Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
имеем
x
E
x
EAxBxC yDy
mz x x y y
cos sin cos sin .
(9.35)
Полученное общее решение, содержащее шесть неизвестных
постоянных А, В, С, D,
и
, не дает еще представления об ис-
y
следуемом поле. Это и понятно, ибо в произведенных действиях
пока не нашли отражения конкретные физические условия задачи — граничные условия на оболочке волновода. Потребовав, чтобы продольная составляющая электрического поля была равна нулю на всех стенках волновода, запишем:
E
mz
xy
0;
0, 0.
(9.36)
Из уравнения (9.35) видно, что это возможно лишь, если
A=C=0, следовательно,
sin sin ,
Exy
mz x y
0
(9.37)
где произведение BD заменено одним неизвестным коэффициентом
E .
0
В силу требования равенства нулю продольной составляющей
электрического поля на двух других стенках волновода запишем:
E
mz
0;
ay b
,.
(9.38)
Налагая условие (9.38) на решение (9.37), находим:
;,
xy
ab
mn
(9.39)
где m = 1, 2, 3, … и n = 1, 2, 3, … — любые целые числа.
Значения m = 0 и n = 0 исключены, потому что они не соответствуют существованию поля ( 0
E
mz
). С учетом этого результата
равенство (9.32) принимает вид
22
mn
2
ab
221
.
(9.40)
Итак, различным решениям mzE соответствуют определенные
E
значения поперечного волнового числа
. Задав какие-либо числа
m и n, мы однозначно определяем тип поля волновода. Все компо-
ненты поля данного типа нетрудно найти, подставив в общие формулы (9.9)
H
0;
z
Exyjtz
zxy
sin sin exp ( ) .
0
В результате получается:
mn
EE x y
mz
EjE x y
mx
EjE x y
my
sin sin ;
0
ab
x
cos sin ;
0
2
y
sin cos ;
0
2
mn
ab
mn
ab
(9. 41)
Hj E x y
mx
Z
my
Hj E xy
y
2
E
x
E
2
Z
mn
sin cos ;
0
ab
mn
cos sin .
0
ab
В соответствии с принятой терминологией говорят, что форму-
лы (9.41) выражают поле
Е прямоугольного волновода. Это поле
mn
имеет характер распространяющейся волны при вещественных значениях продольного волнового числа
2
кр
1,k
где
2
кр
2.
22
mn
ab
(9.42)
222
В дальнейшем мы чаще будем пользоваться понятием критиче-
f
xxyy
ской длины волны
чем
. Необходимо помнить, что сравниваемая с ней величина
кр
, проще связанной с размерами системы,
кр
— это длина волны в свободном пространстве с теми же свой-
ствами (параметры
,), что и среда, заполняющая волновод.
Как видно из формулы (9.42), с увеличением m и n критическая
длина волны
распространяется до тех пор, пока
существуют, таким образом, при меньших значениях
лее высоких частотах. Для низшей электрической волны Е
уменьшается. Направляемая волна данного типа
кр
. Волны высших типов
кр
, т.е. при бо-
11
со-
гласно (9.42) критическая длина волны
2.ab
кр
22
ab
(9.43)
Одновременно в волноводе распространяется лишь ограниченное число волн различного типа. Действительно, при любых размерах поперечного сечения можно найти такие числа m и n, что рабочая длина волны окажется ниже критической.
На рис. 9.7 показано строение различных Е-полей волновода в
некоторый момент времени — «остановленная волна». Ввиду от-
сутствия продольной составляющей вектора
линии лежат в поперечной плоскости. Поле Е
H магнитные силовые
соответствует од-
11
ному семейству замкнутых магнитных линий и является простейшим. В центре этого семейства лежит максимум продольной со-
ставляющей вектора
E .
По рис. 9.7 легко найти соответствие между строением поля и
значениями индексов m и n. Это числа полуволновых вариаций
поля вдоль осей х и у. Величины
2,
(9.44)
2
играют роль поперечных длин волн.
223
Рис. 9.7. Структура поперечно-электрических полей
различных типов в прямоугольном волноводе
Н-волны. Взяв теперь другое уравнение из (9.3):
22
HH
mz mz
22
xy
2
H
,
mz
уже известным путем находим общий вид его решения
(9.45)
HAxBxC yDy
mz x x y y
cos sin cos sin .
224
(9.46)
Налагая граничные условия
y
H
mz
x
xxa
0,
0
H
mz
y
,,
yyb
0,
0
(9.47)
сначала получаем
H
mz
y
y
0
AxBxD
cos sin 0.
xxy
Отсюда D = 0, так как только при этом равенство будет выполнено для всех x. Точно так же доказывается, что В = 0. В результате
HH x y
mz x
cos cos .
0
(9.48)
m
Из граничных условий при х = а и у = b следует, что
n
и
и, таким образом, подобно соотношению (9.40):
y
,
b
x
a
22
ab
mn
2
.
Внося (9.48) в общие формулы (9.9), получаем выражения для
всех компонент поля типа Н
mz
mx
HH x y
HjH x y
cos cos ;
0
:
mn
mn
ab
x
0
2
mn
sin cos ;
ab
HjH x y
EjZ H x y
EjZH x y
my
mx
my
y
0
2
y
H
2
H
mn
cos sin ;
ab
mn
cos sin ;
0
x
0
2
ab
mn
sin cos .
ab
(9.49)
(9.50)
225
Так как общий вид поперечного волнового числа
для
Н-волн не отличается от полученного ранее для Е-волн, критическая длина волны по-прежнему определяется формулой (9.42):
22
mn
2.
кр
ab
(9.51)
Однако, как видно из уравнений (9.50), H-поле существует и
в том случае, когда одно из чисел m и n есть нуль. При этом критическая длина волны
10
2a или
кр
01
2b
. (9.52)
кр
Одна из этих величин оказывается наибольшей среди критических длин волн всех возможных Е- и H-полей прямоугольного
волновода. Полагая в дальнейшем a > b, мы констатируем, что
наибольшей будет величина
10
. Это значит, что при достаточно
кр
малых размерах поперечного сечения волновода лишь одно поле
будет существовать в виде распространяющейся волны, которая
H
10
называется основной. На практике применяется именно основная
волна, распространяющаяся «без примеси» волн высших типов.
1т
Взяв в формулах (9.50)
поля Н
10
:
mz
HH
cos ;
0
и 0n
x
a
, выпишем компоненты
ax
EHj H
mz mx
EjZH H
my my
0; 1 sin ;
ax
2
2
sin ; 0.
00
a
Основные характеристики волны типа Н
ют вид:
226
2
aa
2
0
согласно (9.53) име-
10
(9.53)
2
x
y
x
H
ZZ k
0
ф
гр
c
1; 1;
1.
c
1;1;
2
a
22
22
aa
2
2
a
2
2
a
(9.54)
На рис. 9.8 показано строение различных H-полей. Магнитные
силовые линии поля Н
образуют лежащие в плоскости xoy за-
10
мкнутые контуры, а электрические силовые линии параллельны оси
oy. Максимум электрического поля сдвинут по оси oz относительно
центра семейства магнитных линий на
4
. В этом центре лежит
максимум тока смещения.
Равенство нулю одного из индексов m и n означает, что поле в
соответствующем направлении однородно: не имеет вариаций. Поперечная длина волны
или
(9.44) при этом обращается в бес-
конечность.
Нетрудно найти передаваемую волноводом мощность. Для
волны основного типа согласно (9.52)
EE
m
0
sin
a
и в результате
ab
222
E abE abE
Pdxdy
000
HH
ZZZ
244
sin 1 .
00
x
2
aa
0
2
2
В оболочке волновода течет поверхностный ток (рис. 9.9),
плотность которого определяется по формуле
0
.n,H
227
(9.55)
Рис. 9.8. Структура поперечно-магнитных полей
различных типов в прямоугольном волноводе
Рис. 9.9. Силовые линии тока волн Н10 и Е11
на стенках прямоугольного волновода
228
Подчеркнем в заключение некоторые особенности волновода,
I
Z
r
z
выявленные произведенным исследованием. Направляемые Е- и
Н-волны образуют бесконечный ряд типов, отличающихся строением поля и скоростью распространения. Однако одновременно
существует лишь ограниченное число волн. При этом размеры сечения прямоугольного волновода выбираются обычно так, чтобы
распространялась только волна основного типа Н
2a
но малых размерах
не может существовать и основная вол-
При достаточ-
10.
на, поэтому передача энергии не происходит. Таким образом, на
практике волноводы применяются только на очень коротких волнах, обычно сантиметровых и миллиметровых.
9.8 Коаксиальная линия
В коаксиальной линии могут распространяться волны Н, Е и Т.
Ввиду того что условия существования Т-волны не зависят от частоты, тогда как Е- и H-волны при достаточно низких частотах отсутствуют, именно Т-волна является основной. Она и используется
для передачи энергии. Коаксиальные
линии конструируются так, чтобы
условия существования волн высших
типов (Н и Е) оставались невыполненными.
Коаксиальная линия показана на
R2
рис. 9.10; радиусы внутреннего и
внешнего проводников обозначим
и R2.
R
1
Рис. 9.10. Коаксиальная линия
Магнитное поле T-волны коаксиальной линии находится из
первого уравнения Максвелла
m
H
m
0
.
(9.56)
2
r
Полагая волновое сопротивление диэлектрической среды равным
, запишем:
ср
229
I
R
I
Z
Er Z
m
m
0ср
2
r
.
(9.57)
Вычислив напряжение между проводниками как интеграл
2
R
UEdr
mm
1
IZ
ср
m
2
R
2
ln ,
R
1
(9.58)
приведем формулу (9.57) к виду
U
Er
m
m
(9.59)
0
ln
r
R
R
,
2
1
что совпадает с выражением для поля коаксиального конденсатора,
заряженного до разности потенциалов
U .
m
Не следует, конечно, забывать, что электрическое и магнитное
поля Т-волны отличаются от статических продольной волновой зависимостью, характеризуемой множителем
exp ( )jtkz
, который
дописывается к амплитудам при переходе к комплексным величинам.
Как видно из формулы (9.58), отношение напряжения между
проводниками к току, называемое волновым сопротивлением,
равно
m
m
Z
2
ср
R
2
ln .
R
1
,
0
(9.60)
)
0
Z
л
ср 0
60ln .
= 120,
Z
R
2
R
1
Z
л
Для линии с воздушной средой (
и волновое сопротивление коаксиальной линии
U
Контрольные вопросы
1. Опишите порядок действий при определении структуры полей Е и Н в направляющей системе на примере прямоугольного
волновода.
2. Изложите суть метода разделения переменных.
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]