Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
x
HE
zz
yj x
2
HjH
yy
;
2
Hj
y
jyx
HE
zz
(9.6)
.
Таким образом, все поперечные проекции оказались выражен-
ными через продольные:
2
Hj j y
y
2
Hj j x
x
HE
zz
yx
HE
zz
xy
2
Ej j x
x
2
Ej j y
y
EH
zz
xy
EH
zz
yx
;
0
;
0
(9.7)
;
0
.
0
В системе уравнений (9.7) показано умножение на единичные
орты и попарное сложение уравнений, которое позволяет получить
поперечные векторы в соответствии с формулами (9.4):
2
xH yH
00xy
H
jx y j x y
HH EE
00 00
zz zz
yyx
.
(9.8)
grad
H
z
zE
,grad
0
z
Уравнение (9.8) — результат сложения первой пары. Сложив
вторую пару уравнений, окончательно получим:
2
Hj Hjz E
grad ,grad ;
2
Ej Ejz H
grad , grad .
zz
0
zz
0
(9.9)
211
Таким образом, связь между продольными и поперечными со-
j
ставляющими векторов поля установлена.
Теперь алгоритм поиска векторов электромагнитного поля заключается в следующем. Вначале из уравнений (9.3) находится
продольная составляющая электрического поля для E-волн или
магнитного поля для H-волн. Затем с помощью системы (9.9) находятся все поперечные составляющие. Отметим также, что формулы
в системе (9.9) являются справедливыми для обобщенно-цилиндрической системы координат, т.е. ими можно пользоваться для расчета как прямоугольных, так и круглых волноводов.
9.3 Условия распространения
электромагнитных волн в направляющих
системах. Критическая длина волны
Комплексный вектор напряженности электрического поля за-
z
дается формулой
Напомним, что
EE xye
m
. В зависимости от величины
,.
22
k
продольного волнового числа выделяются три режима работы линии передачи:
— режим распространяющейся электромагнит-
0k
ной волны, рабочий режим;
22 2
( — мнимая величина) — затухание (экспо-
0k
ненциальное), нерабочий режим;
— критический режим (режим отсечки).
0k
В критическом режиме
22
кр кр
;.k
2
2
Для реализации рабочего режима должно выполняться неравенство
кр
.
(9.10)
212
Неравенство (9.10) определяет условия существования элек-
тромагнитных волн в направляющей системе.
Определим длину волны
и фазовую скорость
в линии
ф
передачи:
22
;
(9.11)
22
11k
кр кр
c
ф
1
кр
.
(9.12)
2
Из (9.11) следует, что длина волны в направляющей системе
всегда больше, чем длина волны в свободном пространстве. Формула (9.12) показывает, что фазовая скорость в направляющей системе всегда больше скорости света. Эти особенности электромагнитных волн объясняет концепция Бриллюэна.
Предполагается, что T-волна распространяется в волноводе,
отражаясь от его стенок. Интерференция Т-волн определяет структуру поля в направляющей системе.
Рассмотрим волну, распространяющуюся между двумя проводящими плоскостями (рис. 9.3). Пусть это будет Т-волна. На
рис. 9.3 пунктирными линиями показаны следы фронтов Т-волны,
распространяющейся под углом
к проводящим поверхностям.
Точки 1 и 2 соответствуют фронтам с фазовым сдвигом, равным
. В направлении распространения Т-волны это . В направлении
2
z это длина волны в волноводе
.
Эквифазные
поверхности
1
90
2
Рис. 9.3. К вопросу определения структуры поля
в направляющей системе
213
Запишем фазовую скорость в волноводе:
где
сТ — скорость света.
ф
cos cos
TT
c
,
(9.13)
Сравнивая выражения (9.12) и (9.13), видим, что
2
cos 1 ,
кр
следовательно, фазовая скорость всегда больше скорости света.
При
волна распространяется вдоль волновода (рис. 9.4,а).
0
0
П П
90
2
а б
Рис. 9.4. Распространение волны в направляющей
системе: а – волна распространяется вдоль волновода;
б – критический режим
Угол
(рис. 9.4,
б). Перенос энергии в таком режиме отсутствует. Рабочий
2 соответствует критическому режиму работы
диапазон углов, под которыми может распространяться Т-волна,
составляет
02 .
9.4 Групповая скорость
электромагнитных волн
в направляющих системах
Под групповой скоростью
будем понимать скорость пере-
гр
носа максимума огибающей группы электромагнитных волн, близких друг к другу по частоте. Комплексный вектор напряженности
поля может быть записан в следующем виде:
214
,.
Ezt A e d
m
0
jt z
()
(9.14)
Если спектр достаточно узок:
, то все ам-
00
плитуды вне этого спектра равны нулю и можно записать
,.
Ezt A e d
0
0
m
jt z
()
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
yx yx x x
00
n
1
n
1
n
y
n
!
x
n
;
0
00
.
В этом случае показатель экспоненты может быть записан в
виде
прибавим и вычтем
() ( ) ;tztz z
t , тогда
0
00
() ( ) .tztz tz
00 0
Подставим (9.15) в (9.14):
jt z
(,) exp .
Ezt e A t z d
00
0
0
m
0
Перейдем от комплексного вектора к его реальной части:
0
(,) cos cos .
Ezt t z A t z d
00 0
0
n
(9.15)
(9.16)
215
Максимум огибающей соответствует нулевому аргументу ко-
синуса:
0
0.tz
(9.17)
Отсюда
Групповая скорость
С учетом
1k
, следовательно,
0tz
определяется формулой
гр
гр
кр
z
t
2
получим окончательное выражение
1
.
z
t
.
для групповой скорости
гр
1.c
2
(9.18)
гр
Как и следовало ожидать, групповая скорость, т.е. скорость пе-
реноса энергии, оказалась меньше скорости света.
9.5 Дисперсия направляемых
электромагнитных волн
Учитывая, что
скоростей можно записать в виде
фгр
На рис. 9.5 показаны зависимости, построенные по формулам
(9.19).
cf , формулы для фазовой и групповой
кр кр
2
f
c
f
1
кр
f
;1.
2
c
кр
f
(9.19)
216
Как следует из этих формул, электромагнитные волны, распро-
гр
страняющиеся в направляющих системах, обладают дисперсией, то
есть фазовая и групповая скорости зависят от частоты.
ф
с
о
f
кр
f
Рис. 9.5. Зависимость фазовой и групповой
скоростей волны, распространяющейся между
параллельными плоскостями, от частоты колебаний
Это очень важное свойство, которое необходимо учитывать на
практике, например при передаче очень коротких импульсов.
9.6 Общие свойства направляемых волн
9.6.1 Поперечные электромагнитные
волны (Т-волны)
В начале этого раздела мы провели классификацию направляемых волн. Теперь можем рассмотреть их общие свойства вне зависимости от того, в какой направляющей системе они распространяются.
Положим в уравнениях (9.9) 0
H
и 0
z
E
z
, тогда будем вы-
нуждены предположить, что
Так как
222
получим:
,k
217
0.
.k
(9.20)
(9.21)
Отсюда
1 и .
ф
Другими словами, фазовая скорость и длина волны в линии
передачи с Т-волной точно такие же, как и в свободном пространстве, заполненном тем же диэлектриком. Кроме того, так как
видим, что линии передачи в режиме Т-волны имеют
2,
кр
кр
. Это значит, что в них может протекать постоянный ток.
Следовательно, Т-волны могут существовать только в таких линиях
передачи, которые имеют, как минимум, два отделенных друг от
друга слоем диэлектрика проводящих элемента, например в двухпроводных, коаксиальных, микрополосковых линиях. В полых волноводах, таких как прямоугольный и круглый волноводы, а также в
диэлектрических волноводах T-волны распространяться не могут.
9.6.2 Электрические волны (Е-волны)
Подставляя H
= 0 в уравнения (9.9), получим:
z
2
Hjz E
2
Ej E
,grad ;
0
grad .
z
z
(9. 22)
Совмещая эти уравнения, найдем связь между поперечными
составляющими векторов электрического и магнитного полей:
0
,.HzE
Отсюда можно найти волновое сопротивление линии передачи,
в которой распространяется Е-волна:
2
кр
Z
E
k
1,
или
кр
2
E
ZZ
0
1.
(9.23)
(9.24)
218
9.6.3 Магнитные волны (Н-волны)
Для Н-волн 0
E . С этим условием из уравнений (9.9) полу-
z
чим:
2
Hj H
2
Ejz H
grad ;
z
,grad .
0
z
Действуя, как и ранее, запишем:
0
,.EzH
Отсюда волновое сопротивление линии передачи, в которой
распространяется Н-волна :
0
H
Z
Z
1
кр
.
2
(9.25)
(9.26)
(9.27)
9.7 Прямоугольный волновод
Полый волновод прямоугольного поперечного сечения называется обычно прямоугольным волноводом. На рис. 9.6 он изображен
в наиболее подходящей здесь декартовой системе координат, оси
которой ox и oy параллельны сторонам поперечного контура a и b.
Рис. 9.6. Прямоугольный волновод, изображенный
в декартовой системе координат
219
Е-волны. Будем искать решение уравнения (9.3), имеющего в
y
X
X
x
X
y
X
декартовых координатах вид
22
EE
mz mz
22
xy
2
E
mz
,
методом разделения переменных.
Положим
(9.28)
EXxY
mz
()(),
(9.29)
где X и Y — неизвестные пока функции переменных х и у.
Подстановка (9.29) в (9.28) приводит к дифференциальному
уравнению
YXY XY
2
,
которое после деления всех членов на XY принимает форму
XY
Y
2
.
(9.30)
Учитывая взаимную независимость слагаемых левой части ра-
венства (9.30), приравниваем каждое из них постоянной величине:
X
Y
2
;
Y
2
,
(9.31)
с соблюдением равенства
22 2
xy
.
Легко догадаться, что
22
так как
2
0,
а физические условия вдоль осей ox и oy внутри
0; 0,
xy
волновода идентичны.
Записывая хорошо известные решения уравнений (9.31)
cos sin ,
AxBx
xx
YC yD y
cos sin ,
yy
220
(9.32)
(9.33)
(9.34)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]