Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
z
H
z
H
E
E
x
0
E
0
H
E
o
y
Рис. 7.9. Выбор направлений векторов
и
отраженной и преломленной волн при наклонном падении
горизонтально поляризованной волны
падающей,
H
Переходя к основным координатам (x, y, z) и учитывая, что
совпадает с x, запишем поле падающей волны при значениях
направляющих косинусов
cos :n
0
H А yze
0
E АZxe
m
m
cos sin ;
00
jk y z
10
1
cos 2 0,l
sin cos
cos( 2 ) sin ,m
sin cos
jk y z
1
.
(7.22)
Напряженность магнитного поля отраженной волны
sin cos
HBy z e
m
cos sin .
00
jk y z
1
(7.23)
Произведем в (7.23) замену углов в соответствии с рис. 7.9:
cos cos cos ;
sin sin sin .
;
В результате получим:
HBy z e
EBZxe
m
m
cos sin ;
00
10
jk y z
1
sin cos
jk y z
1
.
171
sin cos
(7.24)
Аналогично действуя для преломленных волн, получим:
у
HCy z e
m
ECZe
m
cos sin ;
00
sin cos
jk y z
2
2
2
.
(7.25)
sin cos
jk y z
Ввиду того что граничные условия нужно выполнять вдоль
всей оси y, все три волны — падающая, отраженная и преломленная — должны иметь одинаковую зависимость от координаты
Следовательно, коэффициенты при y должны быть равны:
sin sin ;
kk
kk
11
k
sin sin sin sin .
12
2
k
1
(7.26)
Отсюда вытекают известные законы Снеллиуса:
1) угол отражения равен углу падения —
; (7.27)
2) углы падения и преломления связаны зависимостью
где
kn
n
12
21
kn
12
22
11
sin sin ,n
.
(7.28)
12
.
Для определения коэффициентов отражения и прохождения
проведем так называемое сшивание решений для полей в первой
среде и во второй среде на границе раздела. Поле в первой среде
представляет сумму полей падающей (7.22) и отраженной (7.24)
волн. Поле во второй среде — это поле преломленной волны (7.25).
На границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляю-
щие векторов
и EH непрерывны, т.е.
EE
12
HH
12
;
z
;
0.
(7.29)
С учетом выражений (7.27), (7.28) формулы (7.22), (7.24) и
(7.25) можно переписать. Для падающей волны:
172
0
х
уу
Z
Z
HAy z e
0
EAZxe
т
т
cos sin ;
00
sin cos
jk y z
10
1
Для отраженной волны:
HBy z e
т
cos sin ;
00
EBZxe
т
10
sin cos
jk y z
1
Для преломленной волны:
HCy z e
m
ECZxe
т
cos sin ;
00
sin cos
jk y z
20
2
Поле в первой среде:
(1) 0
ЕЕЕ
ттт
(1) 0
ННН
ттт
sin cos
jk y z
1
.
sin cos
jk y z
1
.
sin cos
jk y z
2
.
(7.31)
(7.32)
;
(7.33)
.
(7.30)
Поле во второй среде:
(2)
ЕЕ
тт
(2)
НН
тт
;
(7.34)
.
Тангенциальные составляющие векторов можно выразить через
их проекции:
(1) 0
ЕЕЕ
;
х
;
х
(2)
ЕЕ
(1) 0
ННЕ
;
.
у
(2)
НН
При z = 0 получим
ABC
cos
(7.35)
;
cos
ABC
2
(7.36)
.
1
173
Определим коэффициенты отражения
A
A
и прохождения
г
как
г
отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде
падающей волны на границе раздела сред:
(0)
г
Ez
Е z
т
0
(0)
m
(0)
г
Ez
Е z
т
0
(0)
m
B
;
(7.37)
C
.
Подставив (7.37) в (7.35), (7.36), получим систему
Z
Z
1
2
cos
cos
(7.38)
1;
гг
1.
гг
Отсюда следуют формулы Френеля для горизонтально поляризованной волны:
ZZ
cos cos
г
21
cos cos
ZZ
21
г
cos cos
ZZ
21
2cos
Z
2
;
(7.39)
.
7.5 Формулы Френеля для вертикально
поляризованных волн
Вывод требуемых формул аналогичен предыдущему
(рис. 7.10), поэтому без подробного обсуждения приведем значения
комплексных амплитуд.
Для падающей волны:
sin cos
jk y z
0
HAxe
m
0
0
EAZy z e
m
10 0
1
cos sin .
174
;
sin cos
jk y z
1
(7.40)
Для отраженной волны:
E0E
E
H
HH
E
A
A
A
HBxe
т
1
0
sin cos
jk y z
EBZy z e
т
10 0
cos sin .
Для преломленной волны:
HCxe
m
0
2
sin cos
jk y z
ECZy z e
m
20 0
cos sin .
;
sin cos
jk y z
1
;
sin cos
jk y z
2
(7.41)
(7.42)
0
o
z
y
Рис. 7.10 Выбор направлений векторов и
падающей, отраженной и преломленной волн
при наклонном падении вертикально поляризованной волны
H
Воспользуемся граничными условиями (7.29) и получим си-
стему уравнений
ABC
BC
Введем коэффициенты отражения
Н z
в
m
0
Н z
m
0
0
B
Z
cos
Z
2
1
cos
;
(7.43)
.
и прохождения
в
(0)
Н z
;
в
175
т
0
(0)
Н z
m
C
:
в
.
Подставив их в (7.43), получим формулы Френеля для верти-
кально поляризованной волны:
2cos
Z
в
ZZ
12
1
cos cos
cos cos
в
ZZ
21
cos cos
ZZ
12
;
(7.44)
.
7.6 Полное отражение от границы
двух диэлектриков
Предположим, что электромагнитная волна падает из более
плотной в оптическом отношении диэлектрической среды на границу с менее плотной, т.е. имеет место неравенство
nn .
12
n
Из второго закона Снеллиуса
. Если угол
мом критическим, —
увеличивать, то при некотором угле, называе-
, угол преломления
кр
sin sin
1
n
2
следует, что
окажется равным
2 , то есть волна начинает распространяться вдоль границы раз-
дела. Это явление полного внутреннего отражения:
n
2
кр
arcsin .
Исследуем волновую природу этого явления. При
(7.45)
n
1
личина cos мнимая, так как
cos 1 sin 1 sinnn
22
12
2
кр
ве-
и при
величина
кр
1
sin 1
n
2
.
n
Из формул Френеля для коэффициентов отражения следует:
176
cos cos
jkyj
jkyjkzj
ZjZ
г
21
ZjZ
21
ZjZ
в
ZjZ
1;
cos cos
cos cos
12
cos cos
12
(7.46)
1.
Привлекая формулы (7.30), (7.31) и соответственно (7.40) и
(7.41), легко заметить, что все компоненты поля первой среды,
представляющего собой суперпозицию падающих и отраженных
волн, зависят от координат по закону
sin cos sin cos
где
— фаза коэффициента отражения.
,,
fyz e e
(7.47)
11 11
kz
Преобразуя эту функцию, получим:
cos cos
kz
jky
sin
1
(;) 2 .
Фазовый
множитель
2
1
sin cos
jkz
Амплитудный
множитель
2
(7.48)
1
2
Этот результат означает, что поле имеет характер волны, распространяющейся вдоль оси y с постоянной распространения
sink
(7.49)
1
и распределением амплитуд по нормали к границе (ось z) типа стоячей волны с волновым числом
cos .k
Как следует из (7.48), в этом случае consty
(7.50)
11
— плоскость
равных фаз, constz — плоскость равных амплитуд. Плоскость
равных фаз и плоскость равных амплитуд оказались перпендикулярны друг другу.
Рассмотрим поле во второй среде:
sin cos
E,H e
22
~,
177
jk y z
2
где
j
j
y
sin sin ; sin sin
kk k kk
21 2 21
222
— мнимая
z
величина.
Отсюда
yz
,.
EH e e
22
(7.51)
Поле во второй среде распространяется вдоль оси y и затухает
экспоненциально в направлении нормали к границе. Таким образом, поле в средах определяется формулами:
в первой среде
(1)
,~sin cos ;
EH A z t y
0
Амплитудный Фазовый множитель
множитель
22
во второй среде
Амплитудный
множитель
(2)
,~ cos .
EH Be t
z
0
Фазовый
множитель
В обеих средах волна распространяется вдоль оси у, т.е. вдоль
границы раздела, амплитуда меняется вдоль оси z, как показано на
рис. 7.11.
Заметим также, что фазовая скорость электромагнитных волн во второй
среде
E
m
тромагнитной волны в такой же, но без-
больше, чем скорость элек-
ф2
o
y
граничной среде, так как
.
ф2
Возникающие при явлении полного
внутреннего отражения волны называ-
z
Рис. 7.11. К вопросу
образования неоднородной
волны при полном
внутреннем отражении
ются неоднородными. Их основные
особенности заключаются в следующем:
1) волна распространяется вдоль
границы раздела сред (направляется
границей раздела);
2) плоскости равных фаз и равных амплитуд взаимно перпен-
дикулярны;
178
3) имеются продольные составляющие у векторов электриче-
ского поля для вертикальной и магнитного поля для горизонтальной поляризации;
4) во второй среде возникает волна, направляемая границей
раздела и затухающая по направлению нормали к границе. Эта волна называется поверхностной. Физически ее появление определяется возникновением переходного процесса при отражении;
5) во второй среде возникает быстрая волна с фазовой скоро-
стью
cc , где
ф2r
— относительная диэлектрическая
2r
проницаемость второй среды.
Явление полного внутреннего отражения применяется в ди-
электрических волноводах, волоконной оптике.
7.7 Наклонное падение
на границу поглощающей среды
Рассмотрим поле во второй (проводящей) среде:
(sin cos)
jk y z
,.
EH e
22
2
Волновое число в этой среде комплексная величина:
2
.kkjk
(7.52)
С учетом этого показатель экспоненты в соотношении (7.52)
можно записать в виде
sin sin ;
kk
21
y
kkk j
221
cos sin .
222
z
(7.53)
Отсюда
()
jy z
,.
EH e e
22
у z
z
Из второго закона Снеллиуса следует, что в поглощающей среде угол преломления комплексная величина. Он не дает представления о действительном угле преломления. Определим угол, под
179
которым волна распространяется в поглощающей среде, обозначив
y
z
z
его
(рис. 7.12):
y
z
Re sin
tg .
sin
k
222
kk
21
1
(7.54)
o
y
Рис. 7.12. К вопросу определения угла,
под которым волна распространяется
в поглощающей среде
Пусть среда, на границу с которой падает электромагнитная
волна, проводник. В этом случае
21
(7.55)
,kk
следовательно,
sin
k
tg 0 .
Re sin
Тогда из условия (7.55) следует, что
1
222
kk
21
0.
Рассмотрим два типичных случая:
а) исчезающе малые потери (
При этом
z
cos cos ,
jk jk
22
kk
21
).
y
sin
jk
и согласно
2
(7.53) и (7.55)
; (7.56)
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]