Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 7256 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

238

де	sj
Таким	чином, (16.126)

показує, як формуються мінізони спектру електронів надґратки, рух яких локалізований в

ямі (рис. 16.27).

Розглянемо тепер випадок, коли >Vb .

Тоді рівняння, що визначає енергетичний спектр електронів надґратки, стає таким.

= [ −F(E] j )

F ′(E) E =E j

,2tj = ′

(16.127)

[F (E)]E =E j

j+2

N рівнів j+1

Рис. 16.27. Формування мінізон у надґратці:

а– розщеплення одиничного рівня в окремій квантовій ямі в енергетичну зону завдяки тунельному зв'язку;

б– мінізони, утворені із різних енергетичних рівнів окремої ями

cos(qd) = cos(kwa)cos(kbb)−	1	ξ +	1
cos(qd) = cos(kwa)cos(kbb)−	2	ξ +	ξ	sin(kwa)sin(kbb). (16.128)
	2		ξ

Рівняння (16.128) є дисперсійним і пов'язує енергію із хвильовим вектором q. Для даної величини q існує нескінчена множина розв'язків рівняння (16.128). Для розрізнення розв'язків індекс підзони позначає енергію Е та хвильову функцію χ. Одновимірний Блохівський стан залежить від двох орбітальних квантових чисел n та q і позначається як |nq > . Дозволені підзони розділяються щілиною (можливе також пе-

рекриття міні-зон із формуванням ширшої мінізони). Для енергій, що відповідають цим енергетичним щілинам, не існує дозволених станів.

Величина щілини між двома підзонами |nq > та |n +1,q > зменшується за зростання n. Для великих значень енергії ( >>Vb ) , kb ~ kw рівняння (16.128) зводиться до kw = q + 2jπ/d . Дійсно, при kb ≈ kw , маємо, що (16.128) можна переписати

cosqd coskwa coskwb − sinkwa sinkwb = coskw (a + b),

(16.129)

звідки kwd = qd + 2πj . Або kw = q + (2πj)/d . Потенціал надґратки тепер майже не відчувається електронами із високими енергіями, тобто довжина хвилі електрона 2π/kw стає набагато меншою, ніж характерний період надґратки d, таким чином ефекти дифракції зникають. Зазначимо, що енергії, за якими kwa = pπ, завжди відповідають до-

239 Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

зволеним станам надґратки. Дійсно, аналогічно до випадку, коли енергія електрона в ямі менша за висоту бар'єра, при >Vb можна

розв'язок рівняння (16.128) записати у вигляді, подібному до (16.126), тобто

i (q) = i +si + 2ti cosqd .

(16.129)

Дисперсійне співвідношення (16.129) схематично подано на рис. 16.28 а.

		W, меВ		2		1 :	a = 3 нм
				2	1	1 :	a = 3 нм
			75			2 :		a = 5 нм
			75			3 :		a = 10 нм
						3 :		a = 10 нм
			50	3
W = 4 ti		εi + si	25
–π/d	0	q	0					b, нм
–π/d	0	π/d		0	5	10		b, нм

а б

Рис. 16.28. Закон дисперсії мінізони у надґратці (а). Залежність ширини мінізони

від товщини бар'єрної області у гетероструктурі, що утворює надґратку для різних величин ширини квантової ями (б)

Дисперсійна крива i (q) виявляє невеликий зсув рівнів, який тим не

менше вдвічі більшим за зсув для двоямної задачі, адже тепер у ями є ще дві сусідні, які за рахунок тунельної взаємодії формують цей зсув.

Замість розщеплення рівня на два, що розділені енергією 2|ti |, як відбувалось у випадку двоямної задачі, тепер виникає неперервна зона 2ti cosqd завширшки 4|ti |, причому ширина зони не залежить від

числа ям у надґратці. Останній доданок у (16.129) дає дисперсійний закон для і-ї енергетичної зони. Ці енергетичні зони часто називають мінізонами. Ширина мінізон обмежена, визначається інтегралом передачі, тобто значно залежить від параметрів надґратки (рис. 16.28 б). Повна енергія електрона у надґратці включає енергію поперечного руху (16.129) та енергію руху у площині шарів. Її можна записати як

Ei (k,q) = i	+si +	2k2	− 2\|ti \|cosqd ,	(16.130)
		2m*

де k – двовимірний хвильовий вектор у площині напівпровідникового шару XOY. Ця формула показує, як істотно змінюється закон дисперсії електрона у штучній структурі – надґратці. Поблизу дна або стелі м і-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

240

нізони енергію (16.130) можна спростити, розкладаючи косинус у ряд. Таким чином, поблизу q = 0 маємо

Ei (k,q) = i +si − 2\|ti \|+	2q2	+	2k2	,	(16.131)
	2Mi		2m*

де z-компонента тензора ефективної маси визначається інтегралом передачі відповідно до тунельного характеру поперечного руху

Mi =	2	.	(16.132)
	2d2 \|ti \|

Формула (16.131) демонструє, що рух електронів у надґратці є надзвичайно анізотропним. Анізотропія визначається шириною шарів і висотою потенціальних бар'єрів, що утворюють надґратку. Іншою характерною рисою енергії (16.130) є існування дільниць дисперсійної кривої, яким відповідає негативна ефективна маса, тобто друга похідна ене-

ргії за q змінює знак при q = π/2d . Поблизу стелі мінізони ефективна

маса, що пов'язана із поперечним рухом, дорівнює Mi. Оцінимо ширину мінізони та величину ефективної маси. Припустимо, що ширина ями є 5 нм, а період надґратки – 10 нм. Знаходимо ∆ i ≈15meV і Mi =

4.4 me. Поперечна маса електрона у надґратці на порядок більша за типові значення ефективної маси електрона в об'ємному напівпровіднику. На рис. 16.29 подано утворення мінізон над ґратки з енергетичних

	0.45				рівнів квантової ями залежно від
					ширини бар'єру b. Результати
					розрахунків отримано в		моделі
еВ					Кроніна-Пенні для надґратки, де
еВ	0.30				ширини бар'єрів та ям збіга-
мінізони,					ються. Глибина потенціальних ям
мінізони,					Звертає увагу, що для бар'єрів,
					надґратки дорівнювала 0,4 еВ.
Ширина	0.15				ширших за 5 нм, мінізони, що
					утворюються із низько розта-
					шованих	енергетичних	рівнів,
	0				дуже вузькі. При цьому щілини
					між мінізонами існують		навіть
				7.5 b, нм	між мінізонами існують		навіть
	0	2.5	5.0	7.5 b, нм	для випадків, коли мінізони ро-
	Рис. 16.29. Утворення міні зон над ґратки				зташовані	вище потенціальних
	з енергетичних рівнів квантових ям				бар'єрів.

241	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

16.7.3. Щільність станів надґратки

Оскільки в площині ями носії можуть рухатись вільно, введемо такі позначення для стану носія у надґратці: n – індекс підзони, q – хви-

льовий вектор надґратки, (|q|< π/d) , k = (kx ,ky ) – хвильовий вектор

носія у площині шару, σz – орієнтація електронного спіну (σz = ±1/2) . Власні енергії

E(n,q,k	,σ	z	) =	2k2	+ (q)	(16.133)

				2m*	n

не залежать від спінового індексу та є сумою енергій, що відповідають паралельному n (q) та перпендикулярному 2k2 /(2m* ) руху до вісі z.

Якщо Nd – товщина надґратки,		а S = Lx Ly			її площина, то щільність
станів надґратки запишемо у стандартному вигляді
						2k2
N(E) = ∑	δ E−		−s	+ 2\|t	\|cos(qd)−			. (16.134)
							*
		n	n	n		2m
n,q,k ,σz

Проводячи підсумовування за k та σ так само, як при обчисленні щільності станів одиничної квантової ями, маємо

N(E) =	Sm*	∑ θ(E− n −sn + 2\|tn \|cosqd).	(16.135)
	π 2
		n,q

Від суми за q перейдемо до інтегрування за q згідно із правилом
∑... → (d /π)∫dq
q
	*		q
N(E) =	Sdm2 2	∑	∫E dq θ(E− n −sn + 2\|tn \|cosqd).	(16.136)
	π	n	−qE

Граничні значення хвильових векторів, що визначають межі інтегрування, визначено з умови E− n −sn + 2|tn |cosqd > 0, тобто

		qE =	1 arccos n +sn − E		(16.137)
			d	2\|tn \|
при
	n +sn − 2\|tn \| < E <			n +sn + 2\|tn \|.	(16.138)
За умови виконання нерівності			n +sn − 2\|tn \| > E тета-функція у (16.135)
тотожно	дорівнює	нулю.	Якщо	виконується	нерівність

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

242

E > n +sn + 2|tn |, то

тета-функція дорівнює одиниці та (16.135) дає

N(E) = (Sm*N )/(π 2 ). Коли виконується нерівність (16.138),

тета-функція у

(16.136) дорівнює одиниці та інтегрування за q дає

−sn + 2|tn |cosqd) = arccos n +sn − E .

∫E dq θ(E− n

−qE

2|tn |

Таким чином, маємо для щільності станів

Lx Lym*

0 ,

E <

n(−)

N(E)=

π)arccos(( n +sn − E)/(2|tn |)),

n(−)

< E

n(+) ,

(16.139)

π 2

N (1/

1 ,

n(+)

де n(+) = n +sn + 2|tn | і

n(−) = n +sn − 2|tn | верхня та нижня границі n-ї

мінізони, відповідно. Отже величина плато щільності станів дорівнює

щільності зв'язаних станів в одиночній ямі, що збільшена в N разів. Із

(16.139) видно, що коли енергія попадає до зонної щілини дисперсійних

співвідношень надґратки, щільність станів квантується величиною

N0 = Nm*S /(π 2 ). На рис. 16.30 подано приведену щільність станів над-

ґратки для значень енергії поблизу n-ї мінізони.

N(E)/N0

N(E)

N 3D (E )

N 2D (E )

NSL (E )

–2|tn|

2|tn|

E − n − sn ∆E

∆E

Рис. 16.30. Щільність станів надґратки для n-ї мінізони (а) та перших чотирьох мінізон (б).

Штриховими лініями позначено щільність станів об'ємного зразка (синій)

та квантової ями (бузковий)

243	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

16.8. Квантові нитки (голки)

Упопередньому розділі ми з'ясували, що перехід від тривимірного електронного газу до двовимірного спричиняє квантування руху електронів у напрямку, нормальному до площини плівки, де формується двовимірний електронний газ. У результаті електрон характеризується двома ступенями свободи. При цьому створення двовимірного газу відбувалося завдяки наявності одновимірного потенціалу V(z), який формувався плоскою гетероструктурою. Для переходу від двовимірного електронного газу до одновимірного необхідно обмежити рух електронів ще в одному вимірі, тобто тепер обмеження руху електронів відбуватиметься у двох вимірах, і потенціал конфайнменту буде двовимірним V(y,z). Тепер тільки вздовж напрямку x може відбуватись вільний рух електрона. Існує кілька сучасних технологій формування таких структур. Однією із найпростіших є безпосереднє "вирізання" вузької смужки з гетерограниці за допомогою літографії. При цьому для отримання квазіодновимірних електронних структур завширшки порядку десятків нанометрів, тобто структур, де ефект просторового квантування буде помітним, виготовляти смужки шириною такого самого порядку не обов'язково – немає необхідності використовувати літографічну техніку надвисокої роздільної здатності. На бокових гранях витравленої смужки аналогічно вільній поверхні напівпровідника утворюються поверхневі стани, що зазвичай створюють шар збіднення (рис. 16.31 б). Цей шар викликає додаткове звуження провідного каналу. У результаті виникає можливість спостерігати ефекти просторового квантування у смужках досить великої ширини, ~ 0,1 мкм. Можна також витравити квазіодновимірну структуру із тришарової структури, що утворює квантову яму (рис. 16.31 а). Іншою можливою структурою із двовимірним конфайнментом є так звана структура із розщепленим затвором, яку можна просто утворити шляхом витравлювання вузької смужки в металічному плоскому контакті структури Шотткі (рис. 16.31 в). Тут обмеження поперечного руху електронів виникає завдяки дії електричного поля, що виштовхує електрони з під

		к
1		м	1	м
	1
2

1	2	к	2

а1	б		в

Рис. 16.31. Напівпровідникові гетероструктури із квантовими нитками, що утворюються за допомогою субмікронної літографії шляхом витравлювання вузької смужки із планарної гетероструктури: а – квантової ями; б –вузького електронного каналу поблизу гетеро границі.

в – витравлювання вузької щілини у затворі Шотткі.

1– напівпровідник із широкою забороненою зоною (AlGaAs);

2 – напівпровідник із вузькою забороненою зоною (GaAs); м – металічний затвор, k – електронний канал. Затемнення – області збіднення електронами

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

244

контактної області у середину області під протравленою смужкою. Прикладом квазіодновимірних структур є молекулярні конгломерати, що утворюються за агрегації органічних молекул. Подібний приклад ми розглядали у розд. 3.

16.8.1. Хвильові функції та енергетичні підзони електронів у квантових нитках

Розглянемо загальні риси поведінки електронів у гетероструктурі з обмежуючим потенціалом типу V(y, z). Згідно із методом розділення змінних, розв'язок рівняння Шредингера можна представити у вигляді

ψ(x,y,z) = eikx x χ(y,z)

(16.140)

так, що рівняння Шредингера для поперечної хвильової функції χ(y,z)

виглядатиме як

−

де

∂2

+V (y,z)

χ(y,z)

= ( χ, y) z ,

(16.141)

∂y2

∂z2

= E −

(16.142)

2m*

Нехай χj (y,z) – деякий розв'язок (16.141), якому відповідає дискретний рівень енергії j . Тоді повна енергія електрона у квантовій нитці

E = j +	2kx2	.	(16.143)

	2m*

Таким чином ми бачимо, що рух електрона обмежений у площині YOZ поблизу мінімуму V0 потенціалу V(y,z), при цьому електрон вільно розповсюджується в напрямку вісі OZ. Розглянемо найпростіший випадок потенціалу V(y,z) як нескінченно глибокої прямокутної ями

	0 ,	0 ≤ y ≤ L	y	,	0≤ z ≤ L	z	,
			y			z		(16.144)
V (y,z) =	∞,	y ≤ 0, z ≤ 0,			y ≥ Ly , z	≥ Lz ,		(16.144)
	∞,	y ≤ 0, z ≤ 0,			y ≥ Ly , z	≥ Lz ,

де Ly та Lz – поперечні розміри нитки. У цьому випадку хвильову функцію можна записати як добуток функцій, що окремо залежать від y та z

χ(y,z) = χn1(y)χn2(z).

(16.145)

245	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

Для кожного із напрямків уздовж вісі ОY та OZ розв'язки одновимірних рівнянь Шредингера мають вигляд

(y) =

sin πyn1 ,

(z) =

sin

πyn2

, n

=1,2,3,...

(16.146)

При цьому енергія квантової частинки запишеться як

π2

1 +

(16.147)

n n

2m*

1 2

Деякі інші методи застосовуються для розгляду квантової нитки, що утворена із двовимірного електронного газу за допомогою додаткового обмеження двовимірного руху електронів під дією зовнішнього поля. Така ситуація може реалізуватись, якщо на двовимірний електронний газ діятиме електричне поле, одновісні механічні напруження тощо. Цей випадок відомий як split-gate-техніка (див. рис. 16.29 в). У цьому випадку обмежувальний зовнішній потенціал можна наближено вважати параболічним, тобто

V (y,z) =V (y)+V		(z), V1(y) =	1	∂2V		y2 .
V (y,z) =V (y)+V	2	(z), V1(y) =			1	y2 .	(16.148)
1	2		2	∂y	2
			2	∂y		y=0
						y=0

Якщо потенціал V2(z) забезпечує високі бар'єри при |z| = Lz/2, то розв'язок задачі такий самий, як й у випадку одновимірного квантового осцилятора. Тоді хвильову функцію можна записати через функцію Ерміта у вигляді

χ			= C e−α2y2 H	n	(αy)sinn2	πz	.	(16.149)
n n (y,z )					Lz
	1	2		1

Енергія при цьому у напрямку OZ квантувати меться як для нескінченно глибокої прямокутної ями, а у напрямку OY – як для квантового осцилятора

n n

= ω(n1

+1/2) +

π2 2n22

(16.150)

* 2

2m Lz

У формулах (16.149) та (16.150) ми використали позначення

∂2V

m*ω

ω =

α =

(16.151)

∂y

y=0

і поліном Ерміта

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

246

n		y	2		dn		−y	2
Hn (y) = (−1)	e					e			.	(16.152)
Hn (y) = (−1)	e			dyn		e			.	(16.152)
				dyn

Таким чином, можна стверджувати, що енергетичні рівні у квантових нитках значно залежать від форми обмежуючого потенціалу. Але можна також стверджувати, що загальною рисою поведінки квантових ниток є той факт, що додаткове просторове обмеження руху електронів (щодо їхнього руху у квантовій ямі) спричиняє зростання енергії найнижчого рівня та виникнення подвійного квантування енергетичних рівнів. Тепер два квантових числа n1 і n2 характеризуватимуть кожен енергетичний рівень при розгляді поперечного руху.

16.8.2.Щільність станів квазіодновимірного електронного газу

Як і в попередньому випадку двовимірного електронного газу запишемо щільність станів у вигляді

					2k	2
N(E) = 2 ∑ ∑δ E−				−		x	,	(16.153)
N(E) = 2 ∑ ∑δ E−				−
	n n		2		2m	*
		1	2			*
n1n2 kx

де знову множник 2 відповідає двом різним значенням спіну для електронів, що характеризуються однією енергією. Вважаючи квантову нитку досить довгою, перейдемо від суми за хвильовим числом до інтегрування

	L		∞					2k	2
N(E) = ∑		x	∫	dkx δ E− n n			−		x	.	(16.154)
N(E) = ∑		x	∫	dkx δ E− n n		2	−		*	.	(16.154)
n1n2	π −∞				1	2		2m	*
n1n2	π −∞							2m

Тепер знов застосуємо властивості дельта-функції

δ(A2 − x2 ) = [δ(A − x) + δ(A + x)]/2A , та δ(ax) = δ(x)/a .

Із врахуванням цих формул здійснюємо перетворення з інтегралом у

(16.154)

∞			1		δ
j = ∫	dk		1				E−	− ax		+ δ		E−	+ ax		, (16.155)

		x 2	E− n n			(			)		(			)
−∞		x 2	E− n n	2		(	n1n2		)		(	n1n2		)
			1	2

де a = 2 /2m* . Інтегрування із δ-функцією дасть 2/a. Таким чином маємо

247

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

j =

2m*

ϑ(E− n n

(16.156)

E−

n n

Тета-функція тут з'явилася завдяки тому, що при

E− n n

< 0

інтеграл

тотожно є нулем. Підставляючи (16.156) до (16.154), дістаємо

N(E) =

2m*

∑

ϑ(E−

)

(16.157)

2 n1n2

E−

n n

1 2

n n

Поведінку щільності станів ква-

N(E)

зіодновимірного

електронного

газу подано на рис. 16.32. Видно,

що ця поведінка істотно відріз-

няється від N(Е) для двовимір-

ного газу. Замість східцеподібної

вона стає розривною, де у межах

однієї підзони зростання енергії

спричиняє швидкий спад щіль-

ності станів. Перехід до нової

підзони із

подальшим

зростан-

ням

енергії

супроводжується

1,1 1,2

1,3

появою нескінченних стрибків у

N(Е). Така специфічна поведінка

Рис. 16.32. Щільність електронних станів

щільності

станів

електронів

квантової нитки

квантовій нитці спричиняє появу

цілої низки оптичних ефектів, які можна використати у практичних

застосуваннях. Оптичні властивості низьковимірних систем буде роз-

глянуті далі, а тепер ми обговоримо специфічні ефекти, пов'язані із

провідністю квантових ниток. Найбільш цікавим випадком є провід-

ність коротких (довжиною L, меншою за довжину вільного пробігу у

матеріалі) квантових ниток – такі короткі квазіодновимірні структури

часто називають квантовими голками. При цьому електрон рухається

від одного контакту до іншого без зіткнень. Такий режим струму на-

зивають балістичним. Електронний транспорт у таких квазіоднови-

мірних балістичних структурах зручно розглядати у більш загальному

випадку квантового приладу, який ми і розглянемо далі.

16.8.3. Квантовий електронний транспорт. Формула Ландауера

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 7256 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019176.13 Кб6OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб13OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб5OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
01.07.202582.43 Кб1Oformlenja DP.doc
#
19.03.201513.24 Mб68OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб20Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб13Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб211OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc