Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
j
j
A
j
ст ст
ст ст
m
jt
m
cos ;
cos .
t
В момент времени
ст ст ст
tt
cos cos ;
tt tkr
jttjtkr
ст ст ст
cos cos .
Перейдем к комплексной форме:
m
m
jk r
e
(8.21)
dv
;
r
jk r
.
dv
(8.22)
r
ст
m
m
ст
4
4
1
ст
V
je
ст
V
Это не что иное, как частные решения уравнений (8.14) и
(8.16), соответствующие расходящимся от источника электромагнитным волнам.
Так, например, рассмотрим поле, создаваемое одним лишь колеблющимся зарядом
qVtqt
ст ст
mm
расположенным в окрестности точки
cos cos ,
o (рис. 8.2). Согласно (8.21)
комплексная амплитуда потенциала этого поля есть
kr ikr
m
m
44
V
ee
rr
q
ст
m
,
(8.23)
а сам потенциал
q
ст
m
cos( ).
4
r
tkr
(8.23а)
Поле имеет характер сферической волны, расходящейся из
точки
диус которой возрастает со скоростью
o: ее фронт — это сферическая поверхность (рис. 8.2,а), ра-
.
Легко проверить, что (8.23) действительно является решением уравнения (8.16). Запишем уравнение (8.16) в сферических
191
координатах, положив 0 и 0
j
M
r
r
0
вне источника, то
ст
m
. Тогда уравнение (8.16) будет иметь вид
. Поскольку поле ищется
1
d
rdr dr
d
22
rk
m
m
(8.24)
0.
Подставляя (8.23) в (8.24), убеждаемся, что уравнение удовле-
творяется:
jkr jkr
1
r
dde e
22
rk
2
dr dr r r
0.
Нетрудно проверить, что решением (8.24) будет также ком-
плексная амплитуда
kr
q
m
ст
4
e
m
.
(8.25)
r
Однако соотношение (8.25) соответствует волне, сходящейся к
источнику (распространяющейся из бесконечности, рис. 8.2,
б). Это
решение в данном случае лишено физического содержания.
а
o
б
o
Рис. 8.2. К вопросу определения характера поля,
создаваемого одиночным
колеблющимся зарядом
Рассмотренный пример, конечно, еще не позволяет составить
представление о поле излучения. Если, как это показано на рис. 8.1,
источники распределены в области
V, то для нахождения электро-
магнитного поля следует учесть действие всех точек этой области,
т.е. произвести интегрирование в соответствии с формулами (8.21),
(8.23). При этом, как уже говорилось выше, достаточно вычислить
192
только векторный потенциал, так как скалярный исключается с по-
I
I
мощью соотношения калибровки. Это означает, что для определения поля излучения достаточно знать сторонний ток. Однако исследование поля при произвольном распределении тока является
весьма сложной задачей. В дальнейшем мы ограничимся изучением
так называемых элементарных источников.
8.4 Элементарный
электрический излучатель
Рассмотрим отрезок
ст ст
m
cos
It
. Может возникнуть сомнение относительно реаль-
l , вдоль которого течет ток
ности такого изолированного элемента переменного тока. Для выяснения сущности вопроса привлечем закон сохранения заряда в
форме (8.3). Поместив элемент тока на оси
координат (рис. 8.3,
div
Приписывая отрезку
а), мы должны записать уравнение (8.3) в виде
dj
zj j
0ст ст
тт
или
ст
dz
l некоторую толщину, т. е. фактически
заменяя его проводящим стержнем поперечного сечения
и ,
где
q
— комплексная амплитуда заряда малого участка стержня
ст т
jSI Szq
ст ст ст ст
тт т т
z декартовой системы
т
j
.
(8.26)
ст
т
S, имеем
(8.27)
z .
Sz
Умножив обе части равенства (8.26) на
, с учетом (8.27)
получаем
Ijq
ст ст
тт
(8.28)
,
т.е. амплитуда заряда каждого участка пропорциональна изменению на нем амплитуды тока:
dI
ст
dz
т
.
z
ст
т
193
Но согласно условию амплитуда тока вдоль всего отрезка по-
I
I
Ilp
A
z
I
z
z
стоянна. Лишь на концах происходит ее изменение от нуля до
и от
до нуля (рис. 8.3,б).
ст т
Отсюда в соответствии с (8.28)
a
l
I
m
б
l
q
q
мы заключаем, что на всем отрезке,
кроме его концов, заряд отсутствует;
на концах же сосредоточены равные
по абсолютной величине и противоположные по знаку колеблющиеся заряды с комплексными амплитудами
в
jI
ст
l
Рис. 8.3. Элементарный
электрический излучатель
Иначе говоря, мы имеем дело с
диполем (рис. 8.3,
гармонически колеблется с частотой
q
ст
m
в), момент которого
и имеет комплексную ам-
m
.
ст т
плитуду
ст
m
т
jz
.
(8.29)
0
Первый искусственный излучатель, осуществленный Герцем,
представлял собой именно подобие колеблющегося диполя. Два
металлических шара перезаряжались с высокой частотой во время
импульса индукционной катушки. Описание опытов Герца не входит в нашу задачу. Отметим лишь, что антенны, сравнимые по
свойствам с излучателем Герца, применяются и в настоящее время.
Элемент тока обычно рассматривается в качестве элементарного
излучателя и называется диполем Герца.
Перейдем к анализу поля излучения диполя Герца. На основании равенства (8.22) комплексная амплитуда векторного потенциала элемента тока выражается интегралом:
jkr jkr
m т
44
Vl
ee
jdvz dl
ст 0
rSr
194
I
ст
т
(8.30)
.
Ограничиваясь расстояниями, значительно превышающими
j
j
размер элемента,
r>>l, (8.31)
мы можем поступать с множителем
1 r под знаком интеграла как с
постоянной величиной. Положим также, что элемент мал в сравнении с длиной волны:
l
, (8.32)
так что величину
2kr r
(8.33)
можно считать одинаковой для всех точек излучателя. С учетом
сказанного перепишем выражение (8.30) в виде
jkr
IlI
V = Sl — объем, занимаемый током.
где
Определим
Az Vz e
m
z в сферической системе координат (рис. 8.4):
0
ст ст
00
44
e
тт
Sr r
kr
,
(8.34)
cos sin .zr
00 0
(8.35)
Отсюда
т
l
cos sin .
4
r
kr
(8.36)
AI r e
ст 0 0
Начнем с отыскания напряженности магнитного поля (8.8):
HA
1
mm
rot .
Запись ротора вектора напряженности магнитного
поля в сферических координатах имеет вид
r
000
2
sin
r
m
Il
т
ст
4
H
cos sin
r
jk r jk r
ere
sin
rr
.
(8.37)
0
rr
195
I
r
M
z
r
M
j
j
z
0
0
o
Рис. 8.4. Определение сферических проекций
векторного потенциала
Как видно, вектор напряженности магнитного поля содержит
только азимутальную составляющую:
Hjkee
m
Величину
т
ст 0
4
E
теперь проще всего определить из первого урав-
sin
rr
Il
ст
0
4
1
т
rr
jk r jk r
jk e
sin
sin
kr
.
(8.38)
lI
нения Максвелла:
rot rot ;
HjE E H
ттт т
Ej r jk jk e
m
Il
m
ст
42
21 11
00
22
rr
rr
1
j
cos sin .
k
2
kr
(8.39)
Переходя в формулах (8.38), (8.39) от комплексов к векторам,
записываем:
196
Il
ст
Hk tkrtkr
т
rkr
4
1
cos sin sin ;
Il
ст
Ektkrtkr
r
Ek tkr tkr
HHE
r
т
2
2
r
Il
ст
т
4
rkrkr
1
sin cos cos ;
kr
2
11
22
1sin cos sin ;
(8.40)
0.
Итак, поле элементарного электрического излучателя имеет характер сферической волны довольно сложного строения. Впрочем,
слагаемые выражений (8.40), заключенные в квадратные скобки, не
равноценны для полей на разных расстояниях от диполя. Это обстоятельство упрощает дальнейшее исследование.
8.5 Исследование поля электрического диполя
8.5.1 Поле в ближней зоне
Рассмотрим вначале поле в так называемой ближней зоне излучателя — на расстояниях, значительно меньших длины волны:
r
Неравенство (8.41) можно переписать в виде
Отбросив малые члены в квадратных скобках (8.40), а также
пренебрегая фазовым сдвигом
Il
Ht
ст
4
Il
Et
r
ст
4
. (8.41)
1.kr
(8.42)
kr , получаем:
m
sin cos ;
2
r
m
cos sin ;
2
r
(8.43)
Il
ст
4
m
sin cos .
3
r
197
Et
Поле в ближней зоне по своей конфигурации совпадает со ста-
E
H
ционарными электрическими и магнитными полями, причем векто-
ры
и
сдвинуты по фазе на
/2
, поле носит чисто реактивный характер, передача энергии в ближней зоне не происходит.
Электромагнитное поле в ближней зоне квазистационарно (изменяется во времени, но переноса энергии нет).
Все это объясняется тем, что поле в ближней зоне связано с источником. Происходит колебательное движение энергии вблизи
источника. Становится ясным, что в ближней зоне излучение незначительно в сравнении с квазистационарным полем. Этого и следовало ожидать ввиду условия (8.41).
8.5.2 Поле в дальней зоне
В данном случае будем ориентироваться на неравенства
r , (8.44)
1kr . (8.45)
Теперь в соотношениях (8.40) можно пренебречь членами порядка 1/k
2r2
и 1/kr:
Il
ст
т
Hktkr
E
r
Ektkr
4
0;
Il
ст
4
r
sin sin ;
r
т
2
sin sin .
(8.46)
Поле излучения в дальней зоне представляет собой сферическую волну, причем векторы
E и H , как и в плоской волне, лежат
перпендикулярно к направлению распространения, взаимно перпендикулярны и находятся в одной фазе. Вектор Пойнтинга
направлен радиально. Средняя плотность потока энергии, переносимой волной:
ПReП sin.
22
EH I kl Z
mm т
rr
00
2
198
()
ст 0
22
32
r
2
(8.47)
Излучение максимально в экваториальной плоскости ( =90°) и
P
отсутствует в направлении оси излучателя (
= 0).
Полное представление о характере излучения дает так называемая диаграмма направленности, которую строят, откладывая в
произвольной меридиональной плоскости ряд отрезков, пропорциональных амплитуде электрического или магнитного поля в данном
направлении (например,
) для фиксированного расстояния r .
Концы этих отрезков лежат на двух соприкасающихся окружностях
(рис. 8.5,а). Аналогичное построение в пространстве приводит к
объемной фигуре в виде тора (рис. 8.5,б).
z
0
0E
90
о
EE
max
z
б
а
Рис. 8.5. Диаграмма направленности диполя Герца
в плоскости, проходящей через ось диполя (
пространственная диаграмма направленности (
а);
б)
Нетрудно вычислить полную среднюю мощность, излучаемую
диполем Герца. Составляя поток комплексного вектора Пойнтинга
через окружающую его сферическую поверхность (рис. 8.6), на основании выражения (8.47) запишем:
2
22
()
IklZ
ст 0
cp
т
32
22
r
23
sin .
rdd
00
В результате интегрирования получаем следующее выражение
излучаемой мощности:
2
PIZ
ср ст 0
2
m
3
l
(8.48)
.
2
199
Оно показывает, что излучение резко растет при ослаблении
P
Z
H
r
I
условия квазистационарности (8.41).
Величина
23Z
0
R
2
l
(8.49)
называется сопротивлением излучения диполя Герца, ибо она в соответствии с формулировкой закона Джоуля – Ленца
1
2
IR
cp ст
т
2
характеризует мощность, рассеиваемую сторонним током в виде
излучения.
На основании уравнений (8.40) можно построить картину поля
элементарного излучателя для разных моментов времени и таким
способом проследить за его форми-
E
рованием в процессе излучения электромагнитной энергии.
На рис. 8.7 схематически показа-
но строение электрического поля излучателя, исследованное этим путем.
o
Как видно, в момент максимального
тока (заряды диполя при этом равны
нулю) образуются «электрические
Рис. 8.6. К вопросу
вычисления полной средней
мощности, излучаемой
диполем Герца
вихри» (семейство замкнутых электрических силовых линий), распространяющиеся затем от источника.
В дальней зоне любая достаточ-
но малая область поля элементарного
излучателя несет все признаки плоской волны. Векторы поля (8.46)
перпендикулярны к направлению ее распространения, а отношение
их амплитуд равно
.
0
В заключение отметим, что короткие в сравнении с длиной
волны проволочные (стержневые) антенны (см. рис. 8.7) очень
близки по характеру излучения к элементарному излучателю и
обычно отождествляются с ним.
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]