Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 7257 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 > Следующая >>>

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

248

Розглянемо деякий прилад, характерні лінійні розміри якого набагато менші всіх класичних характерних величин, розмірності довжини (напр., довжини екранування, довжини вільного пробігу), а також довжини хвилі де Бройля. На рис 16.33 подано схему та енергетичну ді-

L		R	µL		eV	µR
L		R

			UL

		x				UR



	а			б
	а			б
Рис. 16.33. Квантовий прилад (а) та його енергетична діаграма (б)

аграму такого приладу. Тут L та R – лівий і правий береги приладу, відповідно, V – потенціал зміщення. Вважатимемо, що прилад працює за досить низьких температур, тобто напівпровідник вироджений. Нехай на прилад діє електричне поле, спрямоване вздовж вісі OX. У результаті лівий берег приладу знаходиться за енергії, піднятій на eV/2 щодо рівня Фермі, а правий – опущений на енергію eV/2. Оскільки через нелокальність – хвильові функції електронів з лівого берега приладу розповсюджуються на правий берег і навпаки – ми маємо характеризувати систему як ціле. Характеризуватимемо її функцію розподілу носіїв. При цьому лівий берег приладу характеризувати-

меться функцією розподілу FF (E + eV /2 − EF ) , а прав ий – функцією розподілу FF (E − eV /2 − EF ). Для визначеності вважатимемо, що ква-

нтовий рух відбувається тільки вздовж вісі OX. Таким чином можна припустити, що рух носіїв відбувається у потенціалі

U (x,y,z) =U1(x)+U2(y,z)

(16.158)

так, що хвильова функція системи як функція координат може бути факторизованою

Ψ(x,y,z) = Ψ||(x)Ψ (y,z).

(16.159)

У площині, перпендикулярній вісі OX, стани системи характеризуватимемо хвильовими функціями ΨT = Ψm,n (y,z). Оскільки електронний

транспорт відбувається вздовж вісі OX, розглядатимемо поведінку тільки повздовжньої частини хвильової функції. Зауважимо, що носії із правого та лівого берегів приладу взаємодіють. Це означає, що стан носіїв на лівому та правому берегах приладу характеризуватиметься комбінацією хвильових функцій лівого та правого берегів приладу

249	Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

(вони відрізняються значеннями хвильового вектора). Запишемо граничні вирази для хвильових функцій на інтерфейсі між берегами та приладом, тобто у перерізах L і R. Для хвильової функції електронів, що рухаються з лівого берега, маємо

	ikL (x −xL )		+ r e	−ikL (x −xL )	,	x ~ x
e			+ r e		,	x ~ x			,	(16.160)
Ψ(L )(x) =			L				L		,	(16.160)
t		eikR (x −xr ),				x ~x		R
R								R
де rL – коефіцієнт відбиття носіїв від бар'єру, а коефіцієнт tR										описує

проходження носіїв через бар'єр приладу за руху частинки зліва направо. Аналогічно для руху електронів із правого берега граничні умови для хвильової функції запишемо як

	−ikR (x −xR )		+ r e	ikR (x −xR )	,	x ~ x
e							R .		(16.161)
Ψ(R )(x) =			R
t		e−ikL (x −xr ),				x ~x		L
L
Для коефіцієнтів tL , rL ,		tR і rR можна записати кілька фундамента-

льних співвідношень, що мають загальний характер і не залежать від специфіки квантового приладу. Наприклад, вимога неперервності хвильових функцій (16.160) та (16.161) дає співвідношення

(1−|r

|2 ) = k

(16.162)

(1−|r

|2 ) = k

|2 .

(16.163)

Запишемо тепер потік частинок через правий і лівий перерізи контактів приладу. Для цього використаємо формулу, що пов'язує потік квантових частинок із хвильовою функцією Ψ

j = −	i	*	*
		(Ψ Ψ − Ψ Ψ		) .	(16.164)
	2m

Підставимо сюди хвильову функцію (16.160). Отримаємо потік частинок, що втікають у прилад з лівого берега

i	=	kL	= v	L .	(16.165)

in		m

Потік електронів, що пройшли на правий берег приладу,

		kR	2	2
iout	=		\|tR \|	= vR \|tR \| .	(16.166)
iout	=	m	\|tR \|	= vR \|tR \| .	(16.166)
		m

Коефіцієнт пропускання за руху електронів з лівого на правий берег приладу визначається як відношення потоку частинок, що пройшли

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

250

бар'єрну область, до загального потоку частинок, що рухаються зліва направо

TL −R	= iout	= kR \|tR \|2 .	(16.167)
	iin	kL

Аналогічно, коефіцієнт пропускання за руху електронів з правого на лівий берег приладу

TR −L	=	kL	2	(16.168)
		kR	\|tL \| .

Згідно із принципом детальної рівноваги, потоки електронів рівноважної системи, що перебуває у енергетичному стані E , мають бути рівними

TL −R = TR −L = T (E).

(16.169)

Тоді, записуючи струм зліва направо, як (зауважимо, що числом електронів, яке приходиться на одиницю довжини, є 2FF /LC ; коефіцієнт 2 відбиває факт подвійного виродження по спіну)

JL	= 2e ∑	∑ vT(E)FF (E(k,m,n)+	1 eV − EF ),	(16.170)
	LC m,n k >0		2
і аналогічно струм із правої частини приладу до лівої
JR	= − 2e ∑	∑ vT (E)FF (E(k,m,n)− 1 eV − EF ),		(16.171)
	LC m,n	k >0	2
отримаємо сумарний струм
		J = JL + JR .		(16.172)

У формулах (16.170) та (16.171) через LC позначено ефективну довжину приладу, а через n та m – номери підзон (завдяки руху електронів у площині YOZ енергетичні рівні розмиваються у підзони!). Підставимо до (16.172) вирази для струмів із (16.171) і (16.170) та перейдемо від підсумовування за хвильовими векторами до інтегрування за стандартними правилами2,

∑(...) →	LC ∫ dk	(...)	→	LC ∫	dE	(...).	(16.173)
					2π v
k	2π

Отримаємо повний струм через прилад

2 При виведенні формул враховано, що k = p = mv і використано перетворення: dk = (dk /dE )dE , (dE /dk )−1 dE = (d /dk(k2 /2m))dE = 1v dE .

251 Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

J = e ∑	∫	dE T(E)	F (E(k,m,n)+ 1 eV − E			F	)−F (E(k,m,n)− 1 eV − E		)	(16.174)
m,n		2π		F	2		F	2	F

За низьких температур функція розподілу Фермі майже не відрізняється від ϑ-функції. Таким чином, у випадку не значних зміщень V можна записати

FF (E +	1 eV − EF ) − FF (E −	1 eV − EF ) ≈ eV δ(E − EF ) . (16.175)
	2	2

Виконуючи інтегрування у (16.174), отримаємо

I = e	2	∫	dE	T(E)V δ(E − EF ) =	e2	VT (EF ) ,	(16.176)
					h
			2π

звідки знайдемо струм через прилад

J =	e2	2V ∑ T (EF ) .	(16.177)
	h
		m,n

Для квантових приладів із перенесенням заряду зручною характеристикою є кондактанс – квантовий аналог класичної провідності. Кондактанс G визначається як коефіцієнт пропорційності між струмом і різницею потенціалів між берегами квантового приладу

J = G V

(16.178)

Тоді із (16.177) для кондактансу квантового приладу маємо формулу Ландауера

G =	2e	2
G =	h	∑ T (EF ,m,n),	(16.179)
	h	m,n

із якої випливає нетривіальний висновок про яскраву відмінність між квантовими та класичними приладами: навіть у випадку, коли квантовий прилад є ідеальним (тобто розсіювання носіїв відсутнє, це означає, що коефіцієнт пропускання приладу дорівнює одиниці), прилад характеризується кінцевою величиною кондактансу, тобто має опір. При цьому величина опору залежатиме від кількості електронних підзон N, з яких електрони беруть участь у квантовому транспорті

			G = G0N .	(16.180)
Величина	G0 =	e2	= 39.6 [мкСим]	(16.181)
Величина	G0 =	h	= 39.6 [мкСим]	(16.181)
		h
називається квантом кондактансу (обернена величина (G0 )–1 відпові-
дає опору 25,2 кОм), а
	N = ∑ T (EF ,m,n), T (EF ,m,n )= 1.			(16.182)
	m,n

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

252

Розглянемо тепер, як згідно із (16.174) відбуватиметься транспорт у макроскопічно великому у поперечних напрямках пристрої. Поперечний рух електронів відбувається зі поперечними квантовими числами,

відповідними хвильовими векторами – n = ky поперечного руху

En,m =	2	(ky2 + kz2 )
						.
		2m				.
Функцію розподілу електронів		2m
Функцію розподілу електронів				1
FF (E) = 2 ∑				1
FF (E) = 2 ∑				E +En,m
	n,m
	n,m					kBT
можна легко обчислити			1 + e			kBT
можна легко обчислити
FF (E) = S mkBT ln				−		E
FF (E) = S mkBT ln			1+ e		kBT		,
π 2

і m = kz. Тоді енергія

(16.183)

(16.184)

(16.185)

де S – площа поперечного перерізу приладу. Тоді щільність струму у пристрої j = J/S

EF −E +eΦ/2

+ e

kBT

j = e

∫

T (E )ln

(16.186)

2π

EF −E −eΦ/2

+ e

kBT

Ця формула має велике практичне значення, оскільки дозволяє обчислювати у наноприладах вольт-амперні характеристики та їх залежність від концентрації електронів, температури тощо. Експериментальні вимірювання квантування провідності у коротких квантових нитках зазвичай проводяться на структурах, що являють собою не нитку, а так званий точковий контакт – вузеньку перемичку, яка з'єднує дві ділянки двовимірного електронного газу. Із формального погляду таку структуру можна уявити як квантову нитку із довжиною, порівнюваною з її шириною. Квантування провідності має спостерігатись і в таких структурах, оскільки в кінцевих формулах (16.180-16.182) не міститься жодних конкретних параметрів щодо розмірів і форми нитки. Експериментальна крива залежності провідності від напруги на затворі, що визначає концентрацію носіїв, має вигляд східцеподібної кривої, висота кожної сходинки дорівнює одному кванту конда-

ктанса (рис. 16.34).

253		Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи
9	G/G0
	G/G0

6
3
3
0				A
0

	–2 –1.8	–1.6	–1.4 –1.2 V, B

16.34. Залежність провідності квантової нитки від напруги на точковому контакті, що визначає концентрацію носіїв (а). Схема експерименту (б)

16.9. Квантовий ефект Холла

Як ми бачили, класичний ефект Холла полягає у виникненні електричного поля, перпендикулярного струму, що протікає за поперечно направленого магнітного поля B. Це поле Холла є перпендикулярним і струму, і магнітному полю: при накладенні магнітного поля перпендикулярно електричному струму у напівпровіднику з'являється ненульовий недіагональний компонент тензору провідності, тому для недіагонального компоненту тензора опору можна написати

ρxy =	B	.	(16.187)

	en

У 1980 р. фон Клітцингом винайдено, що за низьких температур в інверсному шарі носіїв заряду у напівпровідниках, що вміщені у магнітне поле, перпендикулярне площині квазидвовимірного електронного газу, недіагональний компонент тензора опору змінюється дис-

Vy	Vx	B		EC(2)
Vy	Vx		EC(1)	EC(2)
d	L	Ix	EF	EV(2)
d	L	Ix	квазідвовимірний	EV(2)
			квазідвовимірний
			електронний газ	GaAs
				GaAs

		E(1)
		E(1)
	А	V Ga	1–x	Al As


				x
а					б

Рис. 16.35. Схема установки для вимірювання квантового ефекту Холла.

Канал квазідвовимірних електронів подано синім кольором.

Утворення каналу квазідвовимірних електронів на межі розподілу модуляційно-легованої гетероструктури. Синіми кульками позначено домішкові рівні, заповнені електронами,

білими – дірками. Рівень Фермі збігається із рівнем донорної домішки в AlGaAs

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

254

кретно ρxy = const/l із цілими значеннями параметра l. Це явище

отримало назву квантового ефекту Холла. Пізніше, у 1982 р., незалежно групами дослідників керованими Тсуї, Штермером і Госсардом винайдено, що в МДН-структурах і на гетеропереходах AlGaAs-GaAs можна спостерігати ефект, коли параметр l набуває дробових значень: l = 1/3, 2/3, 4/3, 5/3, 7/3, 8/3, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 6/5, 2/7 та 5/2.

Розглянемо детальніше квантовий ефект Холла. На рис. 16.35 подано схему вимірювання квантового ефекту Холла. Вимірювались повздовжний

ρxx = d		Vx	(16.188)
L		Ix

і поперечний (недіагональний компонент) опір, що визначається як відношення виникаючої поперечної напруги до струму, що протікає вздовж структури (див. рис.16.35)

ρxy	=	Vy	.	(16.189)

		Ix

Результати вимірювання подані на рис. 16.36. Видно немонотонну поведінку зміни опору за збільшення магнітного поля. Холловський опір

( ρxy ) має вигляд східцеподібної структури із висотою сходинок, що

визначається опором

RH = h /(e2l), де l =1, 2, 3....

Константа h /e2 наближено дорівнює 25 кОм (відповідає оберненому

кванту кондактанса). Зауважимо, що відкриттю квантового ефекту Холла передувало відкриття іншого цікавого ефекту – зникнення електричного опору двовимірного металу в сильному магнітному полі (див. нижній графік рис. 16.36). Для з'ясування витоків цього ефекту згадаємо, що електрон у магнітному полі рухається вздовж кругової орбіти із

радіусом RB = /(eB) . Цей результат ми отримували при розгляді

руху електрона в квантуючому магнітному полі та виникнення рівнів Ландау

El = ωС (l +1/2),

(16.190)

де ωС = eB /m – частота обертання електрона за руху вздовж кругової

орбіти у площині, перпендикулярній напрямку магнітного поля В. На один електрон у

6 B, Tл

255	Розділ 16.

ρxy, Ом

Низьковимірні напівпровідникові системи

площині квантування приходиться площа SB = πRB2 . Кількість

електронів, що можуть розташуватися на кожному із рівнів Ландау, легко визначити із простих міркувань. Вважатимемо, що площа двовимірного металу є одиничною. Тоді число електронів, що розташовані на кожному із рівнів Ландау, є відношенням площини, що займає двовимірна система електронів, до площині електронної орбіти, яка визначається величиною магнітного поля

ρxх,	Ом			NB = eB .	(16.191)
				NB = eB .	(16.191)
16				h
12				Оцінка для поля B =102 Тл,	пока-
8				зує, що на кожний квадратний
8				сантиметр квазідвовимірного газу
4				сантиметр квазідвовимірного газу
4				електронів приходиться 1012 еле-
				ктронних станів. Зауважимо, що
0 0	2	4	6 B, Tл	ктронних станів. Зауважимо, що
0 0	2	4	6 B, Tл	(16.191) ми отримали, взявши до
Рис. 16.36. Залежності недіагональної				уваги зеєманівське розщеплення
Рис. 16.36. Залежності недіагональної				рівнів у сильному магнітному полі:
і діагональної компоненти питомого опору				рівнів у сильному магнітному полі:
квазідвовимірного електронного газу				ми вважали, що в сильному ма г-
	від магнітного поля за сталої			нітному полі на кожному зі спі-
	концентрації носіїв			нових підрівнів Ландау може роз-

ташовуватись удвічі менше електронів, ніж без урахування такого розщеплення. Оскільки це розщеплення є досить великим, то спінові підрівні не перекриваються. Урахування спінового розщеплення рівнів Ландау не надасть нічого нового при розгляді квантовового ефекту Холла, тому у подальшому говоритимемо про рівні Ландау, маючи на увазі підрівень із визначеною орієнтацією спіна. За зміни концентрації носіїв або величини магнітного поля B змінюється положення рівня Фермі щодо системи рівнів Ландау. Уявимо, що рівень Фермі розташований у проміжку між рівнями l та l+1. Щільність станів для таких

енергій дуже мала, і при T → 0 усі стани на рівнях Ландау із номерами, меншими за l, заповнені (рис. 16.37). Отже, концентрація електронів дорівнюватиме

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

256

n = l NB .

(16.192)

El +1

Розглянемо стандартну геометрію ефекту Холла

(рис. 16.38) і визначимо зв'язок між струмом ( jx ),

що протікає через зразок,

і напругою, яка ви-

никає на бічних гранях зразка. Повторюючи

міркування, що ми використовували при розг-

Рис. 16.37. Заповнення

ляді класичного ефекту Холла, запишемо баланс

сил, які діють на електрон

−eE

= ev

B , звідки

електронами

рівнів Ландау

визначимо зв'язок між швидкістю електрона та

поперечним

електричним

полем

vx = −Ey /B . Електричний струм jx = −evxn

буде таким чином пов'язаний із поперечним

полем співвідношенням

= en

Ey = ρxy−1Ey ,

Рис. 16.38. Геометрія ефекту

Холла

з якого знайдемо недіагональний компонент тензора опору

ρxy =

(16.193)

Підставляючи сюди вираз (16.192), із врахуванням (16.191) дістанемо

ρxy =

(16.194)

l e2

Таким чином, недіагональний компонент електричного опору квазідвовимірного електронного газу в магнітному полі змінюється дискретно, обернено пропорційно цілому числу l. Зауважимо, що цей формальний вивід лише вказує на можливість квантування недіагональної провідності й аж ніяк не пояснює квантовий ефект Холла.

Якісна інтерпретація квантового ефекту Холла може базуватись на перколяційній моделі провідності, в якій розглядаються локалізовані та рухливі стани реального двовимірного електронного газу. Розглянемо випадок фіксованої величини магнітного поля та заданого спектру рівнів Ландау зі щілиною рухливості 2Δ (рис. 16.39). Локалізовані стани не дають внеску до формування повздовжнього струму. До формування повздовжньої провідності дають внесок лише рухливі стани, тобто такі, що розташовуються поза щілиною рухливості. Оскільки заповнення енергетичних станів електронами визначає положення рівня Фермі, то можливі дві принципово різні ситуації у формуванні провідності

257

Розділ 16. Низьковимірні напівпровідникові системи

двовимірного електронного газу. Перша – рівень Фермі розташовується

у щілині рухливості між серединами сусідніх рівнів Ландау. Усі рухливі

стани розташовані нижче рівня Фермі, концентрація носіїв в областях,

що зайняті рухливими станами, дорівнює максимально можливій NВ. У

цьому випадку кожен із l заповнених рівнів Ландау дає внесок до фор-

N(E)

мування

поперечного

опору

2Δ

RB = h /e2 , а всі рівні разом –

ρxy = h /e2l . Ця ситуація відпо-

відає

бездисипативному

про-

ωС

тіканню повздовжнього струму,

оскільки за руху електрони не

можуть

втратити

енергію за

ωС

2 ωС

рахунок процесів розсіювання,

ρe2

адже всі рівні зайняті, а віль-

ρxy

ний підрівень Ландау, відділе-

ний

енергетичною

щілиною,

виникає

завдяки

зеєманівсь-

кому розщепленню. Друга – рі-

вень

Фермі розташовується в

області рухливих станів поблизу

піка l-го рівня Ландау. Під дією

електричного поля відбувається

ρxx

протікання рухливими станами

у смузі шириною ~ kT поблизу

рівня Фермі, і оскільки рівні

1/2

3/2

ωС

вище

рівня Фермі

незайняті,

струм

супроводжується

диси-

Рис. 16.39. Виникнення квантування опору

пативними процесами. Концен-

у перколяційній моделі.

Зеленим позначено області щілини рухливості

трація електронів в області рух-

ливих станів на l-му рівні змінюється від нуля до максимального зна-

чення NВ при проходженні рівнем Фермі області рухливих станів. Цим

значенням рівня Фермі відповідає перехідна ділянка між плато хо л-

лівського опору із номерами l та l + 1. Таке пояснення магнетотранс-

порту у системі якісно відповідає на питання про походження хол-

лівських плато та виникнення областей бездисипативного повздовж-

нього руху електронів. Але питання за рахунок чого поперечний опір в

області плато квантується із високою точністю, залишається поза

межами простої моделі, розглянутої раніше. Пояснення факту кван-

тування поперечного опору ґрунтується на ідеї калібровочної інварі-

антності, яка у даному контексті означає, що додавання кванта маг-

нітного потоку не змінює енергетичний спектр носіїв, а спричиняє

<<< < Предыдущая 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 7257 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019176.13 Кб6OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб13OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб5OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
01.07.202582.43 Кб1Oformlenja DP.doc
#
19.03.201513.24 Mб68OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб20Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб13Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб211OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc