Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
13.24 Mб
Скачать

279

Розділ 17. Невпорядковані напівпровідникові структури

ктрони розсіюються слабко. При цьому можна ввести поняття ефективної маси і зв'язок між хвильовим вектором та енергією має

звичайний характер квадратичної функції E = 2k2 /2m* , а щільність станів N(E)~ E EC . Доки середня довжина вільного пробігу L має

кінцеву величину та виконується умова kL >>1, вищезгаданий граничний випадок є припустимим. Коли L зменшується настільки, що kL ~1, зміни у щільності станів набувають незворотного характеру і користуватись квадратичним законом дисперсії неможливо.

Доки у некристалічних речовинах розупорядкування не приведе до подібного зменшення довжини вільного пробігу, що kL ~1, можуть існувати такі ситуації:

розсіювання на кожному атомі є незначним. Тоді хвильовий вектор k є прийнятним квантовим числом, і невизначеність хвильового вектора ∆k є такою, що ∆k /k <<1. У цьому випадку ізоенергетичні пове-

рхні є сферичними, і можна використовувати квадратичне наближення для закону дисперсії електронів. Така ситуація реалізується у рідких металах для енергії Фермі та в деякому околі поблизу енергії Фермі;

розсіювання на кожному атомі є значним. Тоді ∆k /k ~1 і хви-

льовий вектор не є прийнятним квантовим числом. У цьому випадку, як можна довести, довжина вільного пробігу L ~1/k і не може бути

меншою за 1/k . Щільність станів при цьому значно відрізняється від

тієї, що дає наближення квадратичного закону дисперсії; якщо взаємодія електронів із розсіювачами стає більшою, виникає

нове явище, відсутнє у кристалах: за заданої енергії хвильові функції електронів стають локалізованими. Це означає, що кожна хвильова

функція ψE зосереджена у малій області простору, спадаючи експоненційно з відстанню як exp(−αR). Енергетичні рівні при цьому кван-

товані, а щільність станів обмежена та неперервна. При ц ьому стани локалізовані, хоча хвильові функції можуть перекриватись. Цей ефект називається локалізацією Андерсона і буде детальніше розглянутий далі.

Якщо за заданої енергії деякі стани локалізовані, то всі стани із цією енергією мають бути локалізовані. Експериментальним доведенням того, що локалізовані та нелокалізовані стани не співіснують за заданої енергії є факт, що у домішковій зоні кристалічного кремнію, утвореній за легування його фосфором, ширина лінії комбінаційного розсіювання світла, пов'язана із переходами електронів у зоні провідності, розширюється завдяки допплерівському зсуву. При цьому лінія, що визначається переходами із домішкової зони, не розширюється. Екс-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

280

периментально показано, що розширена та нерозширена лінії не співіснують за однакової концентрації донорів.

У будь-якій некристалічній системі можлива велика кількість конфігурацій атомів, що відповідають одній енергії. Таку сукупність конфігурацій називають ансамблем. Це означає, що будь-яка розрахункова величина, яку необхідно порівняти з експериментом, має бути усереднена за всіма конфігураціями ансамблю. Серед них мають бути й такі, для яких стани нелокалізовані, наприклад конфігурації у ви-

гляді кристалів. Якщо існує така провідність σE , що для всіх заповнених станів (E EF , EF належить до області енергій, де стани локалізовані) σE → 0 при T → 0 , то усереднення за всіма конфігураціями системи величини σE дасть нуль: < σE > 0= . У цьому сенсі найбільш задовільним визначенням локалізації хвильових функцій з енергією E буде занулення усередненого значення величини σE , тобто

< σE > = 0.

(17.6)

Для розрахунку σE розглядається взаємодія електромагнітної хвилі

низької частоти ω із середовищем, де всі стани заповнені до деякого граничного значення енергії E. Тоді провідність на постійному струмі при T = 0 визначається як

σE

= σE (0) = lim σE (ω).

(17.7)

 

ω→0

 

У неупорядкованому напівпровіднику провідність за ненульової температури та нехтування взаємодією із коливаннями каркасу (із

фононами) визначається через σE

σ = −σE

f

dE .

(17.8)

E

 

 

 

Вираз для σE , що можна отримати за допомогою (17.7), називається формулою Кубо-Грінвуда (її виведення див. у додатку J)

 

σE (0) =

2πe2 3

 

DE

 

2

N 2(E),

(17.9)

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

E

 

де

DE = ψE*

∂ψE d3x ,

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

об'єм системи. ...E усереднення за всіма станами з енергією E

та за всіма станами з енергією E' із подальшим припущенням, що

E = E′ .

281

Розділ 17. Невпорядковані напівпровідникові структури

17.1.3. Локалізація Андерсона

Андерсонівською локалізацією називають явище, що виникає за розповсюдження хвиль у просторово-неоднорідному середовищі: завдяки багаторазовому розсіюванню на неоднорідностях та інтерференції розсіяних хвиль стає неможливим розповсюдження біжучих хвиль. Коливання набувають характеру стоячої хвилі, що локалізована в обмеженій області простору. Андерсонівська локалізація можлива для хвиль довільної природи, але особливо яскраво вона виявляється у випадку хвиль де Бройля для частинок при вивченні кінетичних властивостей, наприклад електропровідності та теплопровідності неупорядкованих твердих тіл (аморфні та сильно леговані напівпровідники), оскільки за наявності ефекту андерсонівської локалізації рухливість частинок є нульовою. Експериментальним виявом локалізації електронних станів є рівність нулю статичної провідності в умовах низьких температур. Якщо рівень Фермі лежить в області локалізованих станів,

то провідність σT за кінцевих температур має бути активованою, що

автоматично означає існування границі

lim σT = 0 .

 

T →0

Явище андерсонівської локалізації найбільш інтенсивно вивчалось на модельному гамільтоніані такого типу

H = ∑εj

 

j

j

 

+ ∑Vjj

 

j j

 

,

(17.11)

 

 

 

 

j

 

 

 

 

jj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де εj - енергія j-го незбуреного стану, Vjjзбурення, що виникає за-

вдяки неперіодичному потенціалу. У другому доданку сума береться за найближчими сусідами. Незважаючи на те, що андерсоновська локалізація є властивістю найпростішого гамільтоніана електронів, що майже не взаємодіють, виявилось, що вона являє собою надзвичайно складне явище. Андерсон, очевидно, був першим, хто усвідомив, що гамільтоніан за наявності безпорядку може характеризуватись подовженими або локалізованими станами залежно від величини розупорядкуання. Розглянемо виникнення локалізованих станів у невпорядкованій системі, що складається з періодично повторюваних у просторі потенціальних ям різної глибини.

Як відомо, розв'язком рівняння Шредингера є

2ψ +

2m

(E V )ψ = 0

(17.12)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

для періодичного потенціалу V (див., напр. задачу Кроніга-Пенні) може бути утворення вузької енергетичної зони (рис. 17.3).

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

282

V

V

a

 

 

B

r

N(E)

Рис. 17.3. Потенціальна енергія та щільність станів у регулярній структурі

Припустимо тепер, що ями розташовані досить далеко одна від одної так, що перекриття між атомними хвильовими функціями φ(r) на су-

сідніх вузлах є незначним. Нехай Rn координата n-ї ями. То ді блохівську хвильову функцію електрона у кристалі можна записати як

ψ (x,y,z) = eik Rn φ(r R

n

)

.

(17.13)

k

 

n

 

 

 

 

Функції φ вважатимемо сферично-симетричними. Якщо тепер W0

енергія рівня в ізольованій ямі, то енергії електрона у простій кубічній ґратці, що відповідають хвильовим функціям (17.13) ,

E =W0 +Wk ,

(17.14)

з

 

 

Wk

= −2I coskja ,

(17.15)

 

j =x,y,z

 

де інтеграл перекриття

 

 

I = drφ*(r Rn )Hφ(r Rn +1),

(17.16)

H гамільтоніан системи. Інтеграл перекриття залежить від вигляду потенціалу, що формує ями і майже завжди може бути представлений у вигляді

I = I0e−αR .

(17.17)

При цьому параметр α визначається таким чином, що exp(−αr ) дає швидкість спадання хвильової функції ізольованої ями із відстанню

α =

 

2mW

0

 

.

(17.18)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Для воднеподібних атомних хвильових функцій оцінка передекспоненційного фактора I0 дає

283

Розділ 17. Невпорядковані напівпровідникові структури

I0 = αe2[3(1+ αR)/2 + (αR)2 /6].

(17.19)

При цьому ефективна маса електрона на дні зони провідності m* = 2 /(2I α2 ), а ширина зони B = 2zI , де z координаційне число.

Що відбудеться з енергетичною зоною, якщо потенціал стане неперіодичним? Необхідно пам'ятати, що неперіодичний потенціал можна отримати із періодичного у два способи:

зсуваючи кожний центр потенціальної ями, що утворюють регулярну структуру, на випадкову відстань;

додаючи випадковий потенціал <V/2 до кожної ями.

Зрозуміло, що комбінація цих методів також дасть невпорядковану систему. Але для якісного розуміння ефекту андерсонівської локалізації можна користуватись найпростішим методом побудови невпорядкованої системи. Андерсон припускав, що V набуває будь-яких значень з

інтервалу ±(1/2)V0 таким чином, що V0

являє собою область розмиття

енергій (рис. 17.4). Якщо вели чина V0

є малою, то довжина вільного

пробігу буде великою. Борнівське наближення дає, що

 

1

=

π V

0

2

a

3

N(E)

,

(17.20)

L

 

 

 

u

 

 

2

 

 

 

 

 

де значення швидкості u береться за енергії E = EF . У випадку, що

розглядається, можна вважати: щільність станів незначно відрізняється від такої у впорядкованій структурі, тобто має вигляд

N(E) =

 

1

 

m3E 1/2

(17.21)

 

2

 

3

 

 

 

,

 

π

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

та із (17.20) отримаємо

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a

=

 

1

V

0

(17.22)

L

 

 

 

 

 

.

 

32π

I

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

V

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V0

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

r

N(E)

Рис. 17.4. Модельний потенціал невпорядкованої структури

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

284

Згідно із правилом Іоффе-Ригеля у невпорядкованих системах неможливою є така довжина вільного пробігу, що kL <1 . Це пр авило означає: найменша величина вільного пробігу реалізується у випадку, коли хвильова функція "втрачає пам'ять" про свою фазу на відстанях, що дорівнює міжатомним. Тоді довжину вільного пробігу можна оцінити як L a , що означає згідно із (17.22)

 

V0

 

 

.

 

 

 

32π

(17.23)

I

 

 

 

 

 

 

У випадку, коли ширина зони B = 2zI

і координаційне число z = 6 , із

(17.23) маємо, що втрата пам'яті фази хвильової функції на відстанях

порядку міжатомних настає, якщо область

розмиття потенціалу

V0 ≈ 0.83B .

 

Для розуміння того, що відбувається, коли V0

перевищить величину

(17.23), слідуючи за Андерсоном, розглянемо дві потенціальні ями а та b, розташовані на відстані R одна від одної. Енергії ям відрізняються

від середньої на величини Va і Vb , відповідно. Хвильові функції двох електронів в ямах мають вигляд

ψ1 = Aφa + Bφb ,

(17.24)

ψ2 = Bφa Aφb ,

де φa і φb атомні хвильові функції. Коефіцієнти A, B та енергії E1, E2

можна знайти за допомогою мінімізації інтеграла енергії. Не вдаючись до деталей отримання громіздких результатів такої мінімізації, розглянемо якісно деякі граничні випадки:

І якщо

 

Va Vb

 

<< I , то A B , E1 E2 2I і різниця енергій не

 

 

може бути меншою за 2I;

ІІ якщо

 

Va Vb

 

 

>> I , то A /B

 

Va Vb

 

/I .

 

 

 

 

 

ψ

 

 

 

ψ

 

 

x

 

b

x

a

b

a

 

 

 

 

 

а

 

 

б

 

Рис. 17.5. Хвильова функція двох однакових потенціальних ям для станів: а – симетричних; б – антисиметричних

285

Розділ 17. Невпорядковані напівпровідникові структури

Хвильові функції для однакових ям (випадок І) подано на рис. 17.5, а хвильові функції для випадку ІІ на рис. 17.6.

ψ ψ

 

 

x

 

b

a

b

a

x

 

 

 

а

 

 

б

Рис. 17.6. Хвильова функція двох неоднакових потенціальних ям для станів: а – симетричних; б – антисиметричних

Уявимо тепер, що система складається із великої кількості ям. Тоді хвильова функція системи являтиме суперпозицію хвильових функцій окремих ям

ψi = Cij φj ,

(17.25)

j

 

причому у результаті того, що коефіцієнти Cij ,

які характеризують

внесок до i-го стану системи від j-ї ями, є різними, огинаюча матиме максимум на ямі із більшою глибиною. У результаті виникатиме ситуація, коли ймовірність знайти частинку локалізованою на цій ямі є набагато більшою, ніж в іншому місці системи.

Якщо кількість ям збільшувати до нескінченності, то при переході від однієї ями до іншої виникають флуктуації амплітуди та фази хвильової функції. Флуктуації збільшуються зі зростанням безпорядку у

системі, тобто величини V0 /B . Якщо відношення V0 /B дуже велике,

то хвильові функції кожної окремої ями будуть слабко збурені всіма іншими ямами та експоненційно спадатимуть із відстанню (рис. 17.7) виникатиме локалізація станів. Для з'ясування, за яких значень па-

раметру невпорядкованості V0 /B відбуватиметься така локалізація,

Андерсон розглянув потенціал типу поданого на рис. 17.4 і переформулював задачу так: якщо у момент часу t = 0 електрон локалізований на одній із ям, то що з ним відбуватиметься за t → ∞ ? Чи існує при T = 0 ненульова ймовірність того, що електрон продифундує на велику відстань. Андерсон знайшов, що дифузія не відбувається (відбувається локалізація), якщо V0 /B CL , де стала CL залежить від координацій-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

286

ного числа z. У цьому випадку хвильова функція електрона буде експоненційно затухати із відстанню r від n-ої ями, тобто хвильові функції локалізованих на ямі j станів матимуть вигляд

ψj (r) = An φ(r Rn )e−α

 

rj r

 

,

(17.26)

 

 

n j

 

де коефіцієнти An характеризуються випадковими фазами.

ψ

а

x

ψ

б

x

Рис. 17.7. Хвильова функція у моделі Андерсена:

а– локалізований стан поблизу переходу Андерсона (слабка локалізація);

б– сильна локалізація

За координаційного числа z = 6 Андерсон отримав, що CL = 5.5.

Таким чином, завдяки можливості андерсонівської локалізації у невпорядкованих системах електронний транспорт вже не визначатиметься процесами розсіювання на недосконалостях ґратки, а має формуватись іншими процесами. Одним із механізмів формування електронного транспорту у невпорядкованих системах завдяки наявності локалізованих станів є стрибковий механізм.

17.1.4. Стрибкова провідність

За ненульових температур локалізовані стани дають внесок до процесів перенесення, який називається стрибковою провідністю, оскільки він виникає як результат переміщення носіїв заряду з одного локального центру на інший (стрибків з однієї потенціальної ями до

287

Розділ 17. Невпорядковані напівпровідникові структури

іншої). Важливим аспектом концепції стрибкової провідності є припущення, що всі центри локалізації характеризуються різними енергіями, тобто два центри з однаковою енергією локалізації розташовані на нескінченній відстані один від одного. Оскільки одним із прикладів невпорядкованих систем є домішкові напівпровідники, характерні властивості стрибкової провідності розглянемо, виходячи із моделі домішкової зони за слабкого легування.

Нехай домішкові центри характеризуються координатами ri , а хвильові функції локалізованих на них електронів затухають на нескінченності згідно із моделлю воднеподібної домішки

 

 

ε 2

 

−3/2

e−|rri|/aB

 

 

ψ(r r )

 

 

 

 

,

(17.27)

*

 

 

i

 

e

2

 

 

m

 

 

 

 

 

де введено перенормований борівський радіус зонного електрона aB = ε 2m*e2 із діелектричною проникністю напівпровідника ε та ефективною масою m* 1 . За невеликої концентрації домішок N (aB3 N <<1) домішкові стани можна вважати локалізованими. Але за-

вдяки експоненційним хвостам хвильових функцій перекривання хвильових функцій сусідніх центрів є помітним, і за мірою цього перекривання існує ймовірність переходу (стрибка) електрона з одного центра на інший

1

Fij , fi , f j )d3q|Mq |2 δ( qs − ∆ij ),

(17.28)

 

τij

 

У цій формулі s швидкість звука, а δ-функція забезпечує закон збереження енергії і відбирає фонони, що випромінюються або погли-

наються електроном, для компенсування різниці енергій ∆ij = εi − εj

початкового j та кінцевого i станів. Функція F описує статистичні умови переходу з j-го до i-го станів і пропорційна ймовірності того, що початковий стан заповнений, а кінцевий незаповнений, тобто добутку функції розподілу Фермі початкового стану

 

 

−1

і кінцевого стану

(1− fi ),

а також залежить

f j = exp(εj − µ)/kT +1

 

від функції розподілу фононів за енергіями

ij

:

ϕ

=

exp(∆

ij

/kT )−1 −1 .

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

Для якісних висновків можна користуватись оцінкою цієї функції

1 Зрозуміло, що ефективну масу можна ввести лише для кристалічного напівпровідника. Введення ефективної маси у (17.27) означає, що розглядається кристалічний стан напівпровідника із достатньо великою концентрацією домішкових центрів, але такою, що дозволяє розглядати систему як кристалічну.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

288

F ≈ exp(−εij /kT ) із деякою характеристичною енергією εij . У першому наближенні інтеграл у (17.28) оцінюється як експонента exp(−2rij /aB ), де rij відстань між двома домішковими центрами, на яких може

локалізуватися електрон.

Таким чином, ймовірність переходу 1/τij між центрами j та i про-

порційна добутку двох експонент. Якщо з'єднати кожну пару домішкових центрів уявними опорами Rij , пропорційними τij ,

R

= R

0

exp (2r /a

B

)+ (ε

/kT )

,

(17.29)

ij

 

 

ij

ij

 

 

 

то можна отримати мережу випадкових опорів, що моделюють ізолятор. Така мережа називається мережею Абрахамса-Міллера (рис. 17.8).

 

 

Згідно

із принципом детальної

 

 

рівноваги, в умовах термодина-

 

 

мічної рівноваги електронні пе-

i

 

реходи між вузлами мережі від-

 

буваються з однаковою ймовірні-

Rij

j

стю в обидва боки. Під дією зов-

 

 

нішнього електричного поля з'яв-

 

 

ляється направлений потік елек-

 

 

тронів, тобто провідність. Для її

 

 

обчислення необхідно розв'язати

Рис. 17.8. Мережа Абрахамса–Міллера

задачу

про провідність мережі

АбрахамсаМіллера.

17.1.4.1. Переходи між найближчими центрами

Найбільш простим видом стрибкової провідності є провідність, що визначається переходами між найближчими центрами. Щільність станів у домішковій зоні за малої компенсації має максимум у точці,

що знаходиться поблизу енергії іонізації ізольованого донора ED .

Зрозуміло, що найбільш ймовірно стрибки відбуватимуться, якщо початковий і кінцевий стани мають енергії поблизу максимуму щільності станів. Для того, щоб стрибок міг бути реалізований, необхідно, щоб кінцевий стан був незайнятий. Ймовірність такої події залежить від відстані енергії стану до рівня Фермі µ і пропорційна експоненті K = e−|µ−ED|/kT . Це й є множником, що визначає функцію F у (17.28).

Фактор exp(−∆ij /kT ), що визначає кількість фононів, які беруть участь

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]