OFP-Tretyak-Lozovski

ктрони розсіюються слабко. При цьому можна ввести поняття ефективної маси і зв'язок між хвильовим вектором та енергією має

звичайний характер квадратичної функції E = 2k2 /2m* , а щільність станів – N(E)~ E − EC . Доки середня довжина вільного пробігу L має

кінцеву величину та виконується умова kL >>1, вищезгаданий граничний випадок є припустимим. Коли L зменшується настільки, що kL ~1, зміни у щільності станів набувають незворотного характеру і користуватись квадратичним законом дисперсії неможливо.

Доки у некристалічних речовинах розупорядкування не приведе до подібного зменшення довжини вільного пробігу, що kL ~1, можуть існувати такі ситуації:

 розсіювання на кожному атомі є незначним. Тоді хвильовий вектор k є прийнятним квантовим числом, і невизначеність хвильового вектора ∆k є такою, що ∆k /k <<1. У цьому випадку ізоенергетичні пове-

рхні є сферичними, і можна використовувати квадратичне наближення для закону дисперсії електронів. Така ситуація реалізується у рідких металах для енергії Фермі та в деякому околі поблизу енергії Фермі;

 розсіювання на кожному атомі є значним. Тоді ∆k /k ~1 і хви-

льовий вектор не є прийнятним квантовим числом. У цьому випадку, як можна довести, довжина вільного пробігу L ~1/k і не може бути

меншою за 1/k . Щільність станів при цьому значно відрізняється від

тієї, що дає наближення квадратичного закону дисперсії;  якщо взаємодія електронів із розсіювачами стає більшою, виникає

нове явище, відсутнє у кристалах: за заданої енергії хвильові функції електронів стають локалізованими. Це означає, що кожна хвильова

функція ψE зосереджена у малій області простору, спадаючи експоненційно з відстанню як exp(−αR). Енергетичні рівні при цьому кван-

товані, а щільність станів обмежена та неперервна. При ц ьому стани локалізовані, хоча хвильові функції можуть перекриватись. Цей ефект називається локалізацією Андерсона і буде детальніше розглянутий далі.

Якщо за заданої енергії деякі стани локалізовані, то всі стани із цією енергією мають бути локалізовані. Експериментальним доведенням того, що локалізовані та нелокалізовані стани не співіснують за заданої енергії є факт, що у домішковій зоні кристалічного кремнію, утвореній за легування його фосфором, ширина лінії комбінаційного розсіювання світла, пов'язана із переходами електронів у зоні провідності, розширюється завдяки допплерівському зсуву. При цьому лінія, що визначається переходами із домішкової зони, не розширюється. Екс-

периментально показано, що розширена та нерозширена лінії не співіснують за однакової концентрації донорів.

У будь-якій некристалічній системі можлива велика кількість конфігурацій атомів, що відповідають одній енергії. Таку сукупність конфігурацій називають ансамблем. Це означає, що будь-яка розрахункова величина, яку необхідно порівняти з експериментом, має бути усереднена за всіма конфігураціями ансамблю. Серед них мають бути й такі, для яких стани нелокалізовані, наприклад конфігурації у ви-

гляді кристалів. Якщо існує така провідність σE , що для всіх заповнених станів (E ≤ EF , EF належить до області енергій, де стани локалізовані) σE → 0 при T → 0 , то усереднення за всіма конфігураціями системи величини σE дасть нуль: < σE > 0= . У цьому сенсі найбільш задовільним визначенням локалізації хвильових функцій з енергією E буде занулення усередненого значення величини σE , тобто

Для розрахунку σE розглядається взаємодія електромагнітної хвилі

низької частоти ω із середовищем, де всі стани заповнені до деякого граничного значення енергії E. Тоді провідність на постійному струмі при T = 0 визначається як

У неупорядкованому напівпровіднику провідність за ненульової температури та нехтування взаємодією із коливаннями каркасу (із

фононами) визначається через σE

Вираз для σE , що можна отримати за допомогою (17.7), називається формулою Кубо-Грінвуда (її виведення див. у додатку J)

Ω – об'єм системи. ...E – усереднення за всіма станами з енергією E

та за всіма станами з енергією E' із подальшим припущенням, що

E = E′ .

17.1.3. Локалізація Андерсона

Андерсонівською локалізацією називають явище, що виникає за розповсюдження хвиль у просторово-неоднорідному середовищі: завдяки багаторазовому розсіюванню на неоднорідностях та інтерференції розсіяних хвиль стає неможливим розповсюдження біжучих хвиль. Коливання набувають характеру стоячої хвилі, що локалізована в обмеженій області простору. Андерсонівська локалізація можлива для хвиль довільної природи, але особливо яскраво вона виявляється у випадку хвиль де Бройля для частинок при вивченні кінетичних властивостей, наприклад електропровідності та теплопровідності неупорядкованих твердих тіл (аморфні та сильно леговані напівпровідники), оскільки за наявності ефекту андерсонівської локалізації рухливість частинок є нульовою. Експериментальним виявом локалізації електронних станів є рівність нулю статичної провідності в умовах низьких температур. Якщо рівень Фермі лежить в області локалізованих станів,

то провідність σT за кінцевих температур має бути активованою, що

Явище андерсонівської локалізації найбільш інтенсивно вивчалось на модельному гамільтоніані такого типу

де εj - енергія j-го незбуреного стану, Vjj′ – збурення, що виникає за-

вдяки неперіодичному потенціалу. У другому доданку сума береться за найближчими сусідами. Незважаючи на те, що андерсоновська локалізація є властивістю найпростішого гамільтоніана електронів, що майже не взаємодіють, виявилось, що вона являє собою надзвичайно складне явище. Андерсон, очевидно, був першим, хто усвідомив, що гамільтоніан за наявності безпорядку може характеризуватись подовженими або локалізованими станами залежно від величини розупорядкуання. Розглянемо виникнення локалізованих станів у невпорядкованій системі, що складається з періодично повторюваних у просторі потенціальних ям різної глибини.

Як відомо, розв'язком рівняння Шредингера є

для періодичного потенціалу V (див., напр. задачу Кроніга-Пенні) може бути утворення вузької енергетичної зони (рис. 17.3).

При цьому ефективна маса електрона на дні зони провідності – m* = 2 /(2I α2 ), а ширина зони – B = 2zI , де z – координаційне число.

Що відбудеться з енергетичною зоною, якщо потенціал стане неперіодичним? Необхідно пам'ятати, що неперіодичний потенціал можна отримати із періодичного у два способи:

 зсуваючи кожний центр потенціальної ями, що утворюють регулярну структуру, на випадкову відстань;

 додаючи випадковий потенціал <V/2 до кожної ями.

Зрозуміло, що комбінація цих методів також дасть невпорядковану систему. Але для якісного розуміння ефекту андерсонівської локалізації можна користуватись найпростішим методом побудови невпорядкованої системи. Андерсон припускав, що V набуває будь-яких значень з

де значення швидкості u береться за енергії E = EF . У випадку, що

розглядається, можна вважати: щільність станів незначно відрізняється від такої у впорядкованій структурі, тобто має вигляд

Рис. 17.4. Модельний потенціал невпорядкованої структури

Згідно із правилом Іоффе-Ригеля у невпорядкованих системах неможливою є така довжина вільного пробігу, що kL <1 . Це пр авило означає: найменша величина вільного пробігу реалізується у випадку, коли хвильова функція "втрачає пам'ять" про свою фазу на відстанях, що дорівнює міжатомним. Тоді довжину вільного пробігу можна оцінити як L ≈ a , що означає згідно із (17.22)

(17.23) маємо, що втрата пам'яті фази хвильової функції на відстанях

(17.23), слідуючи за Андерсоном, розглянемо дві потенціальні ями – а та b, розташовані на відстані R одна від одної. Енергії ям відрізняються

від середньої на величини Va і Vb , відповідно. Хвильові функції двох електронів в ямах мають вигляд

ψ1 = Aφa + Bφb ,

(17.24)

ψ2 = Bφa − Aφb ,

де φa і φb – атомні хвильові функції. Коефіцієнти A, B та енергії E1, E2

можна знайти за допомогою мінімізації інтеграла енергії. Не вдаючись до деталей отримання громіздких результатів такої мінімізації, розглянемо якісно деякі граничні випадки:

Рис. 17.5. Хвильова функція двох однакових потенціальних ям для станів: а – симетричних; б – антисиметричних

Хвильові функції для однакових ям (випадок І) подано на рис. 17.5, а хвильові функції для випадку ІІ – на рис. 17.6.

ψ ψ

Рис. 17.6. Хвильова функція двох неоднакових потенціальних ям для станів: а – симетричних; б – антисиметричних

Уявимо тепер, що система складається із великої кількості ям. Тоді хвильова функція системи являтиме суперпозицію хвильових функцій окремих ям

внесок до i-го стану системи від j-ї ями, є різними, огинаюча матиме максимум на ямі із більшою глибиною. У результаті виникатиме ситуація, коли ймовірність знайти частинку локалізованою на цій ямі є набагато більшою, ніж в іншому місці системи.

Якщо кількість ям збільшувати до нескінченності, то при переході від однієї ями до іншої виникають флуктуації амплітуди та фази хвильової функції. Флуктуації збільшуються зі зростанням безпорядку у

системі, тобто величини V0 /B . Якщо відношення V0 /B дуже велике,

то хвильові функції кожної окремої ями будуть слабко збурені всіма іншими ямами та експоненційно спадатимуть із відстанню (рис. 17.7) – виникатиме локалізація станів. Для з'ясування, за яких значень па-

раметру невпорядкованості V0 /B відбуватиметься така локалізація,

Андерсон розглянув потенціал типу поданого на рис. 17.4 і переформулював задачу так: якщо у момент часу t = 0 електрон локалізований на одній із ям, то що з ним відбуватиметься за t → ∞ ? Чи існує при T = 0 ненульова ймовірність того, що електрон продифундує на велику відстань. Андерсон знайшов, що дифузія не відбувається (відбувається локалізація), якщо V0 /B ≥ CL , де стала CL залежить від координацій-

ного числа z. У цьому випадку хвильова функція електрона буде експоненційно затухати із відстанню r від n-ої ями, тобто хвильові функції локалізованих на ямі j станів матимуть вигляд

де коефіцієнти An характеризуються випадковими фазами.

ψ

а

x

ψ

б

x

Рис. 17.7. Хвильова функція у моделі Андерсена:

а– локалізований стан поблизу переходу Андерсона (слабка локалізація);

б– сильна локалізація

За координаційного числа z = 6 Андерсон отримав, що CL = 5.5.

Таким чином, завдяки можливості андерсонівської локалізації у невпорядкованих системах електронний транспорт вже не визначатиметься процесами розсіювання на недосконалостях ґратки, а має формуватись іншими процесами. Одним із механізмів формування електронного транспорту у невпорядкованих системах завдяки наявності локалізованих станів є стрибковий механізм.

17.1.4. Стрибкова провідність

За ненульових температур локалізовані стани дають внесок до процесів перенесення, який називається стрибковою провідністю, оскільки він виникає як результат переміщення носіїв заряду з одного локального центру на інший (стрибків з однієї потенціальної ями до

F ≈ exp(−εij /kT ) із деякою характеристичною енергією εij . У першому наближенні інтеграл у (17.28) оцінюється як експонента exp(−2rij /aB ), де rij – відстань між двома домішковими центрами, на яких може

локалізуватися електрон.

Таким чином, ймовірність переходу 1/τij між центрами j та i про-

порційна добутку двох експонент. Якщо з'єднати кожну пару домішкових центрів уявними опорами Rij , пропорційними τij ,

то можна отримати мережу випадкових опорів, що моделюють ізолятор. Така мережа називається мережею Абрахамса-Міллера (рис. 17.8).

17.1.4.1. Переходи між найближчими центрами

Найбільш простим видом стрибкової провідності є провідність, що визначається переходами між найближчими центрами. Щільність станів у домішковій зоні за малої компенсації має максимум у точці,

що знаходиться поблизу енергії іонізації ізольованого донора ED .

Зрозуміло, що найбільш ймовірно стрибки відбуватимуться, якщо початковий і кінцевий стани мають енергії поблизу максимуму щільності станів. Для того, щоб стрибок міг бути реалізований, необхідно, щоб кінцевий стан був незайнятий. Ймовірність такої події залежить від відстані енергії стану до рівня Фермі µ і пропорційна експоненті K = e−|µ−ED|/kT . Це й є множником, що визначає функцію F у (17.28).

Фактор exp(−∆ij /kT ), що визначає кількість фононів, які беруть участь