Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
Векторный магнитный потенциал, создаваемый таким током,
A
I
I
I
определяется из выражения
44
так как ток
Перейдем к выражению для напряженности магнитного поля:
Определим подынтегральное выражение.
Пусть
adl
jdS
.
S
HA
,.
Тогда
1
r
jj
dV dSdl
rr
VSl
dl
A
1
4
l
rot rot .
,
(3.21)
r
dl
4
l
r
;
(3.22)
rot , , , rot grad , ;aa a aa a
Так как
дим ротор, то
Отсюда
Подставив полученные результаты в формулу (3.22), получаем
Это интегральная формулировка так называемого закона Био и
Hdldl
dl не зависит от положения точки М, в которой нахо-
rot 0dl
grad
I
4
1
.
r
11
rot grad , .
rr
LL
.
r
0
2
r
,
dl r
H
I
4
L
0
(3.23)
.
2
r
Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного
поля с линейным распределением тока.
81
В дифференциальной форме этот закон имеет вид
z
R
M
r
I
dH dl r
2
4
r
,.
(3.24)
0
Используя закон Био – Савара, мы можем теперь построить
магнитные поля различных линейных токов.
3.4 Примеры магнитных полей
3.4.1 Поле прямого провода
(прямолинейного тока)
z
d
0
Рис. 3.4. К вопросу
определения магнитного
поля прямого провода
Пусть ток направлен вдоль оси Z
цилиндрической системы координат
(рис. 3.4).
Поле в произвольной точке М
определяется из уравнения (3.23):
,
dz R
2
R
0
,
где
I
H
4
R — единичный вектор, направ-
0
ленный от dz к точке М; — угол
между
R и осью Z.
0
Исходя из этого запишем:
r
,sinsin ;
dz R dz dz dz
00 0 0
R
IrI r rdz
Hdz dz
00
44
1
rdz r r
33232
R
dz z I
22 22
rz rz
22 22
rz rz
I
0
42
|.
0
(3.25)
Заметим, что этот же результат легко получается из первого
уравнения Максвелла.
82
3.4.2 Круглый виток и соленоид
R
Определим поле на оси круглого витка (рис. 3.5). Подынтегральное выражение (3.24), как это видно из рисунка, имеет радиальную и продольную компоненты в цилиндрической системе координат:
I
dH dl R dH dH
2
4
причем радиальная составляющая при интегрировании должна
уничтожиться.
Таким образом, напряженность поля на оси есть
,,
0
rZ
(3.26)
22
Z
L
00
44
HdHz z d
Ia d I a
sin
22 32
az
00
az
2
22
,
или
0
4
az
Hz
Ia
2
22
32
.
(3.27)
В случае соленоида (рис. 3.6) можно допустить, что ток непрерывно распределен по цилиндрической поверхности и в элементарном поясе ширины dz равен
,dI nI dz
где n — число витков намотки, приходящееся на единицу длины
соленоида; I — ток одного витка.
Отметим, что nI называют числом ампервитков на единицу
длины.
Поле на оси соленоида в точке М, создаваемое элементарным
поясом, который виден из этой точки под углом
2
, выражается
формулой (3.27):
dH z dz z d z d
000
222
az
nI a nI z nI
2
22
32
22
az
83
cos .
Интегрируя это выражение от
r
l
l
H
z
z
до
1
(рис. 3.6,б), получа-
2
ем выражение напряженности поля соленоида (т. е. всех его витков)
в точке М:
Hz d (3.28)
021
2
nI
Hd
d
Hd
r
R
z
0
d
a
d
Рис. 3.5. К вопросу
определения магнитного поля
на оси круглого витка
cos cos .
z
I
M
2а
Рис. 3.6. К вопросу определения
магнитного поля соленоида
L
а
M
z
1
2
б
Отсюда, в частности, нетрудно найти поле в центре соленоида
длиной L при
:
21
nIL
HznI z
cos ,
020
а также поле бесконечного соленоида (
0
22
aL
4
):
21
.HznI (3.28б)
(3.28а)
0
84
3.4.3 Магнитный диполь
А
R
Покажем, что виток на достаточно большом расстоянии действует, как магнитный диполь.
Рассмотрим круглый виток (рис. 3.7). Обозначая расстояние от
элемента витка до точки наблюдения М буквой R, имеем согласно
(3.21)
Idl
.
4
L
R
A
Учитывая симметрию системы, нетрудно сообразить, что векторный потенциал имеет одну
лишь азимутальную составляющую
. Проекция элемента
А
0
dl на азимутальное направление в
точке М, как видно из рис. 3.7, есть
cos dl
.
Поэтому
A
0
4
L
R
.
cos
Idl
Далее видим, что
dl d
и
222
ra ar
2sincos.
Следовательно,
2
I а d
A
0
4
22
0
ra ar
Рис. 3.7. К вопросу определения
магнитного поля на большом
расстоянии от круглого витка
cos
2sincos
12
.
(3.29)
Полагая, что расстояние от центра витка r значительно превышает его радиус а (
ra ), раскрываем знаменатель подынтеграль-
ного выражения по формуле бинома Ньютона и ограничиваемся
первыми членами:
85
12
22
ra ar
2sincos 1 sincos
11
rrr
2
2
aa
1
rr
a
1sincos.
Теперь нахождение векторного потенциала не представляет
труда:
2
I а aIa
00
4
Ad
1sincoscos sin,
rr
0
2
2
4
r
(3.30)
и напряженность магнитного поля определяется по формуле (3.17)
в сферических координатах:
22 2
HA
rot .
1sinsin
Ia
4sin
r
00
2
r
sin
rr rr
В результате получаем:
2
Hr
Ia
4
r
2cos sin .
00
3
(3.31)
Как показывает сравнение с формулой (2.21), магнитное поле
витка по своему строению есть поле диполя. Виток ведет себя так,
как если бы вместо него в точке 0 находился магнитный диполь,
ориентированный по оси
z. Переписывая (3.31) в форме (2.21), име-
ем:
m
Здесь величина
Hr
r
4
2cos sin .
00
3
m, подобно р в (2.21), представляет собой абсо-
(3.31а)
лютное значение момента диполя
.mmz
0
Сопоставляя (3.31) и (3.31а), находим
m , т. е. не что иное, как
магнитный момент витка:
86
A
A
где
S — его площадь.
00
2
(3.32)
,mzIa zIS
В последней форме выражение может быть использовано для
плоского витка некруговой конфигурации.
3.5 Магнитная энергия
постоянного тока
Из п.1.6.3 известно, что с магнитным полем связана энергия,
распределенная в пространстве с плотностью
2
HBH
W
м
22
,
(3.33)
так как
BH .
В некоторой области
V она определяется интегралом
11
так как
rotBA
Используя равенство
WBHdVHAdV
м
22
VV
rot ,
.
div , rot rot
HHAAH
(3.34)
, получим
11
WAHdV AHdV
м
22
rot div , .
VV
Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского –
Гаусса:
div , , .
VS
HdV AHdS
При учете всей энергии поля подынтегральное выражение
устремляется к нулю, так как векторный потенциал и магнитное
поле убывают быстрее, чем квадрат расстояния, а площадь увеличивается пропорционально ему.
87
Таким образом, с учетом того, что rot ,jH получаем
j
I
L
L
L
I
WAjdV
1
м
2
V
3.6 Индуктивность
и взаимная индуктивность
Определим энергию
Так как
S
dS I
W линейного тока:
м
WAjdldS
, получаем
1
м
2
Sl
(3.35)
.
.
Воспользуемся теоремой Стокса
222
SS
— поток магнитной индукции.
где
Поток магнитной индукции пропорционален току:
где
L — индуктивность контура.
Тогда
WAdl
rot ,
AdS BdS
м
W
м
1
2
L
II
I
I
2
(3.36)
.
,
2
.
В случае
(3.36) получаем
n контуров
с токами
i
88
(рис. 3.8) вместо равенства
i
M
M
M
R
Отсюда следует
n
WIAdl
1
м
2
WI
м
i
i
1
L
i
n
1
2
i
ii
1
Ф,
(3.37)
.
(3.38)
где Ф
туром
— поток, пересекающий поверхность S
i
L
.
i
, ограниченную кон-
i
Каждый поток линейно связан с токами всех контуров:
Ф;
MI MI MI MI MI
1111122133 1 1
ii nn
Ф;
2211222233 2 2
IMI MI MI MI
Ф.
nn n n nii nnn
IMI MI MI MI
11 2 2 3 3
ii nn
(3.39)
Коэффициенты с одинаковыми индексами называются собственными индуктивностями и обозначаются
L
. Коэффициенты с
i
различными индексами называются взаимными индуктивностями и
обозначаются
ni
.
>>R
2
1
I
1
I
2
Рис. 3.8. К вопросу определения
взаимной индуктивности двух витков,
находящихся в одной плоскости
Внося (3.39) в (3.38), приходим к следующему выражению
магнитной энергии системы контуров:
nn n nn
WMIILIMIIik
111
м
222
ik i ik
11 1 11
ik i k i ik i k
89
2
i
().
(3.40)
Причем ниже доказывается, что
M
M
L
L
M
M
I
M
M
L
L
.
M
ik ki
(3.41)
Первый член в правой части (3.40) соответствует собственной,
а второй — взаимной энергии системы.
В частном случае двух контуров (
1
WLILIMII
м11221212
2
Докажем равенство (3.41).
Взяв среди
n контуров два произвольных (i и k), запишем
Ф,
где Ф
— магнитный поток, вызванный током контура
ik
ходящий через поверхность
Выражая
, записываем:
ik
ik k i
Но согласно (3.21)
n = 2)
22
I
ik ik k
S , натянутую на контур
i
(3.43)
(3.42)
.
1
Adl
I
k
L
i
.
и про-
k
.
i
A
4
,
r
l
dl
следовательно, взаимная индуктивность
LL
ik
dl dl
ik
r
.
(3.44)
i и k. Это зна-
M
ik
4
Формула симметрична относительно индексов
чит, что совершенно такое же выражение будет получено и для взаимной индуктивности
Ф,
где Ф
— магнитный поток, обусловленный током контура
ki
проходящий через поверхность, ограниченную контуром
, определяемой равенством
ki
I
ki ki i
(3.45)
и
i
.
k
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]