ватиме потоку частинок, що падають на кільце, яке визначається інтервалом прицільних параметрів (ρ, ρ + dρ). Площа кільцевої ділянки dS = 2π ρ dρ . Оскільки повне число частинок зберігається, то числом частинок, що набігають на центр розсіювання за одиницю часу, є nνdΩ. Тоді переріз розсіювання, що визначається як відношення числа відхилених частинок на число частинок, які набігають на розсіювач,
σ(θ) = nν2πρ|dρ|. nνsinθdθ
Використовуючи (D.12), маємо
2ρ|dρ|= |
Z 2e4 |
ctg |
θ |
1 |
|
dθ. |
ε2m2ν 4 |
2 |
sin |
2 θ |
|
r |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставимо цей вираз до (D.14) і, зважаючи на те, що ctg(θ/2)/sin2(θ/2)= sinθ/(2sin4(θ/2)), остаточно отримуємо
|
Z 2e4 |
1 |
. |
σ(θ)= |
|
|
|
|
ε2m2ν 4 |
sin |
4 θ |
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
Використаємо формулу, що пов'язує час релаксації з ефективним перерізом провідності (див. (9.35) та (9.37)). Але, якщо безпосередньо підставити до інтегралу
C |
|
π |
[ |
] |
|
= 2π |
∫ |
|
σ |
|
σ(ϑ) 1 |
−cosϑ sinϑ dϑ |
(D.17) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
функцію σ(θ), то побачимо, що на нижній границі він розходиться. Для уникнення такої ситуації зауважимо: насправді переріз розсіювання обмежений, що пов'язано з існуванням деякого максимального значення прицільного параметра. Останній відповідає мінімальному значенню кута, на який у кристалі відхиляються носії. Якщо іони домішки розподілені рівномірно за об'ємом кристала зі щільністю NI, то
середньою відстанню між ними буде (NI )–1/3. Зрозуміло, що максима-
льний прицільний параметр тепер дорівнює (1/2)(NI )–1/3, тобто використовуючи (D.11), маємо
|
θ |
min |
|
ε m*ν2 |
|
ε m*ν2 |
|
|
|
|
r |
|
r |
|
ctg |
|
|
= |
|
ρmax = |
|
. |
(D.18) |
|
2 |
Ze2 |
2Ze2N1/3I |
При обчисленні σC маємо інтеграл
π |
|
(1 |
−cosθ)sinθ |
π |
cos θ |
|
|
2 |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
min |
|
∫ |
dθ |
|
|
|
= 8 ∫ dθ |
|
= −4ln |
sin |
|
|
. |
(D.19) |
|
|
4 θ |
|
θ |
|
|
2 |
θmin |
|
|
sin |
θmin |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
336 |
Але −4ln |
sin2 |
θmin |
= 4ln |
|
1 |
= 4ln(1+ctg2 |
θmin |
)= 4ln 1+ |
εr2(m* )2ν4 |
. (D.20) |
|
2 θmin |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4Z e |
NI |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
2 4 |
2/3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Таким чином, остаточно знаходимо переріз розсіювання та час релаксації носіїв заряду на іонізованій домішці
|
Ze |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
(m |
* |
2 4 |
|
|
σC = 2π |
|
|
|
ln 1 |
+ |
εr |
|
) ν |
|
(D.21) |
* |
2 |
|
2 |
4 |
2/3 |
εrm |
ν |
|
|
|
|
4Z e |
NI |
|
|
і час релаксації електрона при розсіюванні на іонізованій домішці
τI = |
ε2 |
(m* )2ν3 |
|
|
. |
(D.22) |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε2 |
(m* )2ν 4 |
|
|
|
2πZ 2e4NI ln 1 |
+ |
r |
|
|
|
|
|
|
2 4 |
2/3 |
|
|
|
|
|
4Z e |
NI |
|
|
Оскільки енергія частинки у невиродженому електронному газі складає kT, то другий доданок в аргументі логарифму є великим, й одиницею можна нехтувати. Крім того, при врахуванні ефекту екранування, тобто при використанні потенціалу типу
|
|
|
α |
−r/r |
|
|
|
|
|
|
|
|
U (r ) = r e |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D22) набуде вигляду |
τI = |
|
ε2E3/2(2m* )1/2 |
|
, |
(D23) |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8m*Er 2 |
|
|
|
|
|
πZ 2e4NI ln |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де Е – енергія електрона.
Додаток Е
Енергія, яку втрачає електрон за розсіювання на оптичному фононі
Для з'ясування походження формули для енергії, яку втрачає носій за одиничний акт зіткнення W = ω0t (hω0/2kT ) (див. (12.24)), припус-
тимо, що ймовірністю переходу електрона зі стану k до стану k' з емітуванням фонона, що характеризується імпульсом q, є W −(k,k′) ( k = k −q ), а ймовірністю переходу електрона із поглинанням фонона є W +(k,k′). Тоді енергія, що передається ґратці за один акт зіткнення електрона із ґраткою,
W −(k,k −q)−W +(k,k + q) |
|
E = ω0 W −(k,k −q)+W +(k,k + q). |
(Е1) |
Ймовірність переходу електрона зі стану k до стану k' з емітуванням фонона, що характеризується імпульсом q, можна обчислити як
|
|
|
|
W |
− |
(k, k |
− |
q) |
ω |
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Е2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
q)( Nq 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно для переходу електрона із поглинанням фонона |
|
|
|
|
|
|
|
W |
+ |
(k,k |
+ |
q) |
ω |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Е3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(q)Nq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді |
W − − W+ |
|
Nq +1−Nq |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
− |
|
+ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
W + W Nq +1+Nq 2Nq +1 2 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
e |
ω /kT |
−1 |
Спростимо отриманий вираз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ω0/kT −1 |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
th |
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e ω0/kT +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
e |
ω /kT |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи цей вираз до (Е1), знайдемо частину енергії, яку передає електрон ґратці за розсіювання на оптичному фононі
Додаток F
Визначення відношення коефіцієнта дифузії до рухливості
Еволюція профілю просторового розподілу неосновних носіїв заряду в області, що дрейфує під дією електричного поля, визначається рівнянням
δp = |
|
δp0 |
|
exp(−t/τp )exp(−x2/4Dpt). |
|
|
|
2 |
|
πDpt |
|
|
|
|
Знайдемо півширини профілів розподілу дірок у два моменти часу t1 та t2:
|
|
|
|
|
|
x(t1 )= 4 |
Dpt1ln2 |
, |
(F.1) |
x(t2 )= 4 |
|
|
. |
(F.2) |
|
Dpt2ln2 |
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
338 |
Використовуючи ці формули, маємо
x2(t )− Δx2 |
(t |
2 |
)=16D |
p |
ln2(t |
−t |
2 |
). |
(F.3) |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Перепишемо (11.4) у вигляді ∆x(t1) = νdr ∆ t1. Тоді, беручи до уваги, що вимірювання проводяться за незмінної величини струму, тобто сталої дрейфової швидкості νdr =µрЕ, отримуємо із (F.3)
µ2 |
E2( |
t2 |
− |
t2 )=16D |
p |
ln2(t |
−t |
2 |
). |
(F.4) |
p |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
Виразимо електричне поле через напругу та відстань між емітером і колектором, скажімо у першому вимірюванні. Отримаємо
µ ν |
|
U1 |
= |
16Dpln2 (t1 −t2 ) |
, |
p dr |
|
l |
|
|
|
|
t2 − |
t2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
звідки знаходимо остаточно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dp |
|
|
|
U |
1 |
t2 − |
t |
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
2 . |
|
(F.5) |
|
µp |
|
|
16ln2 |
t1(t1 −t2 ) |
|
ДОДАТКИ
Додаток G
Міжзонна (комбінована) щільність станів
Проаналізуємо поведінку міжзонної щільності станів (її часто, особливо в російськомовній літературі, називають комбінованою щільністю станів), що визначає кількість станів електрон-діркової системи яка взаємодіє із фотонами у частотному діапазоні [ω, ω + dω]
ρ(ω) = |
V |
∫dkδ(Ec (k) −Ev (k) − ω) . |
(G.1) |
(2π)2 |
Інтеграл, що фігурує в цій формулі, зручно обчислювати, здійснюючи інтегрування по поверхні сталої енергії
Ec (k) −Ev (k) = E.
Оскільки дельта-функція задовольняє співвідношенню
′ |
|
|
δ(k′−k) |
, |
|
|
k (E′(k) −(E′(k)) |
|
δ(E |
−E − ω) = |
E′−E − ω |
то для міжзонної щільності станів отримаємо
ρ(ω) = |
V |
∫ |
|
|
dS |
, |
(2π)2 |
|
|
k [Ec (k) −(Ev (k)] |
|
Ec −EV = ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
де інтегрування ведеться по поверхні сталої енергії. Як видно із (G.4), інтеграл являє собою гладеньку функцію частоти за всіх значень ω, крім тих, які зануляють знаменник:
|
k (Ec (k) −(Ev (k)) |
Ec −EV = ω = 0 . |
(G.5) |
|
|
|
Зрозуміло, що за виконання умови (G.5) інтеграл повинен мати особливість, тобто або він сам буде розбіжним, або похідні за частотою від нього. Оскільки для квадратичних законів дисперсії (що завжди є справедливим в околі стелі валентної зони та дна зони провідності)
k (Ec (k) −EV (k)) =vc (k) −vv (k), то умову (G.5) можна записати у вигляді
|
vc (k) −vv (k) |
|
= 0. |
(G.5) |
|
|
А це означає, що особливості в міжзонній щільності станів виникають, коли міжзонний перехід відбувається між станами з однаковими швидкостями носіїв. Точки в зоні Бриллюена, для яких виконується рівність (G.6), називаються критичними. Сінгулярності в щільності станів (отже й у коефіцієнті поглинання), пов'язані з такими критичними точками, називаються сингулярностями Ван Хова. Очевидно, що
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
328 |
можуть існувати два типи критичних точок. Перший тип (критичні точки першого роду) відповідає ситуації, коли обидві швидкості у зоні провідності та валентній зоні одночасно занулюються, тобто
k k1C : vc (k) = 0, |
vv (k) = 0; |
(G.7) |
другий тип (критичні точки другого роду) kC2 : |
|
k kC2 : vc (k) ≠ 0, vv (k) ≠ 0, vc (k) −vv (k) = 0. |
(G.8) |
Умови (G.7) виконуються тільки в силу тих чи інших співвідношень симетрії у зоні Брилюена. Наприклад, оскільки енергія зонного електрона є парною функцією імпульсу, то градієнти мають бути непарними функціями імпульсу. Тоді, якщо в центрі зони Бриллюена енергетичні зони не вироджені, то там розташовується критична точка першого роду. В інших довільних точках, що не відповідають симетричним точкам зони Брилюена, умови (G.7) можуть виникати лише випадково. Критичні точки другого роду у принципі можуть існувати в
будь-яких точках зони Брилюена, оскільки різниця k EC − k EV може
занулятись у довільних точках зони Брилюена, наявність яких визначається конкретним виглядом закону дисперсії. При цьому, якщо в критичних точках першого роду особливості мають як міжзонна щільність станів, так і щільності станів у валентній зоні та зоні провідності, то в критичних точках другого роду особливу поведінку виявляє тільки міжзонна щільність станів.
Оскільки критичні точки першого роду визначаються нулями градієнтів енергії, то вони відповідають стелі та дну валентної зони та зони провідності, а також сідловин точкам законів дисперсії. Розглянемо поведінку міжзонної щільності станів в околі деякої критичної
точки k0 . У цій точці градієнт енергії по хвильовому вектору дорівнює
нулю, то, вибираючи систему координат так, щоб її осі були направлені вздовж головних осей тензора ефективної маси, поблизу цієї точки закон дисперсії можна представити у вигляді
3 |
1 |
−1 |
2 |
0 |
) |
2 |
+..., |
(G.9) |
E(k) = E(0) + ∑ |
2 |
mi |
|
(ki −ki |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
де через mi−1 позначено компоненти тензора оберненої ефективної маси в точці k = k0 . Залежно від знаків компонентів тензора ефективної маси можуть існувати чотири типи особливих точок поверхні E(k):
a)особлива точка M0 відповідає мінімуму поверхні – усі три компоненти тензора ефективної маси позитивні;
b)особлива точка M1 відповідає сідловій точці поверхні – одна з
компонент тензора ефективної маси від'ємна, а дві інші – позитивні;
c)особлива точка M2 відповідає сідловій точці поверхні – одна з компонент тензора ефективної маси позитивна, а дві інші – від'ємні;
d)особлива точка M3 відповідає максимуму поверхні – усі три
компоненти тензора ефективної маси від'ємні.
Підставимо енергію (G.9) до формули для міжзонної щільності станів (G.1), обмежуючи область інтегрування невеликим околом критичної точки. Зробимо заміну змінних
|
(ki |
−ki0 ) = qi (2mi )1/2. |
|
(G.10) |
Дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ(ω) |
= |
25,2 |
|m m m |
|
|3/2 |
I, |
(G.11) |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
8π3 3 |
|
|
|
|
∫dqδ(q2 +E(0) − ω), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка М0 |
, |
|
∫dqδ(−q |
|
+E(0) − ω), |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
точка М3 |
, |
|
|
|
|
|
I = |
∫dqδ(qx2 +qy2 −qz2 +E(0) − ω), |
|
(G.12) |
|
точка М1 , |
|
|
|
−qy2 +qz2 +E(0) − ω), |
|
|
∫dqδ(−qx2 |
точка М2 . |
У цих формулах E(0) = EC (k0 ) −EV (k0 ) .
Інтеграл для точки типу М0 аналогічний інтегралам, які зустрічатись
при обчисленні щільності станів напівпровідника із параболічним законом дисперсії. Це дає підставу написати для міжзонної щільності станів
|
|
|
|
|
|
|
ω −E(0), |
ω ≥ E(0), |
|
|
|
(G.13) |
ρ(ω) ~ |
0, |
|
ω < E(0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Як видно з цієї формули, у разі, коли критичною є точка центру зони Бриллюена, формула (G.13) описує поглинання в прямозонному напівпровіднику біля краю смуги поглинання.
Аналогічний результат легко отримати для точки М3, оскільки д е- льта-функція є парною функцією аргументу, тобто
δ(−q2 +E(0) − ω) = δ(q2 −E(0) + ω) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω −E(0), |
ω ≤ E(0), |
|
|
|
(G.14) |
ρ(ω) ~ |
0, |
|
ω > E(0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
330 |
Для обчислення величини I в точках М1 і М2 перейдемо до циліндричних координат, у результаті дістанемо dq = ududϕdqz . Розглянемо
для визначеності особливість в точці М1. Оскільки аргумент дель- та-функції не залежить від кута, інтегрування за кутом проводиться безпосередньо. Отримаємо
q |
|
|
|
|
I = 2π ∫2 udu∫dqz δ(E(0) − ω+u2 −qz2 ). |
(G.15) |
q1 |
|
|
|
|
Для подальшого використаємо відоме співвідношення (див 8.3) |
|
δ(A2 − X 2 ) = |
|
1 |
[δ(X − A) + δ(X + A)] |
|
|
|
|
маємо |
|
2A |
|
q |
|
|
|
I = 2π ∫2 udu∫(E(0) − ω+u2 )−1/2. |
(G.16) |
|
q1 |
|
У формулах (G.15) і (G.16) межі інтегрування q1 та q2 можна знайти з |
умови (E(0) − ω+u2 )> 0− q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω ≥ E(0) |
|
|
|
|
|
q1 |
ω−E(0) , |
|
= |
0, |
|
ω < E(0) |
(G.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та з розміру області навколо особливої точки, де розкладення (G.9) справедливе – q2 . Обчислення інтеграла у (G.16) із врахуванням (G.17) дає
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− E(0) − ω , |
ω ≤ E(0) , |
|
E(0) − ω+q2 |
ρ(ω) ~ |
|
|
|
|
|
|
(G.18) |
|
E(0) − ω+q2 |
, |
|
|
|
|
|
|
ω > E(0) . |
|
2 |
|
|
|
|
Для точки М2 аналогічні обчислення дають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
ω < E(0) , |
|
|
ω−E(0) +q2 |
|
|
ρ(ω) ~ |
|
|
|
|
|
|
(G.19) |
|
ω−E(0) +q2 |
− ω−E(0), |
ω ≥ E(0) . |
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким чином, міжзонна щільність станів у точці ω = E(0) має залом.
Схематично поведінку щільності станів поблизу точок Ван Хова подано
на рис. G1.
Е0 |
ω |
Е0 |
ω |
ρ(ω) |
|
ρ(ω) |
|
M1 |
|
M2 |
|
Рис. G1. Міжзонна щільність станів поблизу особливих точок. Індекс у літери М вказує на кількість негативних коефіцієнтів у розкладенні різниці енергій (формула (G. 9))
Додаток Н
Електрон в квантовій ямі
У розд. 15.3 було показано, що рух електрона в квантовій ямі може бути зведений до руху в площині ями та поперечного руху. Рух електрона в площині ями характеризується ефективною масою m* і дво-
вимірним хвильовим вектором k|| = (kx , ky ). У результаті визначення
енергетичних станів в ямі зводиться до розв'язку одновимірного рівняння Шредингера
|
2 |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+V (z) χ(z) = χ(z) . |
(H.1) |
2m |
* |
|
|
|
2 |
dz |
|
|
|
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
332 |
Рис. H1. Потенціал квантової ями
Згідно із загальними властивостями рівняння Шредингера можна очікувати наявності двох типів розв'язків
цього рівняння: за < Vb електрони будуть зв'язані в ямі, а за > Vb рух електрона буде необ межений і стани – незв'язаними. Оскільки потенціал при
z = ±L/2 є розривним, для виконання умов нерозривності хвильових функцій необхідно зшити розв'язок та його похідну на межах розриву потенціалу. Крім того, розв'язок має бути обмеженою функцією за умов z → ± ∞ . За < Vb ззовні ями розв'язок матиме вигляд
|
Ae |
−kb (z−L /2) |
за |
z ≥ L /2, |
|
|
χ(z) = |
Bekb (z+L /2) |
за |
(H.2) |
|
z ≤ −L /2, |
|
|
|
|
|
де kb = 
−2m* ( −Vb ) / 2 . Розв'язок усередині ями буде простою комбінацією плоских хвиль
χ(z) =C coskwz +D sinkwz за |z |≤ L /2 , |
(H.3) |
де kw = 
−2m* / 2 , A, B, C, D є константами, що визначаються з
умов зшивання хвильової функції та її похідних у точках розриву потенціалу. Оскільки задача є симетричною відносно z = 0, можна вибрати або парну або непарну комбінації розв'язків (H.2) і (H.3). Виберемо парні розв'язки. Тоді з умови неперервності хвильової функції маємо: А = В, і розв'язок матиме вигляд
|
C coskwz |
за |
|z |≤ L /2 , |
|
|
|
|
(H.4) |
χ(z) = |
|
|
|
|
Ae |
±k (z±L /2) |
за |
|z |≥ L /2 . |
|
b |
Знаки мінус і плюс відповідають позитивним і негативним значенням координати z. Наступним кроком є зшивання функцій та їхніх похідних у точках z = ± L/2. У результаті дістанемо два рівняння для визначення двох коефіцієнтів А та С
C coskwL / 2 = A, |
(H.5) |
C kwsinkwL / 2 = Akb . |
(H.6) |
