Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
2.9 Энергия электростатического поля
D
D
Нам уже известно выражение для энергии электрического поля:
2
EED
W
Выразим энергию электростатического поля через потенциал и
объемную плотность заряда:
э
22
(, )
.
WEDdv Ddv
div div grad ;
WDdvDdv
Рассмотрим второй интеграл в последнем выражении. Приме-
ним к нему теорему Остроградского – Гаусса:
Интересуясь всей энергией, создаваемой системой электрических зарядов, распространим интегрирование на все исследуемое
пространство. Другими словами, окружим область, в которой име-
11
э
э
22
VV
DDD
11
22
VS
div div .
VV
div
dV DdS
grad ;
.
ются заряды, условной сферической поверхностью и устремим ее
радиус в бесконечность. Так как произведение
рее, чем
интеграл обращается в ноль. Следовательно, формула для энергии
электростатического поля имеет вид
В последнем соотношении учтено, что
2r
, а площадь сферы увеличивается как
WdV
1
2
V
71
э
.
div D
убывает быст-
2
r
, исследуемый
.
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте понятие «электростатическое поле».
2. Получите уравнения электростатического поля из уравнений
Максвелла.
3. Какой физический смысл придается электростатическому
потенциалу
4. Какая интегральная и дифференциальная связь существует
между
сред с различными полные значения
поля при переходе через границу «идеальный диэлектрик – проводник».
уравнения для потенциала.
E и ?
5. Поясните физическое содержание вектора Пойнтинга.
6. Изменяются ли при переходе через границу раздела двух
7. Запишите граничные условия для векторов электрического
8. Охарактеризуйте виды распределения зарядов.
9. Получите из уравнений Максвелла для электрического поля
10. Сформулируйте основную задачу электростатики.
11. Сформулируйте теорему единственности.
12. Перечислите основные методы решения задач электроста-
?
E и D?
тики.
13. Дайте обоснование методу зеркальных изображений.
72
3 Электромагнитное поле
постоянных токов
3.1 Электрическое поле
постоянного тока
Электрическое поле постоянного тока подобно полю электростатическому потенциально. Однако на проводящих границах по-
тенциал уже не постоянен и вектор
Е не составляет с ними прямого угла. Таким образом, электрическое поле системы проводящих
тел, несущих ток, отличается от электростатического поля этой же
системы.
Посмотрим, насколько велико может быть на практике отме-
ченное различие. Пусть разность потенциалов двух параллельных
токонесущих пластин из меди (
стоянии d = 1 см, составляет 10
j = 2 А/мм
2
.
Вычислим компоненты вектора
5,8 10 См м ), лежащих на рас-
В, а плотность тока
BA
Е у поверхности проводника:
7
тангенциальная
E
j
3, 5 10 В/м;
2
нормальная
BA
E
n
d
3
10 В/м.
Как видно, их отношение оказывается весьма малой величиной:
5
EE
n
3, 5 10
,
и электрическое поле практически нормально токонесущему
проводнику. По виду оно пренебрежимо мало отличается от поля
электростатического конденсатора, образованного взятыми пластинами. Рассмотренный пример типичен. Тангенциальная компо-
нента вектора
Е на проводящей токонесущей поверхности обычно
73
настолько мала, что отличие электрического поля в диэлектрике от
D
j
электростатического оказывается несущественным.
Иное наблюдается внутри проводника. Как известно, электростатическое поле там всегда отсутствует. Но при наличии постоянного тока в проводящей среде существует электрическое поле, описываемое уравнениями
rot 0,
E
E
,
j
0,
0.
(3.1)
(3.2)
jE
Последнее из уравнений (3.1) есть не что иное, как уравнение
закона сохранения заряда, записанное для стационарного процесса
(
статического поля в среде, не содержащей зарядов:
0t ). Оно выражает непрерывность линий постоянного тока.
Сопоставляя систему уравнений (3.1) с уравнениями электро-
div 0;
Edl
L
jds
S
rot 0,
видим, что они совершенно одинаковы по форме. Уравнения электростатики (3.3) становятся справедливыми для электрического по-
ля в проводящей среде, если электрическую индукцию
в них на плотность тока
D
74
,
(3.3)
0,
(3.3а)
0,
заменить
DE
div 0;
Edl
L
Dds
S
, а диэлектрическую проницаемость —
удельной проводимостью . На этом основании говорят, что между
j
D
D
j
j
jj
j
D
обоими полями существует формальная аналогия.
В ряде случаев указанное обстоятельство помогает нахождению электрического поля в проводящей среде. Если в рассматриваемой задаче все граничные поверхности имеют ту же форму, что и
в некоторой электростатической задаче, и вектор
первом случае на границах так же, как вектор
ведет себя в
во втором, то
можно использовать готовое решение электростатической задачи,
сделав в нем замену
Так, вектор
в слабо проводящей среде нормален ограничи-
на j и на . (3.4)
вающей ее поверхности хорошего проводника. Действительно, это
вытекает из второго уравнения (3.2)
S
Нормальная составляющая
12
jdS
nn
0.
на границе сред непрерывна:
,
(3.5)
а тангенциальная составляющая в силу непрерывности Е
ЕЕ
подчинена соотношению
12
1
11
т.е. в слабо проводящей среде она в
проводнике. При достаточном различии проводимостей
ставляющей
можно пренебречь и считать вектор 1j нормальным
1
(3.6)
,jj
2
1
раз меньше, чем в хорошем
2
и
1
2
со-
Если заменить слабо проводящую среду идеальным диэлектри-
ком, то можно рассмотреть электростатическую задачу, в которой
вектор
будет также нормальным границе. Пусть решение электростатической задачи известно заранее. Тогда, сделав в нем замену (3.4), мы получаем поле в слабо проводящей среде.
75
На принципе отмеченной выше аналогии базируется также моделирование электростатических полей в электролитической ванне.
Для экспериментального исследования электростатического поля
системы проводящих тел последние помещают в ванну и, создав
требуемые потенциалы, измеряют плотность тока в различных
участках электролита. Найденное таким путем поле тока в электролите представляет собой модель электростатического поля системы. Гарантией этому служит значительное различие удельных
проводимостей электролита и элементов системы (обычно металлических), позволяющее считать, что вектор плотности тока к поверхностям системы нормален.
3.2 Магнитное поле
постоянного тока
В этом подразделе мы ограничимся наиболее простыми проявлениями магнитного поля. Будем рассматривать лишь области, не
содержащие тока (
мыслимый контур в области не охватывал тока (рис. 3.1,а). Кольцевые области, подобные изображенной на рис. 3.1,б, охватывающие
ток, пока исключаются из анализа.
0j ). Поставим также условие, чтобы любой
Рис. 3.1. Контур L не охватывает виток
с постоянным током (а); контур L охватывает виток
с постоянным током (б)
Тогда из уравнений Максвелла выделится независимая система
уравнений магнитостатики:
76
rot 0,
g
H
H
div 0,
BH
L
B
Hdl
(3.7)
,
0,
0.
Bds
S
Первое из дифференциальных уравнений позволяет немедлен-
но записать
м
где
rad ,H
м
— магнитостатический потенциал.
(3.9)
Из (3.7) следует, что магнитостатический потенциал подчиня-
ется уравнению Лапласа:
(3.8)
2м
Принимая во внимание, что граничные условия для вектора
HH
12
HH
nn
11 2 2
ничем не отличаются от таких же условий для вектора
(3.10)
0.
,
(3.11)
Е
, прихо-
H
дим к очевидному выводу, что решения задач магнитостатики формально идентичны решениям соответствующих электростатических
задач и могут быть получены из них простой заменой величин
H и
на .
E на
Продолжим изучение магнитного поля постоянного тока, отказавшись от поставленных выше ограничений. С этой целью запишем в полном виде уравнения Максвелла, относящиеся к магнит-
ному полю, при условии
t
rot ,
0
:
(3.12)
j
77
div 0,B
I
I
(3.13)
,
Hdl I
l
Bd s
S
(3.14)
0
. (3.15)
Добавим сюда материальное уравнение
(3.16)
.BH
Сосредоточим внимание на связи магнитного поля и постоян-
ного тока. Покажем, что однозначную связь между потенциалом
магнитного поля
м
и полем установить не удается. Пусть задан
контур с током (рис. 3.2).
Рис. 3.2. К определению разности магнитных
потенциалов между точками A и B
Определим разность магнитных потенциалов между точками A
и B. При этом от точки A до точки B будем проходить разными путями:
ммм
AmB A B
ммм
AnB A B
ммм
AlB A В
78
;
;
2.
Отсюда видно, что разность потенциалов зависит от формы пу-
A
A
A
Aj
A
A
A
ти, следовательно, скалярный потенциал в области, содержащей токи, не может определять поле.
С целью установления связи между полем и вызывающим его
током введем векторный магнитный потенциал, удовлетворяющий
уравнениям (3.12), (3.13):
div 0
B
div rot 0
Вектор
он определяет поле неоднозначно, так как
Действительно, если
также функция
где
— некоторый скаляр.
Из уравнений Максвелла выведем уравнения для потенциала
. Подставляя (3.17) в (3.12) с учетом (3.16), получим
называется векторным магнитным потенциалом. Сам
A
rot rot grad .BA A
есть решение (3.18), то решением будет
rot .
BA
grad ,АА
(3.17)
(3.18)
rot rot .
Воспользовавшись формулой векторного анализа, запишем:
Из (3.18) следует, что в выборе вектора
ный произвол. В связи с этим наложим на
вие, называемое «кулоновской калибровкой»:
Тогда (3.19) принимает вид
graddiv .
div 0.A
2
(3.19)
(3.20)
2
Aj
.Aj
допускается извест-
дополнительное усло-
79
Это векторное уравнение соответствует трем скалярным:
xxyy
AjAjA
А
A
j
A
L
S
М
r
2
2
2
zz
;
;
.
j
Сравним результат с уравнением Пуассона для электростатиче-
ского потенциала. Запишем его еще раз:
2
1
уравнения имеет вид
4
Отсюда запишем проекции вектора
j
xyz
444
x
;;.
dv A dv A dv
rrr
VVV
dv
.
r
V
:
j
y
j
z
Зная проекции, найдем вектор:
.
4
dv
r
V
3.3 Магнитное поле линейного тока
Воспользуемся выражением
I
для векторного магнитного потенциала, чтобы найти магнитное
поле в наиболее важном случае
линейного тока.
Пусть это будет ток, проте-
кающий в замкнутом контуре
Рис. 3.3. К вопросу
определения магнитного поля
линейного тока
произвольной формы (рис. 3.3).
Площадь его поперечного сечения S .
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]