Определение момента инерции маятника Максвелла

Постановка задачи. Определить момент инерции маятника Максвелла, масса которого равна m, радиус вала равен r. При движении вниз маятник проходит расстояние h за время .

Указания к решению. Уравнения поступательного и вращательного движения для маятника Максвелла (рис.10.1) имеют вид

-ma=2T-mg, (10.1)

I=2Tr (10.2)

Отметим, что если нить не проскальзывает во время движения, то

a= r. (10.3)

Отметим, что здесь и в дальнейшем индексы z и с опущены.

Запишем кинематическое соотношение между h и :

(10.4)

Решая систему (10.1)-(10.4), получим

(10.5)

Здесь d=2r – диаметр вала.

Полученный результат сравниваем со значением момента инерции, определяемым из теоретических соображений. Маятник Максвелла состоит из элементов правильной геометрической формы – вала, диска и съемного кольца, материал маятника - однородный. При этом момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать по формуле

I=I_в+I_д+I_к. (10.6)

Здесь Iв- момент инерции вала; Iд- момент инерции диска; Iк - момент инерции кольца. Проводя расчеты с использованием формулы для определения момента инерции

, (10.7)

найдем инерции элементов маятника Максвелла: момент инерции вала

; (10.8)

момент инерции однородного диска

(4.9)

(R1- радиус диска); момент инерции кольца

. (10.10)

Здесь d₁=2R₁ – внутренний диаметр кольца, d₂=2R₂ – его внешний диаметр. В (10.6)-(10.8) m_в, m_д, и m_к – массы вала, диска и кольца соответственно. Отсюда значение m в соотношении (10.5) определяется как

Определение моментов инерции элементов маятника Максвелла с использованием закона сохранения механической энергии

Постановка задачи. Используя закон сохранения механической энергии, определить моменты инерции элементов маятника Максвелла. Масса маятника Максвелла m, радиус вала r, расстояние h маятник проходит за время .

Указания к решению.Примем потенциальную энергию маятника Максвелла W_п=0 в положении, когда маятник находится в нижней точке. Кинетическая энергия в этом положении

. (10.11)

Здесь - скорость центра масс маятника,  - угловая скорость, I-момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. В верхнем положении маятника его потенциальная энергия

,

а кинетическая энергия равна нулю. Из закона сохранения механической энергии для маятника Максвелла (диссипативными силами, т.е. силами трения, сопротивления воздуха и т.п. пренебрегаем) следует

(10.12)

Так как центр масс маятника Максвелла движется прямолинейно и равноускоренно, то

. (10.13)

Из (10.13) получим

(10.14)

Подставляя соотношение (10.14) в (10.12) и используя соотношение =r между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения маятника относительно оси симметрии, получим формулу для расчета момента инерции маятника Максвелла

. (10.15)

Здесь I=I_в+I_д+I_к, m=m_в+m_д+m_к (m_в, m_д, m_к – массы вала, диска и кольца соответственно). Соотношение (4.15) запишем в виде

. (10.16)

Момент инерции – аддитивная величина. Поэтому из (4.16) получим

. (10.17)

- момент инерции кольца,

. (10.18)

- момент инерции вала,

. (10.19)

- момент инерции диска.

Соотношения (10.17)-(10.19) позволяют рассчитать экспериментальные значения для моментов инерции. Результаты следует сравнить с результатами расчета по теоретическим формулам (10.18) и (10.10).