Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
Для линейного распределения зарядов:
D
1
4
;.
dl dq dl
r
l
(2.14)
В качестве примера рассмотрим, как определить потенциал
двух параллельных равномерно заряженных нитей (рис. 2.4). Линейная плотность зарядов нитей
и .
Найдем потенциал в произвольной
точке М как сумму потенциалов, создаваемых каждой нитью:
11
44
где
r и 2r — расстояние от положи-
1
dl dl
rr
12
ll
ln ,
4
r
r
1
2
C
;
Рис. 2.4. К расчету
потенциала двух
параллельных равномерно
заряженных нитей
тельно и отрицательно заряженной нити соответственно до точки M, в которой вычисляется потенциал
(см. рис. 2.4). Константа С выбирается таким образом, чтобы на оси
симметрии потенциал был равен нулю.
2.5 Уравнения для электростатического
потенциала
Получим из уравнений Максвелла для векторов электрического
поля уравнения для электростатического потенциала. Исходить будем из уравнения (2.2)
div D
Используя материальное уравнение
и так как gradE , то
.
E
, получим div E,
div grad .
51
(2.15)
Если не зависит от координаты, то есть среда однородна, то
x
A
x
divgrad .
Так как
div grad , можно записать
2
2
.
(2.16)
Это уравнение Пуассона.
Если
0 , получим
2
0.
(2.17)
Это уравнение Лапласа.
Пример 1. Найти распределение потенциала в неоднородной
1
среде, в которой
. Объемная плотность заряда 0 . Потен-
r
a
циал зависит только от координаты х.
Решение. Воспользуемся формулой (2.15). В декартовых коор-
динатах при условии
yz
0
она примет вид
xx
.
0
Покажем ход решения этого уравнения:
00
xax
1,гдеconst;
00
x
000
ax
x
1;
x
xA A
ax
xA
;
a
0
00
aa
x
52
;
a
р
р
p
0
00
a
0
00
Aa
xxaxB
xa x B
ln ln ,
ln 1 ,
Aa
где const.
В
Обратим внимание на то, что в рассмотренной задаче среда
неоднородна, поэтому мы воспользовались формулой (2.15), а не
(2.16).
Пример 2. Найти распределение потенциала и напряженно-
сти электрического поля диполя.
Решение. Рассмотрим систему из двух разноименных, но рав-
ных по абсолютной величине точечных зарядов, находящихся на
расстоянии l, которая образует диполь. Ее электрическим моментом
является вектор
где q — абсолютная величина каждого заряда;
,pql (2.18)
l — вектор с абсолютным значением 1, направленный от положительного заряда к
отрицательному.
Поле этой системы будем исследовать на расстояниях r, значи-
тельно превышающих ее размер:
.rl (2.19)
При соблюдении условия (2.19) система называется диполем.
Если неограниченно уменьшать l, сохраняя момент
получится «дипольная точка», характеризуемая вектором
, то в пределе
, —
идеальный диполь; условие (2.19) выполнено при любых r. Потен-
11
циал диполя в произвольной точке М равен
Полагая в соответствии с рис. 2.5
rr r
12
2
4
и
rr
12
12
q
.
cos( ),rr l
находим:
44
22
rr
53
cos
ql
r
0
(2.20)
.
Теперь по формуле gradE можно определить поле диполя
M
–
E
р
E . Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой ко-
ординат (рис. 2.6). Внося (2.20) в формулу
получаем
+q
Er
grad ,
00 0
rr r
11
q
Er
4
r
r
1
r
2
2cos sin .
00
3
sin
(2.21)
r
0
0
r
q
q
0
q
Рис. 2.5. К расчету поля
электрического диполя
Рис. 2.6. К расчету поля электрического
диполя с использованием сферической
системы координат
Силовые линии поля в меридиональной плоскости изображены
на рис. 2.7.
E
r
E
Рис. 2.7. Поле электрического диполя
54
Как и следовало ожидать, поле диполя симметрично относи-
тельно его оси.
Понятие диполя играет важную роль в теории электромагнетизма. Полученные выше результаты найдут применение в дальнейшем.
2.6 Основная задача электростатики
Прямой задачей электростатики является нахождение потенциала по заданному распределению заряда. Если плотность заряда в
каждой точке известна, то потенциал как функция координат определяется уравнением Пуассона, решение которого имеет вид
Далее находим напряженность электростатического поля
gradE
Основная задача электростатики заключается в следующем.
Задана система заряженных тел. Требуется найти распределение
потенциала в пространстве, окружающем эти тела, представляющем собой идеальный диэлектрик. Однако очень часто задается не
распределение заряда, а полные заряды либо потенциалы заряженных тел.
Могут быть заданы:
– заряды на проводящих телах (задача Неймана);
– потенциалы проводящих тел (задача Дирихле).
Нам нужно доказать, что задания потенциалов или полных за-
. Возможна и обратная задача.
1
4
dv
.
r
V
рядов тел принципиально достаточно для того, чтобы задача электростатики решалась единственным образом. Для доказательства
этой теоремы нам потребуется формула Грина. Выведем ее.
Пусть ,
причем будем считать, что в области V они дифференцируемы.
Найдем
— скалярные функции. Рассмотрим их в области V,
grad и составим произведение.
55
Так как
теорему Остроградского – Гаусса
grad
— векторная функция, то применим к ней
div( grad ) grad .
VS
Рассмотрим подынтегральные выражения по отдельности.
Слева:
div( grad ) grad grad .
В правой части:
grad grad (grad )ds n ds ds ds
Подставив подынтегральные выражения в формулу Остроград-
ского – Гаусса, получим:
grad grad
VS
dv ds
00
2
dv ds
2
.
n
.
n
Полученное выражение называется формулой Грина.
Сформулируем теперь теорему единственности. Основная за-
дача электростатики решается единственным образом, если:
а) потенциал есть непрерывная, конечная, однозначная функ-
ция координат;
б) на бесконечном расстоянии от исследуемой системы заря-
женных тел потенциалы и заряды равны нулю;
в) поверхности проводящих тел эквипотенциальны;
г) заданы либо потенциалы проводящих тел, либо их заряды.
Рассмотрим вначале основную задачу электростатики в форму-
лировке Дирихле.
Доказательство проведем методом от противного, то есть
предположим, что существуют два решения уравнения Лапласа
.
и
2
Сформируем разностное решение:
1
12
56
.
Тогда в любом случае
2
При
функций должна удовлетворять уравнению Пуассона с одинаковой
правой частью. Подставим разностное решение в формулу Грина:
Рассмотрим, чему равно
ко представлять, что S — поверхность, заключающая все исследуемое пространство, окружающее проводящие тела (диэлектрик). Она
включает, во-первых, внешние поверхности всех проводников, вовторых, поверхность сферы бесконечного радиуса, которая ограничивает все исследуемое пространство снаружи. На всей поверхности S решение
это очевидно. Но даже если
0
(grad )
VS
0 (в силу условий «б» и «в» теоремы един-
2
dv ds
на всей поверхности S. Нужно чет-
0.
n
, то каждая из этих
0
.
ственности). Отсюда
dv
0.
.
.
S
Значит, и левая часть формулы Грина равна нулю:
(grad ) 0
V
Под знаком интеграла находится неотрицательная функция,
следовательно, интеграл обращается в нуль только при
grad 0
Отсюда
Мы уже убедились, что 0
на поверхности S, и теперь ока-
ds
n
2
const.
зывается, что const
нулю. Поскольку разностное решение обратилось в ноль, то не может быть двух значений потенциала в одной точке. Таким образом,
теорема единственности для задачи Дирихле доказана.
во всем объеме V. Значит, всюду равно
57
Рассмотрим основную задачу электростатики в формулировке
Неймана. Заданы заряды проводящих тел. Найти распределение потенциала в окружающем пространстве.
Пусть также имеются два решения уравнения Лапласа и раз-
ностное решение
.
12
Рассмотрим правую часть формулы Грина для поверхности од-
ного из проводников:
SS
ds ds
nnn
12
nn
На границе с идеальным диэлектриком
12
;
;EE
12
D
.
11n
,
D .
22n
Привлекая материальное уравнение, получим
12
EE
nn
12
;;
() ().
12 12
S
1
ds q q
Но на поверхности рассмотренного проводника существует
вполне определенный заряд и, значит, на этой поверхности
12
0qq. Например, на S
1qq
1
, следовательно, на
S 0 .
1
Аналогично можно сказать и о других заряженных телах. Значит, правая часть формулы Грина равна нулю. Затем обращаемся к
левой части формулы Грина:
(grad ) 0
V
Отсюда снова вытекает const
2
dv
, следовательно, 0 всю-
.
ду. Таким образом, теорема единственности для задачи Неймана
доказана.
58
2.7 Методы решения
задач электростатики
К настоящему времени разработано много методов решения
задач электростатики. К числу основных относятся:
– метод суперпозиции;
– метод зеркальных изображений;
– метод непосредственного интегрирования;
– метод разделения переменных;
– метод конформных преобразований.
Рассмотрим первые четыре из них.
Метод суперпозиции
Этот метод основан на линейности уравнений Максвелла и был
рассмотрен в подразд. 2.4.
Напомним, что потенциал системы зарядов равен сумме потен-
циалов каждого из зарядов, входящих в систему.
Метод зеркальных изображений
Если система точечных зарядов находится в соседстве с проводником, то можно подобрать такие дополнительные (фиктивные)
заряды, являющиеся как бы зеркальными изображениями первоначальных, что полное поле и истинных, и фиктивных зарядов, каждый из которых рассматривается без учета существования проводника, удовлетворит граничным условиям на его поверхности.
Пусть, например, заряд q находится на расстоянии h от проводящей плоскости S (рис. 2.8,а). Нетрудно найти поле, которое, бу-
дучи наложено на поле заряда q, удовлетворит требованию постоянства потенциала на плоскости S. Это поле заряда q (рис. 2.8,б),
расположенного за плоскостью S на том же расстоянии h, равного
ему по абсолютной величине и противоположного по знаку. Чтобы
убедиться в этом, достаточно вспомнить, что плоскость симметрии
двух разных и разноименных зарядов эквипотенциальна (силовые
линии пересекают ее под прямым углом). Мысленно заполнив пространство по одну ее сторону проводящей средой, мы, очевидно, не
нарушим поле в оставшемся полупространстве с зарядом.
59
Итак, для того чтобы найти поле точечного заряда, располо-
E
E
E
женного над проводящей плоскостью, надо мысленно построить по
указанному способу его «зеркальное изображение» и искать поле
над плоскостью как суперпозицию полей заряда и изображения.
Подобным же образом — путем построения изображений отдельных зарядов — решается задача для системы зарядов над плоскостью (рис. 2.9).
Рис. 2.8. К расчету поля заряда
над проводящей плоскостью
h
q
n
0
S
)(
)(
–q
Рис. 2.9. К расчету поля заряда
над проводящей плоскостью
Фактической причиной влияния проводника на поле зарядов
является электростатическая индукция.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]