Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 413 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Значит, если









диэлектрик.

Таким образом, если в среде преобладает ток проводимости, то эта среда реальный проводник. Если же преобладает ток смещения, то это реальный диэлектрик. Разумеется, огромное количество сред нельзя отнести ни к тем, ни к другим.

tg 1

, то среда проводник, если

tg 1

—

1.4 Уравнения Максвелла

1.4.1 Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме

В компактной форме операций векторного анализа запишем уравнения, которые заключают в себе основы теории электромагнетизма и являются ее постулатами:





(1.1)

(1.2)

(1.3)



(1.4)

С формальной точки зрения это дифференциальные уравнения в частных производных относительно компонент векторов поля

,,,EHDB, а также j и . Формулы (1.1)–(1.4) — это уравнения

Максвелла в дифференциальной форме.

Значение уравнений Максвелла как основы теории электромагнетизма исключительно велико. Они явились результатом осмысления и обобщения огромного экспериментального материала,

rot ,

div ,D

div 0 .B

накопленного к концу девятнадцатого века. Необходимо подчеркнуть, что уравнения Максвелла справедливы в каждой точке пространства. В принципе, уравнения Максвелла дают возможность исследовать любые электромагнитные процессы. Надо лишь уметь правильно ставить соответствующие математические задачи, то

есть формировать математические модели, адекватные физической











реальности, и решать их, привлекая при необходимости ЭВМ.

При первом знакомстве с уравнениями Максвелла кажется невероятным, чтобы эти несколько строчек содержали в себе все многообразие явлений электромагнетизма. Чтобы вполне осмыслить огромную физическую содержательность данных уравнений, надо изучить многие электромагнитные процессы. Впрочем, для уяснения основных черт физического содержания уравнений Максвелла будут представлены достаточно простые рассуждения.

С этой целью перейдем к уравнениям Максвелла в интегральной форме:





ds q

Bds

Чтобы из формул (1.1), (1.2) получить (1.5), (1.6), рассмотрим некоторую поверхность деленности уравнение (1.1), проинтегрируем его левую и правую части по

Hdl Dds I





Edl Bds





S, «натянутую» на контур L. Взяв для опре-



, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

. (1.8)

rot .

Hds ds jds



SSS

Достаточно теперь к левой части применить теорему Стокса, заменив поток

туру L, вынести операцию дифференцирования

го интеграла справа и учесть, что второй интеграл справа согласно определению есть ток I, проходящий через поверхность S, чтобы получить (1.5). При этом производится замена символов

rot H через поверхность S циркуляцией H по кон-





 за знак перво-

tddt  , так как интеграл уже не является функцией коорди-













нат.

Совершенно так же уравнение (1.6) получается из уравнения

(1.2).

Чтобы вывести равенство (1.7) из (1.3), левую и правую части уравнения (1.3) проинтегрируем по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:

div .

Объемный интеграл от

объеме V. Что касается левого объемного интеграла, то он на основании теоремы Остроградского – Гаусса преобразуется в поток век-

тора (1.7) получено.

через замкнутую поверхность S. Таким образом, уравнение

Уравнение (1.8) получается тем же путем из уравнения (1.4).

dv dv

дает полный заряд q, содержащийся в





1.4.2 Первое уравнение Максвелла: полный ток и магнитное поле

Обсудим первое из уравнений Максвелла, привлекая и дифференциальную форму (1.1), и соответствующий интегральный аналог (1.5).

Поскольку ротор составляется из пространственных производных компонент вектора, то, как видно из (1.1), изменение в про-

странстве магнитного поля (вектор электрического поля во времени (вектор

Пусть сначала изменений во времени нет: процесс стационарен. Тогда первое уравнение Максвелла принимает вид

и описывает связь магнитного поля с постоянным током. Нельзя себе представить ток без магнитного поля, поскольку при

 обязательно rot 0H

(0)

а следовательно,

rot ,

Hj HdlI

0H  .

(или отлична от нуля циркуляция H ),

H слева) связано с изменением

справа).





(1.9)

Продолжим обсуждение первого уравнения Максвелла. Рас-





смотрим случай, когда ток проводимости отсутствует (I = 0), но процесс уже не стационарен (происходят изменения во времени).

Из уравнения (1.5) видно, что циркуляция

H , которая в случае по-

стоянного тока была равна I, теперь оказывается равной величине



см

DdS ds



dt t



(1.10)

которая называется током смещения. Соответственно этому функ-



ция

рассматривается как плотность тока смещения. Понятие о



нем уже было введено в подразделе 1.2.

Ток смещения — одно из важных понятий теории электромагнетизма. Во-первых, существенно, что по отношению к магнитному полю ток смещения как бы копирует роль обычного тока проводимости. Это видно из первого уравнения Максвелла, в котором ток проводимости и ток смещения (или их плотности) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что физическая сущность тока смещения в вакууме никак не связана с движением зарядов.

Будем говорить, что вся правая часть уравнения Максвелла в интегральной форме (1.5) представляет собой полный ток

см

I .

В ток I могут входить токи проводимости, переноса и сторонние, которые также обсуждались в подразделе 1.2.

Величина



сутствие магнитного поля (

в (1.1) — плотность полного тока. В от-

H = 0) равен нулю и полный ток. Если полный ток существует, то обязательно присутствует магнитное поле.

Привлечем для дальнейшего анализа тождество

div rot 0H  .

Составляя дивергенцию от левой и правой частей уравнения (1.1), получаем



div 0.









(1.10а)





Отсюда следует, что вектор плотности полного тока

имеет источников (стоков). Его векторные линии, следовательно, замкнуты или уходят из бесконечности в бесконечность.

Наконец, покажем, что первое уравнение Максвелла согласо-

вано с законом сохранения заряда. Действительно, переписывая ра-



не

венство (1.10а) в виде

имеем право поменять местами), а затем заменяя

при помощи (1.3), получаем равенство

закон сохранения заряда.



div div 0Dj



 (операции div и t мы

div ,jt

  отражающее

div

через 

1.4.3 Второе уравнение Максвелла: обобщенный закон электромагнитной индукции

Если для потока вектора

магнитным потоком, установить обозначение Ф, а для циркуляции вектора

примет вид

Е по контуру L использовать символ Э, то уравнение (1.6)

В через поверхность S, называемого

Э,



где

электромагнитной индукции Фарадея. Циркуляция Э предстает как электродвижущая сила, наводимая в контуре L изменением магнитного потока Ф.

(например, проволочных) контуров в магнитных полях. Закон электромагнетизма, выражаемый вторым уравнением Максвелла в интегральной форме, значительно шире указанного закона Фарадея, поскольку контур L в (1.6) — это любой мысленно очерченный в пространстве контур. Не имеет значения, какие именно материальные объекты оказались в области построения: это не нарушает

В этой форме второе уравнение Максвелла совпадает с законом

Напомним, что закон Фарадея был установлен для проводящих



Edl

;







Bds

справедливости второго уравнения Максвелла. Столь общая поста-





новка вопроса выходит далеко за пределы опытных фактов, на основе которых был сформулирован закон Фарадея. Второе уравнение Максвелла, однако, сохраняет идейную основу этого закона и может рассматриваться как обобщенный закон электромагнитной индукции.

1.4.4 Третье уравнение Максвелла: электрическое поле и заряды

Смысл третьего уравнения Максвелла (1.3), или (1.7), прост, поскольку он вполне исчерпывается содержанием понятий дивергенции и потока вектора. Линии вектора электрического смещения

начинаются на положительных и кончаются на отрицательных

зарядах (знаки

div иD  совпадают).

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме известно также под названием теоремы Гаусса. В качестве частного момента

отметим, что согласно (1.7) поток вектора

через некоторую замкнутую поверхность S обращается в нуль не только при отсутствии зарядов внутри S, но и при их нейтрализации, когда полный положительный заряд уравновешивается отрицательным.

1.4.5 Четвертое уравнение Максвелла: непрерывность линий вектора

Четвертое уравнение Максвелла (1.4), или (1.8), по форме отличается от третьего нулевой правой частью. Это указывает на отсутствие фактора, который можно было бы назвать «магнитным зарядом». Если все же формально ввести магнитный заряд

q с

плотностью

 , то согласно (1.4), (1.8)

0;q



Другими словами, магнитных зарядов в природе не существует.

В силу четвертого уравнения Максвелла магнитные силовые

линии (линии вектора мкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность.

В ) обязательно непрерывны, т. е. либо за-

1.4.6 Заключительные замечания об уравнениях Максвелла

Во введении говорилось, что Максвелл воплотил в математической форме физические идеи Фарадея, предвосхищавшие представление об электромагнитном поле. Фарадей рассматривал силовые линии как некоторую физическую реальность. Однако Максвелл не только, употребляя современное выражение, формализовал взгляды Фарадея, но и внес в них существенно новое. Именно Максвелл ввел ток смещения. Выше уже было показано, что следствием первого и третьего уравнений Максвелла является закон сохранения заряда. В дальнейшем мы неоднократно будем убеждаться в особой важности представления о токе смещения. Что же касается самих уравнений Максвелла, то в их окончательное формирование внесли решающий вклад Герц и Хевисайд.

1.5 Граничные условия для электромагнитного поля

1.5.1 Постановка задачи

Основной задачей теории электромагнитного поля является нахождение его векторов в определенной области пространства при заданных условиях, которые отражают предварительные сведения об электромагнитном процессе. Задача имеет реальное физическое содержание, если эти сведения правильны и если они достаточны. При неправильных условиях, налагаемых на уравнения поля, можно получить решение, не соответствующее исследуемому процессу, или просто войти в противоречие с этими уравнениями. Решение, получаемое при недостаточных условиях, оказывается неопределенным.

Вопрос о том, какими сведениями надо располагать, чтобы



найти поле в задаче того или иного типа, будет решаться по мере необходимости в последующих разделах. Пока же отметим, что для определения поля внутри области надо иметь некоторые данные о его характере на границе.

Особый интерес представляют границы разнородных сред, присутствующих в подавляющем большинстве практически интересных задач. Это границы между различными диэлектриками, границы между диэлектриками и проводниками, границы, на которых сосредоточены заряды или по которым протекают токи. Дальнейшее исследование посвящено определению с помощью уравнений Максвелла векторов электромагнитного поля вблизи таких границ. Результаты исследований формулируются в виде так называемых граничных условий, которые затем будут использоваться в задачах разного типа.

1.5.2 Нормальные и тангенциальные составляющие векторов

Пусть поверхность S — граница раздела двух сред, произвольно ориентированный вектор, начало которого находится в точке

, 0n — нормаль к поверхности,

— касательный

к поверхности S единичный вектор (рис. 1.2).

Векторы



плоскости. Тогда



Таким образом, каждый вектор

, 0n ,

nA A



лежат в одной



—

Рис. 1.2. Разложение

вектора на тангенциальную

и нормальную

составляющие

вблизи граничной поверхности может быть представлен в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих.

1.5.3 Граничные условия для нормальных







составляющих электрического поля

Пусть S — граница раздела двух сред. Выберем на ней доста-

точно малый элемент

и построим на нем цилиндр высотой

S

находящийся в обеих средах (рис. 1.3).



1-я среда

h

2-я среда

Рис. 1.3. К выводу граничных условий

для нормальных составляющих векторов

электромагнитного поля

Ось цилиндра совпадает с нормалью

n . Размеры цилиндра ма-

лы, и поля в пределах его объема не меняются. Применим к полю в объеме цилиндра третье уравнение Максвелла в интегральной форме



dS q

где S — вся поверхность цилиндра.

Представим весь поток вектора

в виде трех потоков — через

боковую поверхность и поверхности оснований цилиндра:

dS D dS D dS dV

 

 

SSSV

бок 1 2

 



Здесь первый интеграл дает поток через боковую поверхность цилиндра, второй и третий интегралы — поток через основания цилиндра.

Устремим 0,h тогда поток через боковую поверхность











также устремится к нулю, следовательно,

q — заряд, сосредоточенный на поверхности S

nSDnSq

10 20

 где

Введем понятие поверхностного заряда. Будем полагать, что он

сосредоточен в слое нулевой толщины.

Пусть

 — плотность поверхностного заряда, определяемая

соотношением



lim



Следовательно, при равномерном распределении заряда

.qS



Тогда

или

Dn D n

DD — граничное условие для нормальной составля-

12nn

10 20



(1.11)

ющей вектора электрического смещения. В векторной форме это условие выглядит следующим образом:

01 2

Таким образом, нормальная составляющая вектора

.nD D 

на границе раздела двух сред терпит разрыв, равный поверхностной плотности заряда.

Рассмотрим два частных случая.

1. Граница двух идеальных диэлектриков. В этом случае нет

свободных зарядов, т. е. 0 , следовательно,

D.

12nn

2. Граница «идеальный диэлектрик – идеальный проводник».

Поле в идеальном проводнике равно нулю, значит,

D  или

(,)nD .

D  и

Таким образом, для отыскания поверхностной плотности заряда достаточно определить нормальную компоненту вектора электрического смещения на границе с проводником.

<<< < Предыдущая 1 23 / 413 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]