, оскільки електрон може тунелювати через бар'єри і покинути яму. Однак якщо товщина бар'єрів є досить великою, електрон може лишатися в ямі досить довго. Такий стан електрона є резонансним або квазізв'язаним. Енергію такого стану неможна точно

визначити, вона розмита у деяку зону ∆ шириною /τ , де τ – час

життя електрона в ямі. Резонансні стани можна просто описати у термінах коефіцієнтів проходження. Загалом ймовірність проходження частинкою двох бар'єрів Т грубо можна представити як добуток коефіцієнтів проходження кожного із бар'єрів окремо. Поблизу резонансу коефіцієнт проходження Т значно зростає та досягає одиниці, якщо структура стає симетричною – маємо резонансне тунелювання. Цей ефект спостерігається експериментально у широкому диапазоні частот: від мікрохвильового до оптичного (широковідомий еталон Фабрі-Перо).

Для пояснення механізму резона-			a
нсного тунелювання обчислимо кое-				TR
			TL
фіцієнт проходження частинки в од-

новимірній	резонансній	структурі	∆
(рис. 16.17). Нехай правий бар'єр хара-
ктеризується	амплітудами	проход-
ження та відбиття tR і rR , відповідно.			Рис. 16.17. Розмивання
Ці коефіцієнти залежать від хвильо-
			локалізованого рівня у вузьку зону
вого вектора, отже – від параметрів			у двобар'єрній структурі
ями та енергії частинки. У системі ко-
ординат, початок якої збігається із серединою ями, матриця переходу
за руху частинки із ями через бар'єр праворуч має вигляд

TR(32)		*	*	*	(16.86)
TR(32)	=	1/tR	−rR	/tR .	(16.86)
		−rR /tR	1/tR

Оскільки ми розглядаємо електрон, що перебуває в ямі, та обчислюємо ймовірності для його переходу з області ями до області правого або лівого берегів приладу, то лівий бар'єр характеризуватимемо амплітудами переходів із ями через область лівого бар'єру. У такому разі для матриці переходу з лівого берега приладу до ямної області маємо використовувати інверсну матрицю переходу

T(21)		1/t*	r /t
T(21)	=	L	L		L
L	r * /t*		1/t		.	(16.87)
		L L		L

225	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

Тоді, маючи на увазі, що потенціальні бар'єри зсунуті на величину

± a/2, запишемо, використовуючи матриці зсуву (див. додаток І), матрицю переходу із лівого берега системи на правий

−ika /2

ika /2

T(31)

= e

1/tR

−rR

/tR

ika

−r

1/t

−ika /2

eika /2

1/t*

e−ika /2

eika

e−ika /2 r * /t*

1/t

L L

Прямий добуток цих матриць дає

T(31)

(1 − r*r*e−2ika )/t*t*

eika − r*e−ika )/t* t

L R

ika

2ika

(16.88)

−ika

− rRe

(1 − rLrRe

)/tl tR

(rLe

)/tLtR

Амплітуда хвилі частинки, що пройшла бар'єрну область, дорівнює 1/T22 (див. додаток І), тобто

t =		tLtR
			.	(16.89)
	1	− r r e2ika
		L R

Для подальшого аналізу запишемо комплексні амплітудні коефіцієнти відбиття у полярній формі, ввівши їхні фази ρR і ρL, тобто

t =	tLtR		(16.90)

	1−\|rL \|\|rR \|e	2ika+iρL +iρR

Оскільки квадрати модуля амплітудних коефіцієнтів проходження та відбиття дають коефіцієнти проходження та відбиття за потоком, маємо із (16.90)

T =

tLtR

TLTR

, (16.91)

1−|rL ||rR |e

2ika+iρ

+iρ

+ RR RL −|rR ||rL |(e

iφ

+ e

−iφ

)

де φ = 2ka + ρL + ρL .

Оскільки cosφ =1− 2sin2 φ/2 , то перепишемо цю

формулу у вигляді

TLTR

T =

(16.92)

(1−

)2 + 4

sin2 φ/2

В отриманому виразі всі величини залежать від енергії, й аналізувати поведінку коефіцієнта проходження як функції енергії – досить непроста справа. Але якщо взяти до уваги, що поблизу резонансу найбільш швидко змінюється фаза хвилі між бар'єрами, можна припус-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

226

тити, що коефіцієнт проходження досягає пікової величини, коли фаза задовольняє умові резонансу: φ = 2nπ . У цьому випадку

T =			TLTR
						.	(16.93)
	(1	−			2

				RL RR )

Використаємо той факт, що в реальних двобар'єрних системах коефіцієнти проходження є малими величинами. Маємо

	2			2						1			2		1	2
	2	= (1 −	(1 −TL )(1 −TR ))	2				−		1			2		1	2
(1 − RL RR )		= (1 −	(1 −TL )(1 −TR ))		≈ 1 − 1			−		2		(TL + TR )		=	4	(TL + TR )
										2					4
Тоді (16.93) можна переписати у вигляді
			T = Tph		≈	4TLTR					.					(16.94)
			T = Tph		≈					2	.					(16.94)
						(T	+ T		)
						L	R

Зауважимо, що умова резонансного переходу через двобар'єрну область

2ka + ρL + ρR = 2nπ

(16.95)

є умовою інтерференції хвилі в ямі. Дійсно, розглядаючи електрон як хвилю, що проходить через бар'єри, можна вважати, що він додає до своєї фази величину ka при проходженні ями в кожному напрямку із додаванням фази ρL і ρR за відбиття від бар'єрів. Якщо бар'єри є однаковими, величина коефіцієнту проходження може за резонансу досягати одиниці (див. (16.94) при ТL = T R). Вважаючи індивідуальні коефіцієнти проходження через бар'єри малими, із (16.92) отримаємо

T T

sin2

−1

T ≈

L R

= Tph 1

(16.96)

+ T )2

/4 + 4sin2

φ/2

+ T )2

Аналізуючи цю формулу, зазначимо, що завдяки коефіцієнту перед синусом другий доданок у квадратних дужках може бути домінуючим, якщо синус не дуже малий. Покладемо, що типовою величиною для синуса є ½. Тоді із (16.96) отримаємо, що T ≈ (TLTR)/2. Маємо тривіальний результат: коефіцієнт проходження через дві перешкоди є добутком коефіцієнтів переходу через кожну із перешкод. Але у випадку рез о-

нансу ситуація істотно змінюється. Нехай φ = 2nπ + δφ . Розкладемо праву частину (16.96) за малим параметром δφ

227

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

4(δφ)2

−1

Tph

2 ,

(16.97)

≈ Tph 1 +

+ T

)

δφ

1 +

φ0 /2

де φ0 = TL + TR. Видно,

що при δφ = ±φ0

коефіцієнт проходження змен-

шується вдвічі порівняно із максимальним значенням Tph, тобто φ0 –

напівширина Лоренцевого піку за резонансного тунелювання. Перей-

демо до залежності від енергії і запишемо

Γ = dE dk

φ0 =

v (TL + TR ).

(16.98)

dk dφ

Вважаючи, що в основному фаза частинки змінюється при прохо-

дженні області ями, ми ввели швидкість електрона за його руху між

бар'єрами. Тоді із (16.97) маємо

2 −1

E − Eph

T (T ) ≈ Tph

(16.99)

Г/2

де Eph – енергія, за якої відбувається резонансне тунелювання.

На рис. 16.18 подано поведінку

Т(Е)

коефіцієнта

проходження двоба-

р'єрної області за резонансного

1.0

тунелювання для системи

AlGaAs-GaAs-AlGaAs

із двома однаковими

бар'єрами,

0.5

де Eph = 0.05 eВ, Γ = 0.01 eВ. Вид-

но, що поведінка коефіцієнта

проходження має яскраво вира-

жений

резонансний

характер.

2.5

7.5

× 10–2 еВ

Резонансна

залежність коефіціє-

нта проходження дозволяє споді-

Рис. 16.18. Залежність коефіцієнту

ватись на можливість отримання

проходження частинкою двобар'єрної

системи з нелінійними вольт--

структури від енергії частинки.

амперними

характеристиками.

Резонансне тунелювання

Такий ефект можна застосувати

при побудові електронних приладів, наприклад тунельного діода. Ро-

зглянемо гетероструктуру, що містить дві бар'єрні області, розділені

шаром напівпровідника, який утворює квантову яму. Енергетичну

діаграму розглянутої структури подана на рис. 16.19. У випадку незна-

чного зміщення (16.19 а) резонансний рівень лежить вище за найвищий

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 7254 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019176.13 Кб6OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб13OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб5OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
01.07.202582.43 Кб1Oformlenja DP.doc
#
19.03.201513.24 Mб68OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб20Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб13Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб211OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc