Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
5 Плоские электромагнитные волны
в изотропных неограниченных средах
5.1 Волновой характер
электромагнитного поля
Перед изучением электромагнитных волн обсудим содержание
понятий «волна», «волновой процесс», получивших широкое распространение в физике и технике. Прообразом здесь служат всем
известные волны, возникающие на поверхности воды. Существенно
то, что при движении, распространении всякой волны среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате
чего происходит передача энергии в пространстве.
Таким образом, электромагнитное поле, возникшее в некоторой
области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Волновой
характер распространения описывается уравнениями Гельмгольца:
22 2 2
Важной характеристикой волнового процесса является вид
фронта волны. Фронт волны — это поверхность равных фаз. Он
может иметь различную форму. Например, если источник волны
точечный, то ее фронт представляет сферическую поверхность и
волна называется сферической.
0, 0.EkE HkH
(5.1)
5.2 Плоские волны в средах без потерь
Плоская волна — это волна, фронт которой представляет собой
плоскость. Рассмотрим, в каком случае может возникнуть плоская
волна.
Предположим, что в точке О находится точечный источник
(рис. 5.1). Плоскость Р перпендикулярна оси Oz, точки М
лежат в плоскости Р. Предположим, что источник О так далеко
от плоскости Р, что ОМ
ОМ2. Это означает, что все точки в
1
111
, М2
1
плоскости Р равноправны. То есть при перемещении в плоскости Р
x
M
j
j
не происходит изменение состояния процесса.
M
1
O
M
y
2
z
Рис. 5.1. Распространение плоской волны
Так как состояние процесса во всех точках плоскости одинаково, то эту плоскость можно назвать фронтом волны. В этой плоскости при перемещении в перпендикулярном оси z направлении не
происходит никаких изменений. Математически это означает следующее:
0.
xy
(5.2)
Такое приближение называется приближением плоской волны.
В этом случае трехмерные уравнения (5.1) преобразуются в одномерные уравнения:
2
dE
m
2
dz
2
dH
m
2
dz
2
kE
m
2
kH
m
0;
0.
Решение подобного рода волновых уравнений хорошо известно
и имеет вид
j t kz j t kz
E e Ae Be
0
;
tkz
HhCe De
0
112
tkz
.
(5.3)
В этих уравнениях
z
А
z
z
t
A
,eh — орты, показывающие направление
00
векторов электрического и магнитного полей соответственно; A, B,
C и D — вещественные константы. Переходя от комплексных век-
торов к их реальным частям, получим:
Re cos( ) cos( ) .
HHhC tkzDtkz
0
(5.4)
0
Re cos( ) cos( ) ;
EEeAtkzB tkz
Исследуем решения (5.4). Рассмотрим первое слагаемое в пер-
вом уравнении (5.4).
Обратим внимание на то, что мы получили решение, описы-
вающее волновой процесс. На рис. 5.2 показано распределение амплитуд электрического поля в моменты времени t и tt .
E
B
tt
z
1
z
Рис. 5.2. Распределение в пространстве амплитуд
электрического поля в различные моменты времени
Точки А и В соответствуют максимумам амплитуды поля. Поло-
t
жение максимума сместилось за время
тельно,
cos( ) cos( ).
tkz A t tkzkz
на расстояние z . Следова-
Равенство значений функций обеспечивается равенством аргу-
ментов: .tkz
113
z
f
Отношение
tk
называется фазовой скоростью и пока-
ф
зывает скорость распространения волнового фронта электромагнитной волны.
Для вакуума фазовая скорость
1
.
ф
00 00
Подставив значения констант, получим:
08
ф
1
1м
с
97
10 4 10
310 .
36
Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света.
Второе слагаемое в первом уравнении (5.4) является вторым
частным решением и дает отрицательное значение скорости. Оно
соответствует волне, распространяющейся к источнику.
Определим расстояние
между точками поля с фазами, отличающимися на 360 градусов. Это расстояние называется длиной
волны. Так как амплитуда волны на расстоянии длины волны и с
изменением фазы на 360 градусов не изменяется, можем записать
cos( ) cos ( ) 2 .tkz tkz
Отсюда
22
kf
ф
.
(5.5)
Длина волны в вакууме
с
(5.6)
0
,
где c — скорость электромагнитной волны в вакууме (скорость
света).
114
Фазовая скорость в остальных средах
x
yy
j
j
j
j
y
y
xy
y
0
ственно длина волны
.
rr
ф
rr
и соответ-
Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит
от частоты, значит, вакуум — среда не дисперсионная.
Установим связь между направлениями векторов электриче-
ского и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:
c
rot ;
HjE
rot .
EjH
(5.7)
Заменяем векторные уравнения скалярными, т.е. приравниваем
проекции векторов в (5.7):
HE
zz
yz yz
HE
xx
zx zx
HE
yy
HE
HE
HE
xy xy
Учтем в системе (5.8), что
тогда
kH E kE H
yy
zz
xx
;;
EjH
;;
EjH
;.
EjH
zz
x
(5.8)
0,
k
,
xy z
;;
x
x
kH E kE H
EH
0; 0.
zz
;;
Из выражений (5.9) видно, что у плоских волн нет продольных
составляющих, так как , 0
EH
zz
115
x
(5.9)
.
Составим скалярное произведение (, )EH , выразив Еx и Еy из
xyy
xyy
Z
Z
соотношений (5.9):
EHE H
kk
;;
x
kk
,0.
EH E H E H HH HH
x x y y xy xy
Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы
E и H в плоской волне перпендикулярны друг другу. Поскольку у
них нет продольных составляющих, то
E и H перпендикулярны
направлению распространения волны. Найдем отношение амплитуд
векторов электрического и магнитного полей.
Будем предполагать, что вектор
ответственно 0, 0.
EH
yx
E направлен вдоль оси x. Со-
Из (5.9) следует:
kk
EHH E
;.
x
Отсюда
где
— волновое сопротивление среды с макроскопическими па-
в
раметрами
Величина
и .
Z
E
x
H
0
0
называется волновым сопротивлением ва-
0
k
y
,
(5.10)
в
куума. Оно равно 377 Ом. С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.
На основе анализа решения волновых уравнений можно сде-
лать следующие выводы.
1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью
света, в остальных диэлектрических средах их скорость меньше в
раз.
rr
116
2. Векторы электрического и магнитного полей не имеют про-
x
y
дольных составляющих и перпендикулярны друг другу.
3. Отношение амплитуд электрического и магнитного полей
равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.
5.3 Поляризация
электромагнитных волн
Если в любой момент времени в любой точке пространства
можно определить положение векторов
E и H , то говорят, что из-
лучение поляризованное. Рассмотренная выше плоская волна —
линейно поляризованная. Плоскость, проходящая через вектор
E и
направление распространения, называется плоскостью поляризации. Линейная поляризация не единственно возможная.
Рассмотрим другие виды поляризации в режиме гармонических
колебаний. Будем считать, что существуют одновременно две волны одной частоты. Векторы напряженности электрического поля у
них взаимно перпендикулярны. Волновые процессы имеют произвольный фазовый сдвиг:
1001
2002
cos( );ExE tkz (5.11)
cos( ).EyE tkz (5.12)
Общее поле определяется суперпозицией заданных полей.
В плоскости z = 0 :
1001
2002
cos( );ExE t
(5.13)
cos( ).EyE t
(5.14)
Векторы каждого из полей имеют только по одной проекции:
ExE (5.15)
10
EyE
20
117
;
(5.16)
.
Освободимся от временной зависимости. Для этого из (5.13) с
x
учетом (5.15) получим
E
E
x
01
cos ;
t
(5.17)
из (5.14) и (5.16) —
E
y
(5.18)
cos( ) cos cos sin sin ;
E
02
tt t
далее из (5.19) —
E
EE
sin .
t
02 01
E
y
x
cos
(5.19)
sin
Возведем (5.17) и (5.19) в квадрат и сложим:
22
EEE
xxx
EEE EE
01 02 01 01 02
EE
xx
EE EE
01 02 01 02
22 2
sin cos 2 cos sin ;
2
2
EE
yy
2
EE
yy
2cossin.
2
Мы получили каноническое уравнение эллипса (рис. 5.3). Та-
ким образом, траекторией конца вектора
E в плоскости z = сonst
является эллипс.
2E
01
y
o
2E
02
Рис. 5.3. К определению волны
с эллиптической поляризацией
118
Рассмотрим некоторые частные случаи.
xy
xy
EE
1.
— линейная поляризация
0:
x
EE E
01 02 02
E
y
EE
01
(рис. 5.4,а).
2.
:
E
01
02
EE
— поляризация также линейная
E
(рис. 5.4,б).
3.
:;
2
EE
01 02
222
EEE
xy
01
;
EE t
x
01
cos
.
В этом случае
EE t E t.
y
cos( 2) cos
02 01
Со временем вектор напряженности электрического поля перемещается по часовой стрелке, если смотреть вдоль распространения
волны. Это правая эллиптическая поляризация (рис. 5.4,в).
. Этот случай соответствует волне с левой эллипти-
4.
2
ческой поляризацией.
Рис. 5.4. Вектор напряженности электрического поля
суммарной волны в плоскости z = 0
Таким образом, чтобы получить волну с круговой поляризаци-
ей, исходные волны должны быть ортогонально линейно поляризо-
ваны, иметь одинаковые амплитуды и фазовый сдвиг, равный
2
.
Для волны с круговой поляризацией можно записать:
(cos sin ).EEx ty t
00 0
119
В комплексной форме
j
j
j
j
()
tkz
EEx jye
00 0
.
Легко показать, что две волны с круговой поляризацией могут
в сумме образовывать волну с линейной поляризацией.
5.4 Плоские электромагнитные волны
в поглощающих средах
5.4.1 Затухание электромагнитных волн
Запишем уравнения Максвелла для электромагнитных волн,
распространяющихся в поглощающей среде:
rot ;
HjE
rot .
Ej H
(5.20)
В уравнениях (5.20) диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные, следовательно, волновое число также
комплексная величина:
Так как имеет место квадратный корень,
(5.21)
.kkjk
и kk
могут иметь
различные знаки. В дальнейшем покажем, что выбранные нами
знаки соответствуют принципу физической реализуемости.
Запишем:
()
EEe Eee e
00
tkz
t
kz k z
(5.22)
,
2
где
k
— постоянная распространения (фазовая постоянная);
k
— постоянная затухания.
k
Плюс перед
соответствует волне, распространяющейся от
источника, минус перед k отражает затухание волны при увеличении расстояния от источника. Покажем выражение (5.20) графиче-
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]