Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие
.pdf
1.5.4 Граничные условия для нормальных
составляющих магнитного поля
Проведем построения, аналогичные предыдущим (см. рис. 1.3).
Применим к полю в полученном объеме четвертое уравнение
Максвелла
.
BdS
S
Так как, в отличие от третьего уравнения, четвертое уравнение
0
имеет нулевую правую часть, то и в граничных условиях для
B
также будет нулевая правая часть, то есть
BB
12
nn
0.
(1.12)
Отсюда с использованием материального уравнения получим
граничные условия для нормальных составляющих вектора напряженности магнитного поля:
H
1
HH,
11 2 2nn
где
и 2 — абсолютные магнитные проницаемости первой и
1
n
H
21
n
2
,
второй среды соответственно.
1.5.5 Граничные условия для тангенциальных
n
составляющих магнитного поля
Рассечем поверхность раздела двух сред
рую можно считать перпендикулярной некоторому малому элементу этой поверхности. В плоскости
ABCD. В общем случае по границе раздела в произвольном
тур
направлении может протекать ток
Р возьмем прямоугольный кон-
I.
Проведем контур так, чтобы одна его часть была в первой
среде, другая — во второй (рис. 1.4). Единичные векторы
лежат в плоскости контура, единичный вектор
рен ей.
31
S плоскостью Р, кото-
n и
0
N перпендикуля-
0
0
Применим к полю вблизи границы первое уравнение Максвел-
I
A
B
D
P
I
I
I
I
ла:
Hdl I
L
;
Hdl Hdl Hdl Hdl
21
AB BC CD DA
.
1-я среда
h
l
0
n
N
C
0
0
S
2-я среда
Рис. 1.4. К выводу граничных условий
для тангенциальных составляющих векторов
электромагнитного поля
В пределах контура поле однородно, так как размеры контура
очень малы, поэтому можно записать
() .
H lHnhH lHnh
20 0 10 0
Устремим
0h, тогда
HlHl.
10 20
Введем понятие поверхностного тока. Поверхностным током
будем называть приведенный в движение поверхностный заряд.
Плотность поверхностного тока определяется формулой
— орт, показывающий направление тока;
где
пересекающая отрезок
0
l .
lim
0
l
,
l
0
— часть тока,
С учетом этого
HH или
10 20 N
32
HH
12,N
где
— проекция вектора плотности поверхностного тока на
N
направление, перпендикулярное плоскости контура.
В векторной форме
,( ) .nH H
01 2
(1.13)
Итак, при наличии поверхностного тока на границе раздела
тангенциальная составляющая напряженности вектора магнитного
поля терпит разрыв, равный его плотности.
Рассмотрим два частных случая.
1. Граница раздела «идеальный диэлектрик – идеальный ди-
электрик».
Ток на границе отсутствует ( 0
HH
12
) и тогда
.
2. Граница раздела «идеальный диэлектрик – идеальный про-
водник».
0H
В этом случае
, тогда
2
H
,.nH
01
или в векторной форме
1 N
Таким образом, на границе с идеальным проводником при
наличии магнитного поля всегда возникает поверхностный ток.
1.5.6 Граничные условия для тангенциальных
составляющих электрического поля
Обратимся ко второму уравнению Максвелла
d
dt
.
d
().
dt
Edl BdS
l
Рассуждения, аналогичные представленным в предыдущем
пункте, приводят к соотношению
ElE l Bhl
10 2 0
33
Устремив высоту контура к нулю, получим
j
P
P
0EE
12
. (1.14)
Из соотношения (1.14) следует, что тангенциальная составля-
ющая вектора
E непрерывна на границе с любой средой.
Рассмотрим границу «идеальный диэлектрик – идеальный про-
водник». Так как поле в идеальном проводнике равно нулю, т. е.
0E
, то
2
0E
. Значит, линии вектора E всегда перпендику-
1
лярны поверхности идеального проводника.
1.6 Энергия электромагнитного поля
1.6.1 Закон Джоуля – Ленца
и превращение энергии
Поскольку электромагнитное поле физически реально, оно обладает энергией. После ряда рассуждений и операций над уравнениями Максвелла мы выясним, каким образом векторы поля
,,EHD и B определяют его энергию W. Можно подойти к этому,
начав с вопроса о превращениях энергии поля.
Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется
тепло. Зная плотность тока
и напряженность поля E , нетрудно,
как мы увидим, найти энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени, т. е. мощность тепловых потерь
зывается, в объеме
V расходуется мощность
(1.15)
jEdv
V
.
P. Ока-
Чтобы убедиться в справедливости записанного выражения,
обратимся к простому варианту, в котором область
собой цилиндр длиной
l с площадью основания S . Ось цилиндра
V представляет
совпадает с направлением вектора плотности тока. Пусть в пределах объема выделенного цилиндра поле однородно. В этом случае
применение формулы (1.15) дает
jEV jSlE IU .
34
Как видно, полученное равенство эквивалентно закону Джоу-
j
P
j
j
j
ля – Ленца, известному из курса общей физики. Таким образом,
применение формулы (1.15) означает обращение к закону Джоуля –
Ленца. По смыслу равенства (1.15) подынтегральное выражение
p
E (1.16)
есть не что иное, как плотность мощности, т. е. мощность, отнесенная к единице объема:
p
lim
0
V
.
(1.17)
V
Полученные выражения мощности и ее плотности имеют универсальный характер. Они верны не только при расчете джоулевых
потерь, но и сохраняют смысл во всех случаях, когда рассматриваются токи.
Отметим, что в зависимости от направления движения зарядов
величина
Заряды могут ускоряться полем. При этом
р > 0 и энергия у поля отбирается. Очевидно, что р < 0, если
р может быть как положительной, так и отрицательной.
и E параллельны,
и E
антипараллельны. Это будет, например, в том случае, когда движение зарядов против поля создается каким-то неэлектромагнитным,
«сторонним», процессом, который отдает свою энергию полю, тормозящему заряды.
Описание неэлектромагнитных факторов, как говорят сторонних сил, в большинстве случаев сводится к изменению вида материального уравнения. Используется одна из следующих формализаций:
EE j E j (1.18)
Введенные здесь функции
намических задач являются заранее заданными. Величина
,.
ст ст
E и стj при решении электроди-
ст
E
ст
называется напряженностью сторонних сил (или просто сторонней
напряженностью). Теперь мы можем детализировать выражение
плотности мощности (1.16). Используя (1.18), имеем:
12 2
,.pjjEpEjE
ст ст
35
Таким образом, можно записать
p
p
j
j
пст
,рр р
(1.19)
где
12 2
Параметр
(1.20)
пстстст
п
нитного процесса, а
() , .pjEpjEjE
характеризует поглощение, потери электромаг-
— действие сторонних сил. Сторонние си-
ст
лы обычно локализованы. Если, например, они сосредоточены в
некоторой области
в V и
E
ст
V
, то согласно первому равенству (1.18)
E
вне V
. Будем называть V областью источ-
ника.
Позднее мы не раз еще вернемся к обсуждению понятия сто-
ронних сил. Интерпретация их будет несколько расширена.
1.6.2 Баланс энергии электромагнитного поля
Дальнейшее обсуждение будет опираться на уравнения Максвелла (1.1), (1.2). Все члены второго из них умножим на
члены первого — на
E :
B
rot ,
HE H
t
rot .
EHE Ej
D
t
Вычтем левую и правую части второй строчки из соответствующих частей первой, тогда слева получим выражение
rot rotHEEH , которое мы свернем, так как оно равно div ,EH
В результате будем иметь
H , а все
.
EH H E jE
div , .
tt
BD
(1.21)
Равенству нетрудно придать интегральную форму. С этой целью проинтегрируем все его члены по некоторому объему
36
V, огра-
ниченному поверхностью S, а затем левую часть преобразуем на
P
основании теоремы Остроградского – Гаусса:
Остается проанализировать полученный результат. После некоторых рассуждений мы увидим, что равенство (1.22) есть уравнение баланса энергии поля в объеме
Ключевым для нас является последний член справа в (1.22).
Согласно формуле (1.15) это мощность
риваться как величина, характеризующая все процессы преобразования энергии в объеме
зумеется, размерность мощности имеют и все остальные члены в
(1.22).
Следующим важным моментом является тот факт, что для всякой энергетически изолированной системы уравнение баланса
энергии имеет вид
E H dS H E jEdv
,.
SV V
V (в п. 1.6.5 будет сделано уточнение). Ра-
BD
tt
V.
Р, причем Р будет рассмат-
(1.22)
W — запас энергии.
где
В частности, из равенства (1.23) следует, что потери энергии
Р > 0) могут происходить только в результате уменьшения этого
(
dW
запаса
щей и при наличии поля внутри объема
ней среде, то поверхностный интеграл в (1.22) равен нулю. Таким
образом, равенство (1.22) принимает вид
Если граница
dt
0
.
S области V является энергетически изолирую-
P
EHdv
V
dW
DB
tt
,
(1.23)
dt
V оно отсутствует во внеш-
(1.24)
и мы вправе истолковать его как уравнение баланса энергии для
изолированной системы. Сопоставляя (1.24) и (1.23), имеем:
37
P
P
P
P
P
P
P
dW D B
dt t t
EHdv
V
(1.25)
.
В результате определена временная производная запаса энер-
гии.
Сохраняя интерпретацию (1.25) и переходя к общему случаю,
запишем (1.22) в виде
EH ds P
,0.
S
dt
(1.26)
Очевидно, что равенство (1.22) предстает как уравнение балан-
dW
са энергии в области
V, причем вследствие неизолированности си-
стемы появился дополнительный член в виде поверхностного интеграла
Величина
через границу
есть поток вектора
S области V. Вектор П называется вектором Пойн-
,П.
E H ds ds
SS
П,EH
(1.28)
(1.27)
тинга.
Поток
ренние процессы не уравновешены. Если, например,
означает потери энергии в области
вектора Пойнтинга П показывает, насколько внут-
> 0, это
V из-за перехода энергии во
внешнее пространство. В таком случае говорят об активном балансе энергии. Если же
< 0, то энергия поступает в объем V извне —
пассивный баланс энергии. В обоих случаях абсолютная величина
есть не что иное, как энергия, проходящая через граничную по-
верхность
потоком энергии через поверхность
S за единицу времени. Поэтому величину
S. Положительный поток энер-
называют
гии равен, таким образом, мощности излучения во внешнее пространство, а отрицательный — мощности поглощаемого внешнего
излучения.
38
Баланс будем называть активным, когда
P
P
P
Р
Р
H
I
j
> 0, т. е. отдача
энергии во внешнее пространство преобладает; согласно (1.26) при
0dW dt P
этом
. В случае чистого излучения может оказаться,
что внутренний запас энергии остается постоянным:
гда, как видно,
= –Р. Поскольку
ется сторонними силами в объеме
и в отсутствие потерь
Наконец, если 0
Р
, это нейтральный баланс энергии. Поток
Р ).
ст
< 0, то Р< 0: излучение созда-
V (согласно (1.19)
W = const, то-
РР,
пст
энергии в данном случае может проходить насквозь, так что число
входящих линий вектора Пойнтинга равно числу выходящих; он
также может не входить в область
V или вообще отсутствовать.
Пример. Рассмотрим поток энергии, проходящий через по-
верхность бесконечного цилиндрического провода с постоянным
током
деления магнитного поля вплоть до поверхности провода (
можно пользоваться формулой
I (рис. 1.5). В силу аксиальной симметрии системы для опре-
r = R)
, известной из курса
2HIR
0
физики.
2R
E
z
Рис. 1.5. К определению потока энергии,
проходящего через поверхность бесконечного
цилиндрического провода с постоянным током
Электрическое поле найдем из выражения для плотности тока
;
Ej zI R . Поэтому на боковой поверхности
E
0
2
провода
2
rI
2
0
23
R
П, .
EH
39
Мы видим, что вектор Пойнтинга направлен внутрь провода.
P
P
I
Значит, из внешнего пространства в провод входит поток энергии
(1.27). Вычислим
2
где
R — электрическое сопротивление данного участка.
на участке провода длиной l :
П,
ds I
S
2
Входящий поток энергии равен мощности, поглощаемой со-
гласно закону Джоуля – Ленца.
1.6.3 Энергия электромагнитного поля
Исходя из равенства (1.25), можно путем интегрирования определить энергию поля. При некоторых оговорках, которые будут
сделаны в п. 1.6.5, справедливы следующие операции:
DE
EE
HH
ttt
BH
ttt
0
0
2
E
0
,
2
2
H
0
.
2
Это значит, что операцию дифференцирования по времени в
(1.25) можно вынести за знак интеграла. В результате запас энергии
в области V выражается следующим образом:
WEHdvEDHBdv
22
VV
11
22
00
(1.29)
.
Как видно, энергия слагается из двух частей, одна из которых
связана с электрическим полем, а другая — с магнитным. Поэтому
пишут
WW W, различая магнитную энергию
эм
WHdvHBdv
м
0
22
VV
2
1
(1.30)
и электрическую энергию
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]