Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
Re Re ;
Р
Im Im ,
ds E E H H dv P
SV
ds E E H H dv P
SS
2
2
mm m m m
mm m m m
ст
(4.28)
ст
где
ность источников электромагнитного поля.
части — вещественная часть комплексного потока энергии. Последний член справа дает среднюю мощность источников. Легко
видеть, что рассматриваемое равенство есть не что иное, как уравнение среднего баланса энергии при гармонических колебаниях.
ницаемости и вещественны (
грал в (4.28) исчезает. При этом в среднем вся мощность источников идет на излучение. Если же
объемный интеграл, а следовательно, средняя мощность излучения
уменьшится на его величину. В случае когда область V
ски изолирована, мощность источников полностью «гасится» объ-
ст стmm
Обсудим смысл первого из полученных равенств. В левой
Пусть источники в среднем отдают энергию полю. Если про-
р dv
V
— интеграл, выражающий комплексную мощ-
0
, 0
0
, 0
), то объемный инте-
, то положителен и
энергетиче-
емным интегралом. Из этих рассуждений следует, что объемный
интеграл в (4.28), взятый без знака минус, выражает среднюю мощность потерь в объеме
Полученный результат проясняет смысл мнимых частей
комплексных проницаемостей
когда
энергии существуют только при 0
ворят, электрические и магнитные потери происходят в результате
преобразования энергии поля в какие-то иные формы. В особых
случаях (активные среды) фигурируют отрицательные
и вещественны, среда не является поглощающей. Потери
V.
и . При 0
и (или) 0
и
и 0
. Эти, как го-
, т.е.
и .
101
4.5 Теорема единственности
E
для монохроматического
электромагнитного поля
4.5.1 О единственности решений
Решения уравнений Максвелла, как и других уравнений в частных производных, принадлежат весьма широкому классу. Нахождение того или иного решения уравнений (4.5), (4.6) еще не означает, что получено электромагнитное поле, которому можно
приписать определенное физическое содержание.
Поставим целью выяснить, при каких условиях система уравнений (4.5), (4.6) имеет некоторое единственное решение для
,.
H
mm
причину существования поля: единственное решение обладает фи-
Очевидно, что такие условия однозначно формализуют
зической определенностью.
4.5.2 Внутренняя задача
Докажем теорему единственности для внутренней задачи.
В этом случае область пространства
ограничена поверхностью
Тогда задача имеет единственное решение:
– если в каждой точке области
(0)
;
– в области
V заданы сторонние токи;
S (рис. 4.1).
– заданы тангенциальные составляющие электрического или магнитного поля на границе. Это либо
V, в которой ищется решение,
V среда обладает потерями
E
, что
Рис. 4.1. К доказательству
теоремы единственности
(внутренняя задача)
соответствует
Н-задача.
Теорему доказываем методом от
противного.
102
Е-задаче, либо H
—
Пусть в произвольной точке М внутри области V существуют
j
P
поля
,EE и
12
,HH, одновременно удовлетворяющие уравнениям
12
Максвелла.
Сформируем разностное решение для их комплексных анало-
гов:
12 1 2
,.EE E HH H
Запишем уравнения Максвелла:
rot ;
HjEj
11cт1
где
ст1 ст2
, так как на основании условий теоремы единствен-
j
rot ,
HjEj
22cт2
ности сторонние токи заданы.
Значит:
rot ;
rot ;
Hj E
EjH
11
rot ;
EjH
22
rot .
EjH
Разностные поля удовлетворяют уравнениям Максвелла и не
имеют источников.
Составим уравнения баланса:
где
S
Re П ;ds P
— мощность потерь в объеме.
п
Re , ,EHds P
п
S
п
На поверхности S
0или 0HE
для Н-задачи и Е-задачи соответственно, значит, на всей границе S
равна нулю нормальная составляющая векторного произведения
103
E
P
,
. Следовательно, равны нулю потери внутри объема, то
H
есть
Так как
, то
0
РЕdv
1
п
2
. Не может быть двух значений вектора
0E
2
0.
(4.29)
напряженности электрического поля в одной точке. Поскольку
электрическое и магнитное поля связаны друг с другом, то не может быть дух значений и магнитного поля. Теорема доказана.
4.5.3 Внешняя задача
V
Теперь исследуем область
ласти
V (рис. 4.2). Единственность решения задачи требует двух
дополнительных условий:
ся на конечном расстоянии от области
, находящуюся за пределами об-
– все источники должны находить-
V;
S
V
r
S
– поле должно убывать быстрее,
чем 1/
r , то есть среда должна обладать
хотя бы малой способностью поглощать
энергию.
V
Рис. 4.2. К доказательству
теоремы единственности
(внешняя задача)
Окружаем исследуемую область сферической поверхностью
Доказательство, как и в предыду-
щем случае, ведем методом от против-
,EE
ного. Пусть существуют поля
12
,HH
.
и
12
S
и ее радиус устремляем в бесконечность. Запишем уравнение баланса для области
п
Поток через поверхность
V
:
Re , Re , .
EHds EHds
S
S
S , как уже доказано, равен нулю.
104
При
Р
r
все источники, сосредоточенные вблизи области V,
можно считать точечными, значит, поле на поверхности сферы
S
можно считать постоянным, тогда
Re , 4 .
п
EH r
Так как по условию произведение ,EH
2
убывает быстрее,
чем 1/
ведливо и для объема
ностное поле
2
r
, при r
Е
.
0Р . Учитывая, что уравнение (4.29) спра-
п
V
, при 0
мы вынуждены обнулить раз-
Из уравнений Максвелла следует, что если
0,E
то и 0.H
Теорема доказана.
Единственность решения внешней задачи (а следовательно, и
его физическая определенность) установлена только в классе быстро убывающих переменных полей.
4.6 Теорема взаимности
4.6.1 Лемма Лоренца
Для доказательства теоремы взаимности нам придется выполнить предварительное доказательство, называемое леммой Лоренца.
Пусть в исследуемой среде имеются две группы источников:
одна группа сосредоточена в пространстве
Запишем уравнения Максвелла для каждой группы источников
и умножим уравнения:
rot rot
rot rot
HjEj H jEj
11ст1 2 2ст2
EjH EjH
22 11
EE
21
;.
HH
12
Проведем попарное вычитание:
V
, вторая — в V2.
1
rot rot ;
EHHEjEEEj jHH
2112 212ст1 12
rot rot .
EHH EjEEEj jHH
1221 121ст2 21
105
(4.30)
Применим к левой части известное векторное тождество:
Предположим, что среда изотропна, тогда
есть
Вычтем (4.32) из (4.31):
Выражение (4.34) является дифференциальной формулировкой
div , ;HE jEE jHH Ej
div , .HE jEE jHH Ej
div , div , .HE H E E j E j
12 21 1 2 2ст1
21 12 1 2 1ст2
12 21 2ст1 1ст2
EE EE
21 12
HH HH
21 12
;
(4.33)
.
(4.31)
(4.32)
и — скаляры, то
(4.34)
леммы Лоренца. Проинтегрируем его по объему
объемы
Гаусса:
Лоренца.
V и 2V . К левой части применим теорему Остроградского –
1
Выражение (4.35) — это интегральная формулировка леммы
,, .
H E H E ds E j dv E j dv
1 2 2 1 2 ст1 1 ст2
SVV
, включающему
V
(4.35)
4.6.2 Доказательство теоремы взаимности
Для доказательства теоремы взаимности распространим в со-
отношении (4.35) интегрирование на бесконечность: r . Учтем,
что
,EH убывают быстрее, чем 0Er и 0Hr.
При
новании теоремы единственности для внешних задач). Учтем также, что источники сосредоточены каждый в своей области. Тогда
мы сразу можем записать выражение для теоремы взаимности:
r поверхностный интеграл обращается в ноль (на ос-
106
I
I
I
I
E j dV E j dV
2 ст1 1 ст2
VV
12
.
(4.36)
Полученный результат выражает принцип взаимности для двух
распределений сторонних токов, двух источников. Примечательна
симметрия соотношения (4.36), совершенно не зависящая от характера среды, которая лишь предполагалась изотропной.
Положим, что вся среда линейна. Это значит, что выражение
(4.36) справедливо при одновременном существовании обоих источников.
Можно ввести полные токи первой и второй областей
и
, определенным образом договорившись, через какие сечения
ст2
ст1
вычисляются потоки векторов плотностей сторонних токов. Введем
величины
I
cт1
1
V
1
UjEdv
12 cт1 2
I
1
cт2
V
UjEdv
21 cт2 1
,
(4.37)
2
,
которые можно рассматривать как комплексные амплитуды наводимых ЭДС (
объеме
V ; соответственный смысл имеет 21U ). Тогда (4.36) можно
переписать в виде
U наводится в объеме 1V током, локализованным в
12
2
UIU
cт1 12 cт2 21
. Разделим обе части на
I
cт1 cт2
это дает
UI UI
12 cт 2 21 cт1
. (4.38)
В данной трактовке соотношение (4.38) выступает как равенство взаимных сопротивлений Z
и Z21 рассматриваемых источ-
12
,
ников.
107
4.6.3 Перестановочная двойственность
Hj
j
j
j
уравнений Максвелла. Магнитные токи
Рассматривая уравнения Максвелла в комплексной форме (4.5),
(4.6) при отсутствии источников, легко заметить, что замена
,
EH
mm
(4.39)
сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнение переходит во второе, а второе — в первое.
Отмеченный факт имеет следующее значение. Существуют
электродинамические задачи, в которых векторы
E
m
и
H
m
меня-
ются ролями. Положим, что одна из таких «парных» задач решена,
так что имеются формулы, выражающие векторы
E и mH. Тогда
m
для получения решения второй задачи из этой же пары достаточно
в готовых формулах сделать замену (4.39). Говорят, что решение в
этом случае получено путем применения принципа двойственности.
Чтобы распространить принцип двойственности на уравнения
Максвелла при наличии источников, необходимо в дополнение к
уравнениям (4.5), (4.6) построить некоторые модифицированные.
Сопоставим те и другие уравнения:
Э М
rot
rot
mmm
EjH
mm
E
cт
rot
HjE
mm
rot
E
mmт
H
м
В левом столбце (Э) записана известная нам система уравнений
электродинамики, а в правом (М) — модифицированная система,
физическое содержание которой мы сейчас обсудим. Но сначала
надо отметить, что одна система переходит в другую (Э
М), если
в дополнение к условию (4.39) выполнить условие:
jj
ст м
m т
.
(4.40)
Что же представляет собой система уравнений М? Это уравнения Максвелла с необычно заданными источниками. Появившаяся
108
в правой части второго уравнения функция
j
j
есть магнитный
м т
аналог величины
. Это комплексная амплитуда плотности маг-
ст m
нитного тока.
В природе, как полагают при формулировании основных уравнений теории электромагнетизма, магнитные заряды отсутствуют.
Не может быть, следовательно, и магнитных токов. Но это не мешает вводить такие объекты формально — с единственной целью
облегчить исследование вполне реальных объектов.
Итак, посредством замен (4.39) и (4.40) мы переводим уравнения Максвелла с обычными электрическими источниками в уравнения с условными магнитными источниками (либо действуем в
обратном порядке). Существенно, что эта замена может производиться в формулах, выражающих готовые решения задач. Такие
операции мы и будем производить.
Контрольные вопросы
1. На чем основано применение метода комплексных амплитуд
к уравнениям Максвелла?
2. Что позволяет определить метод комплексных амплитуд
применительно к вектору Пойнтинга, плотностям энергии электрического и магнитного полей?
3. Какой физический смысл имеют вещественные и мнимые
части и
4. Почему уравнения Гельмгольца называют также волновыми?
5. Исходя из уравнения среднего баланса энергии, объясните,
на что расходуются активная и реактивная мощности источников
электромагнитного поля.
6. Сформулируйте внутреннюю и внешнюю задачи теоремы
?
единственности. Какую роль при ее доказательстве играет проводимость среды?
7. Сформулируйте лемму Лоренца и теорему взаимности. При
каком условии они несправедливы?
109
8. Сравните формулировки теоремы взаимности в электроди-
намике и в теории цепей. Идет ли речь об одной и той же теореме?
9. Каков смысл введения в уравнения Максвелла магнитных
зарядов и токов?
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]