1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

1.3.3 Обработка результатов эксперимента

При решении инженерных и экономических задач часто возникает необхо-

димость в получении математических зависимостей между различными пара-

метрами, характерными для данной задачи. Исходной информацией для уста-

новления этих зависимостей является физический эксперимент или экономиче-

ские показатели. Как в том, так и другом случае мы располагаем либо таблич-

ными данными, либо точками на графике. Пусть имеется зависимость Pi , полу-

ченная при дискретных значениях Z i . Значения Pi получены из эксперимента с некоторыми погрешностями. Требуется найти зависимость P f (Z ) .

P

7

i

3

2

1

Рис. 1.11. График функции

Учитывая, что P f (Z ) имеет явно выраженную нелинейную зависимость,

запишем уравнение кривой второго порядка.

ждения этих коэффициентов запишем для всех имеющихся значений Pi зави-

симость вида (1.13).

..………………

36

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

Получена система из 7 уравнений с 3 неизвестными. Необходимо таким

методом найти X 0 , X 1 , X 2 , чтобы зависимость (1.13) лучшим способом описала результаты, представленные на графике.

Для нахождения трех неизвестных предстоит решить систему из 7 уравне-

ний. Если мы отбросим какие-либо 4 лишних уравнений, мы найдем значения неизвестных без учета этих отброшенных уравнений. С другой стороны, систе-

ма (1.14) может быть несовместной, т.е. при ее решении мы можем не получить тождества и при подстановке найденных значений неизвестных в уравнения

системы получим разницу между левой и правой частями.

разницу между аналитической зависимостью и значениями Pi , заданными в ка-

честве исходной информации в дискретных точках Z i .

Для того чтобы аналитическая зависимость наиболее полно отражала ре-

зультаты эксперимента, будем минимизировать величину:

7

Невязки взяты в квадрат для того, чтобы любая невязка получалась с од-

ним положительным знаком, при этом соотношения малых и больших невязок увеличатся. Минимизация S будет выражать наилучшее приближение анали-

тической зависимости к экспериментальным точкам (при заданной степени по-

линома). Рассмотренный нами метод носит название метода наименьших квад-

ратов [3].

Общая формулировка задачи:

необходимо решить систему n-линейных уравнений с m неизвестными.

37

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

a11x1+a12x2+…+a1jxj+…a1mxm=b1 a21x1+a22x2+…+a2jxj+…a2mxm=b2

(1.16)

ai1x1+ ai2x2+…+aijxj +…aimxm =bi

……………………………………………………..

an1x1+an2x2+…+anjxj+…anmxm=bn

Запишем i-ое уравнение в более компактном виде:

Для минимизации S возьмем от этой величины частные производные по каждой переменной xj и приравняем к 0.

s0 , отсюда:

x j

Таких уравнений будет столько, сколько неизвестных xj и получим систему n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, которые решаются методом исключения с выделением главного элемента.

38

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

1.3.4 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Будем рассматривать систему из n уравнений с n неизвестными. Методы численного решения систем линейных уравнений подразделяются на две груп-

пы: прямые (конечные) и итерационные (бесконечные). Естественно, никакой практический метод решения не может быть бесконечным. Мы имеем в виду только то, что прямые методы могут в принципе (с точностью до ошибок ок-

ругления) дать такое решение, если оно существует, с помощью конечного чис-

ла арифметических операций. С другой стороны, при использовании итераци-

онных методов, для получения точного решения теоретически требуется беско-

нечное число арифметических операций. Значит, при практическом исследова-

нии итерационных методов появляются ошибки ограничения. Это не значит,

что прямые методы лучше, т.к. ошибки округления, появляющиеся в прямых методах, играют большую роль. В некоторых случаях из-за ошибок округления могут быть получены бессмысленные результаты. Несмотря на неизбежную ошибку ограничения, итерационные методы могут оказаться наиболее удобны-

ми, т.к. при его использовании ошибки округления не накапливаются.

Рассмотрим один из прямых методов называемых методом исключения

(метод Гаусса).

Для иллюстрации метода рассмотрим систему из 3 уравнений с 3 неиз-

вестными:

a11x1+a12x2+a13x3=b1 (1)

a21x1+a22x2+a23x3=b2 (2) (1.21) a31x1+a32x2+a33x3=b3 (3)

Здесь хотя бы один из коэффициентов a11, a21, a31 должен быть отличен от

0, иначе мы бы имели дело с 3 уравнениями с двумя неизвестными. Пусть a11≠0, если, это не так мы можем переставить местами уравнения, так чтобы ко-

39

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

эффициент при x1 в первом уравнении был отличен от 0. Перестановка уравне-

ний систему не изменит. Теперь введем множитель:

Умножим 1-е уравнение (1.21) на m2 и вычтем его из 2-го уравнения (1.21).

Имеем:

Тогда 2-е уравнение (1.21) приобретет вид:

Заменим это уравнение в (1.21) уравнением (1.26), получим систему:

40

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

a33 a33 m3a13

b3 b3 m3b1

Уравнение (3) приобретает вид:

И исходная система (1.21) теперь имеет вид:

шения, либо имеет бесконечное множество решений. Введем новый множитель

В силу выбора m3

a32 m3 a22 0

b3 b3 b2 m3

Уравнение (1.29) запишется в виде

41

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

Уравнение (1.29) можно заменить уравнением (1.31).

Система (1.21) приобретает вид:

Решение этой системы совершенно очевидно.

Умножим первое уравнение (1.34) на 2 и вычтем из 2-го уравнения. Затем первое уравнение умножим на 1 и вычтем из 3-го. Получим систему, эквива-

42

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

лентную (1.34).

Умножив второе уравнение (1.35) на (-2) и вычтя его из 3-го уравнения получаем

x y z 4

4z 4

Отсюда решением этой системы будет: x 1

y 2 z 1

Обобщим этот метод на случай системы из n уравнений с n неизвестными

И вычтем из каждого i-го уравнения первое, умноженное на mi. Обозначим

aij aij mi a1 j ,

43

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

Продолжая таким образом, мы можем исключить x2 из последних n-2

уравнений, x3 из последних n-3 уравнений и т.д. На некотором k-ом этапе мы исключим xk с помощью множителей.

44

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

……………………….

Блок-схема алгоритма показана на рис. 1.12.

Здесь, чтобы не загромождать блок-схему, мы предположили, что коэффи-

циенты системы уже введены. В этой блок-схеме неясно только одно – что зна-

чит переставить уравнение, как это сделать?

Оказывается, что если переставить уравнения таким образом, чтобы коэф-

фициент при xk был наибольшим, то ошибки округления будут минимальными.

Этот коэффициент называется главным элементом. И перестановка уравнений c

выбором главного элемента называется методом главных элементов, рис. 1.13.

45

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

начало

k=1

i=k+1

нет

akk=0

да

Переставить ур-е так чтобы akk≠0

46

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

bl=t

i=k+1

Рис. 1.13. Алгоритм перестановки уравнений

47